Détermination de la valeur la plus probable des grandeurs statistiques. I. Généralités

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Détermination de la valeur la plus probable des

grandeurs statistiques. I. Généralités

Georges Allard

To cite this version:

DÉTERMINATION

DE LA VALEUR LA PLUS PROBABLE DES GRANDEURS

_STATISTIQUES

I.

GÉNÉRALITÉS

Par GEORGES ALLARD.

Sommaire. 2014 Résolution du

problème suivant : soit x une certaine grandeur mesurable pour des

particules individuelles; la probabilité pour que x soit _compris entre x1 et x2 dépend de l

para-mètres 03B11, 03B12, ..., 03B1l; des expériences effectuées sur un grand nombre de particules montrent qu’il y en a n1

pour lesquelles x est _{compris entre x0 et x1, n2 pour lesquelles x} est _{compris entre x1 et x2,} ... ;

déter-miner la valeur la plus probable des l _paramètres 03B11, 03B12, ..., 03B1l et les écarts quadratiques moyens

correspondant

$$ 03B403B12l,

..., 03B403B12l.

Dans un mémoire des

Proceedings

of

the

_Royal

Soeiety of

London

_(1),

Peierls a étudié la

_précision

des mesures effectuées au _{moyen de}

_compteurs.

Il m’a paru intéressant de

reprendre

ce travail en le

généralisant

et en

_précisant

certains des

_{points qui}

y sont traités. Nous examinerons ici le

_problème

sous sa forme la

_{plus générale,}

réservant pour un article ultérieur

_{l’application}

à la détermination des vies moyennes.

D’une

_{façon générale,}

nous _{poserons le}

_problème

de la

_façon

suivante. Soit x une certaine

_grandeur

mesurable pour des

particules

individuelles;

suppo-sons _{que la}

_probabilité

_pour

_{qu’une particule}

corres-ponde

à x

_compris

entre xi

et x2

soit une fonction

connue w

_(x,,

_{x2, «Q,} ..., de xi, x2 et de 1 para-mètres _{(Xi, OE21} ..., etl. On observe un ensemble de

particules parmi, lesquelles

ni ont un x

_compris

entre _xo et _{xi, n2}

_{entre Xl}

et _{x2, ...,} nk entre Xk-,

et x., ..., et l’on se propose de

déterminer,

d’une

part,

la valeur la

_{plus probable}

des

_paramètres

ce, ;

d’autre

_part,

les écarts

_quadratiques

_moyens c’est-à-dire la

_précision

avec

_laquelle

les «i sont

déterminés.

Dans les

_problèmes

_{traités par}

Peierls,

la

_{grandeur x}

est le

_temps,

mais ce _pourra être tout autre

_chose,

_par

_{exemple l’énergie.}

Nous poserons

’1

Les étant

_supposés

connus, la

_probabilité

pour

qu’on

observe

_{précisément}

ni

particules

dans l’inter-(1) Proc. _{Roy. Soc.,} London, Série A, avril 1935, no _868,

vol.

149, p. 1~6~-486.

valle

_(x,

_n2 dans l’intervalle

_{(xl x2), ...,}

est donnée par

,

M étant le nombre total de

_particules

_qu’on

aurait

observées si toutes les valeurs

_possibles

de x avaient été réalisées dans les

_{expériences.}

’

Admettons

maintenant,

comme on le fait cou-ramment en

probabilité

des causes, que la

proba-bilité a

_priori

_{pour que M} ait une valeur

déterminée,

supérieure

à m, est

indépendante

de cette

valeur,

c’est-à-dire _que toutes les valeurs sont

_également

probables,

et _{que la}

_probabilité

a

_priori

_{pour que} ce, ait une valeur

_comprise

entre ai et ex, +

dai

est

proportionnelle

à

dai.

La formule de

_Bayes

nous donnera la

_{probabilité a posieriori}

Le dénominateur ne

_dépendra

évidemment

_plus

de M ni des

mais

seulement des n, et l’on pourra

écrire

’

Si M et m sont tous deux très

_grands,

un calcul «

classique

donne

213

Nous pouvons en conclure que P n’a de valeur

appréciable

que si

m +

or, nous ferons constam-ment

_{l’hypothèse}

_{que les résultats}

_{expérimentaux}

son ceux

_qui

rendent P _maximum. Donc

En

_négligeant

le

_{facteur ~}

1- w,

qui

varie _peu, on écrira encore

Les

_paramètres

oci devront alors être tels

_qu’ils

rendent P

maximum,

ce

_qui

conduit aux

équations

en nombre suffisant pour déterminer les (Xi.

Pour une variation assez faible

ôoci

des (Xi, la

proba-bilité P deviendra

T --- 1 À? l r..,." D B.

le

_symbole

( dai daj ) -

₀

_que nous

_{représenterons}

., j o

aussi

_{par Ai j signifiant qu’ on}

a

_remplacé,

dans

d

aussi _par

_A

_{signiiiant qu on}

a

_remplacé,

dans les oci par leur valeur tirée de

(3).

La somme double

qui

figure

dans le second membre est une forme

quadratique

en

_qui

doit être définie

_négative

pour que

Po

soit effectivement un maximum. Une

substitution linéaire

_convenable

_permettra

de la mettre sous la forme

_{2013 ~. ~.}

Les valeurs

quadra-tiques

moyennes sont

d’où l’on

_peut

_{déduire les valeurs moyennes} On

peut

effectuer le calcul très

_simplement

de la

façon

suivante. Isolant un indice k bien

déterminé,

on a

ne

_figurant

_{que dans le}

_premier

_terme,

on est sûr _que

Or,

l’on

_peut

écrire

On a

_donc,

_d’après

les deux relations

_{précédentes}

Tous ces résultats

_peuvent

être

_groupés

en

et ces relations _{sont vraies pour} tous les indices i et k. Donnant alors à i une valeur fixe et faisant

varier

k,

nous obtiendrons 1

_équations

linéaires avec l inconnues

_{Gai Grxj.}

La résolution est facile. Soit à

le

déterminant

des

Ai/

et

_Ri

=

J .;

on a

ce

_qui

résout

entièrement

le

_problème.

Si _par

exemple

il

_n’y

a _{que deux}

_paramètres

_OC1 et el2’ on, a

B=/L,.~2013n.

On

peut

remarquer que,

~ai

1 et

aoc*2

étant

certai-nement

_positifs,

cela

_implique

. , , , ,,

ce

_qui

donne une limite inférieure de

ôxi

et Le

_problème

_important

est donc le calcul effectif

214

Mais _pour calculer

_Al,

== on

_peut,

Mals _pour calculer

_Ai;

=: ., on

_peut,

sans

_grande

erreur,

_remplacer

rc,, _par sa valeur moyenne et m _par et se servir de

Il

_peut

se faire que les diverses

_grandeurs

soient fonctions d’un

_paramètre

0 autre _{que les} ai et _que

l’on veuille calculer les dérivées de

6oci

_dccj

_par

rapport

à

0;

nous

_désignerons

ces dérivées _par un

accent. Partons de

Résolues comme

_{précédemment,}

ces

_équations

donneront °

En

_particulier

k, l

Cas

_particulier.

---~

Supposons

que les inter-valles soient infiniment

petits

et

écrivons,

par

suite,

et _prenons comme variable

0, l’extrémité Xk

elle-même. 0 n a

Comme ru’ est certainement

_positif,

on voit que

(ôa~ ~’

1

est

_{toujours négatif,}

c’est-à-dire que est une fonction décroissante de xk. La

_{plus grande}

précision

s’obtiendra donc en

_{prenant Xk}

aussi

grand

que ’ possible,

contrairement à un résultat

indiqué,

dans un cas

_particulier,

_par Peierls à la suite d’un calcul

_numérique

un _peu

_{approximatif.}