TP-CALCUL INTEGRAL-INTEGRATION PAR PARTIES-CHAGEMENT DES VARIABLES-fonctions paires -impaires -periodiques

TP CALCUL INTEGRAL BTS1GO 2009-2010

Exercice 1 :

Soient f et g les fonctions définies sur ]0;[ par : f(x) = ² 2

x – ln x et g(x) = x ln x – x.

1. Calculer g’(x). En déduire les primitives de f sur ]0;[. 2. Calculer

1^ef x dx( )



^.

Exercice 2

On considère les deux fonctions f et g définie sur R par : ) 1

( ₂

  x x x

f et

) 1

( 2

3

  x x x

g .

1°/ déterminer une primitive F de f sur [0 ; 1]. En déduire ₁ ¹

0 ( ) I 



f x dx^. 2°/ On pose ₂ ¹

0 ( ) I 



g x dx ^.

a/ Démontrer que ^I₁^I₂^



₀¹



^{f x( )g x dx( )}



^



₀^{1x dx} . Calculer alors : I₁I₂ b/ En déduire la valeur de I2.

Exercice 3

le but de l’exercice est le calcul de l’intégrale 2 0

sin 2 1 2sin

x dx x







Pour cela, on introduit les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0; / 2]; par : ( ) ^{sin 2}

1 2sin f x x

 x

 et cos

( ) 1 2sin g x x

 x

 , ainsi que les intégrales : ²

0 ( )

I f x dx







^et J 0²g x dx( )







1. Montrer que f(x) + g(x) = cos x . En déduire que I + J = 1.

2. a. Calculer la dérivée de la fonction u définie sur l’intervalle [0; / 2] par : u(x) = 1+2sinx.

b. E n déduire une primitive de la fonction g sur l’intervalle [0; / 2], puis calculer J.

3. En utilisant les questions précédentes, déterminer la valeur exacte de I.

4.On rappelle que pour tout réel x ² 1 cos 2

cos 2

x  x. En déduire le calcul de



₀^2cos2

 

^{x dx.}

Exercice 4 :

On considère les intégrales I et J définies par ²

0 (cos )

I 



^x x dx ^et J 



0^x(sin )x dx² Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs exactes de ces intégrales sans les calculer.

1) Déterminer la valeur exacte de I + J.

2) On se propose dans cette question de rechercher de la valeur exacte de I  J.

a) Démontrer que I J 



₀^xcos(2 )x dx

b) On appelle f la fonction numérique définie sur l’ensemble R des nombres réels

par : 1 1

( ) sin(2 ) cos(2 )

2 4

f x  x x  x . Démontrer que pour tout nombre réel x, f x'( ) xcos(2 )x c) En déduire la valeur exacte de I  J.

3) A l’aide des questions précédentes, déterminer les valeurs exactes des intégrales I et de J.

Exercice 5

Calculer à l'aide d'une intégration par parties :

1

 

1( 1) cos

A



_ t t dt 0¹

B



xe dxx ^C



₁^e

^ln

^{t dt D}

^

^{03(x1)e dxx}

2 1^e ln

E



x x dx F 



1²(x²1)ln(2 )x dx G



0¹(x²3 )x e dx^{x H} 



^^{x2cosx dx}

0 ^x

sin

I 



^e x dx J 



0^e^2xcosx dx ^K



^₀^{/ 2xsinx dx} L



^0^{/ 2 2}x sinx dx

0( )sin( )

In 



^ t nt dt M 



0¹arctanx dx



0^{1/ 2}arccosx dx



0^{1/ 2}arcsinx dx Exercice 6 Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable indiqué

4 1

1

A 1 dx

 x



 ^{, t 1 x} 1² 2

1

2 2

B dx

x x





  ; t x 1 ₃⁴ 2

C t dt

 t



 ^{; t x 2}

²

1

(ln )

e x

D dx





x ^tlnx 0^{ln 3}1 2

 

t t

t

E e dt x e

 e 



 ; ²_{2 2}1

F 4dt

 t





 ^{; t2x}

1/ 2 2

0

1

t dt



^{tsinu 3}3 2 2

1

( 1)

H dx

 x





 ^{; uarctanx. 1/ 2}0 2

^

2

^

1 4

I dt x t

 t 





1

0 ^xln(1 ^x)

J 



e^ e dx ^{( t e x ) N}



₀^{/ 2cos3x dx}

^

^tsinx

^

^L



₀^{/ 4}_cos^sin₃^x_x^dx

^

^ttanx

^

Exercice 7

1. Soit

^{( ) 1}₂

( 1)

g x  x x



. Déterminer les réels a, b et c telle que :

( )

1 1

a b c

g x  x x  x

 

2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle

^{]1; [}

par :

^{( )} ₂² ₂

( 1)

f x x

 x



. Trouver une primitive F de f sur l’intervalle

^{]1; [}

.

2. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer :

2³ 2 2

2 ln

( 1)

I x x dx

 x





. On donnera le résultat sous la forme

^{pln 2qln 3}

avec p et q rationnels.

Exercice 8

Pour tout entier naturel n, on définit ²

0 ^nx

sin

In e xdx

 





^et J_n 0²e ^nx

cos

xdx

 





^.

1. Calculer I0 et J0

2. En intégrant par parties In puis J_n montrer que

2

n n

1

n

n n

I nJ

nI J e

 

 



   



. 3. En déduire les expressions de In et J_nen fonction de n.

4. Déterminer la limite de In et celle deJ_nquand n tend vers ^. Exercice 9

1. Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout u différent de ¹₂,

2

1

2 1 2 1

u c

u au b u

   

  ^.

2. Calculer

0 2 1

1

2 1

x dx

x







 .En déduire

0 3

2

cos 1 2sin

x dx

 x

 



^{(usinx ).}

Exercice 10

On considère les intégrales suivantes : I ^ (e^t e ^t)cosnt dt









  ; J ^ (e^t e ^t)sinnt dt









  ^{et an}₄¹_



^_^(et^{et)cosnt dt} 1. démontrer que la fonction f définie par ( ) (f t  e^te^t)cosntest une fonction paire puis conclure 2. démontrer que la fonction g définie par ( ) (g t  e^t e^t)sinntest une fonction paire, puis conclure 3. En posant u t( ) e^t e^tet après avoir calculer u t'( ), exprimerJ en fonction de I à l’aide

d’une intégration par parties

4. En posant u t( ) e^t e^tet après avoir calculer u t'( ) à l’aide d’une intégration par parties en déduire la valeur de I

5. Dans le cas où n est entier naturel, démontrer que :

  ^{ }

2

1

2 ( 1)

n n

e e

a n

 



  

 

En déduire la valeur de a₀ , a₁, a₂et a₃. Exercice 11

1- Calculer les intégrales suivantes de la manière la plus simple possible a ) ^{/ 2}

/ 2cos cos 2

I ^ x x dx







b) ^{/ 2}

0 sin cos 2

Fn 



^ x nx dx ( n est un entier naturel ) 2- Au moyen d’une intégration par parties , calculer les intégrales suivantes :

a ) ^{/ 2}

0

cos 2

In 



^ x nx dx ^{( nN} ) . b )

0

2 sin 2

Jn ^x nx dx





( n est un entier naturel ) ( on pourra utiliser la formule ^{cosn  }

 

^{1 n )}

3-Pour tout entier naturel n , on considère les intégrales : a_n ^/ 2

cos( )

nx dx





 ^et b_n 



0^{/ 2}x

cos( )

nx dx^. a) Montrer que

1

sin 2

n

a n n



 .

b)A l’aide d’une intégration par parties , montrer que 1₂ 1₂

sin cos

2 2 2

n

n n

b n n n

     

    

   

c) Déterminer a a et a1; 2 3, puis b b et b1; 2 3

Exercice 12

A ) Soit la fonction f deR ^dans Rpériodique de période 2 telle que : (f ) 0 et ( )f x x si   x  1. Construire la courbe C sur l’intervalle [ 3 ;3 ]   .

2. Calculer



_^_ ^{f x( )sin}

 

^{nx dx et}



_^_ ^{f x( )cos}

 

^{nx dx} ( n est un entier naturel )

B) Soit la fonction f de R^dans R , impaire et périodique de période4telle que

( ) 0 1

( ) 2 1 2

f x x si x

f x x si x

   

    

 1°. Représenter la courbe de la fonction f sur l’intervalle [ 6; 6 ]

2°. on considère la fonction g définie par ( ) ( )cos g x f x 2x

  

  , montrer queg, impaire et périodique de période 4.puis calculer ²

2 ( )cos

n 2

a f x n x dx



 

  

 



^{; puis bn} ²₂^{f x( )sin n}₂^{ x dx}

 

  

 



Calculer ensuite b_n pour n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 3°. Calculer la valeur efficace de f sur une période Exercice 13

1-Pour tout entier naturel n , on considère les intégrales :

0

sin( )

In 



^t nt dt ^et J_n 



0^t²

cos( )

nt dt^. Calculer I_n et J_n

2- on considère les intégrales : ₀ ^{/ 2}

0

2 sin

a ^ t t dt





^{et 1} 0 ^{/ 2}

4 sin cos(2 )

a ^ t t t dt





^.

a )Calculer a₀ .

b) Montrer que ^a₁^_²



₀^{/ 2t}



^{sin 3tsint dt}



. En déduire que ₁

20

a

9

   . c ) On pose ^{/ 2}

0

4 sin cos(2 )

an ^ t t nt dt





. Montrer que ²

 

^{1 1} ₂ ¹ ₂

(2 1) (2 1)

n

an

n n



 

    

 

 

Exercice 14

On considère les intégrales suivantes : ₂

0

2 (1 cos 2 )sin(2 )

b ^ t t dt





 ^; 0

2 (1 cos 2 )sin( )

bn ^ t nt dt





 ^et 0 ²

1 (1 cos 2 )

Veff ^ t dt





 1. Vérifier que



^{1 cos 2}



^{2 3 2cos 2 1cos 4}

2 2

t t t

    .

2. Calculer b₂ ; b_n et Veff

3. Dans le cas où n est entier naturel impair, démontrer que : 16₂

( 4)

bn

n n

   . En déduire la valeur deb₁et b₃ Exercice 15:

On pose : ²

0

1 ( ) ^int

Cn ^t  t e dt







  ,( n est un entier naturel )

1. Calculer C₀

2. Calculer Cn pour tout n0à l’aide de deux intégrations par parties successives 3. En déduire la valeur de

0

1 ^t( t)cos(2 )nt dt





^{ .}

4. calculer

 

0

2 ( )sin

bn t t nt dt

 





 Exercice 16

On considère la fonction f définie sur R, de période 2 , paire , telle que :

( ) [0 ; ]

2 2

( ) 0 [ ; ]

2

f t t si t

f t si t

 

 

    



  



.

1. Représenter la fonction f sur l’intervalle [ 2 ; 4 ]   2. Calculer les intégrales suivants : ₀ 1 ₀^{/ 2}

a ^ t 2 dt



 

   

 



an ² ₀^{/ 2} f t^{( )cos}

 

nt dt





et bn 



₀²f t^{( )sin}

 

nt dt^.

3. Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de f sur une période .

1°. Calculer : 1

( )

I 2 ^ t t dt

 

 ^





 ; ²

0

J 1 ^t dt





conclure . Calculer : ^A₁^_

¹ 

_^_^t

^cos  

^{nt dt et 2} 0 ²

^{ }

2 cos

A ^t nt dt





En déduire que : ^I_n ^{1 t t( )cos}

 

^{nt dt 2} ₀ ^t2cos

 

^{nt dt 4( 1)}₂ ⁿ

n

 

 

 ^ 





 



 

2°. Calculer ^B₁^_¹



_^_^t2sin

 

^{nt dt et} B²



0^tsin

^{ }

nt dt

En déduire que : Jn ¹ t t^{( )sin}

 

nt dt ² ₀ t^sin

 

nt dt ^{2 ( 1)n 1} n

 



 











 



  ^.

Exercice 1 7

Soit la fonction f de la variable réelle t définie par : 1° Représenter graphiquement f sur [ 2, 6[.

2° Calculer

fe

la valeur efficace de f.

4° soit

^{1 2}₂^{( 1)cos}

2 2

an t n t dt



 

   

 

 ^et

²2

1 ( 1)sin

2 2

bn t n t dt



 

   

 



a) Donner la valeur de

^b_n

.

b) Calculer

^a₀

et, pour

n1

,

^a_n

( Préciser les valeurs de

a2p

et de

a2p_1

).

cos(2n1) cos(2n1)  1 et ^{sin(2 1)}

 

^{1 1 ; sin(2 1)}

 

¹

2 2

n n

n     n   

sin(2n1) sin(2n1) 0 et cos(2 1) cos(2 1) 0

2 2

n_  _ n_  _

; cos 2n 1

 

cos(n  ) 1 ⁿ ; sinn 0 et ^{cos(n1) cos(n1)  }

 

^1n1

 

( ) 1 0;2

4 f t t pour t

f est paire

f est périodique de période

   





Exercice n°5

1)

^I



^₀^{/ 2xsinx dx}



^₀^{/ 2u x v x dx( ) '( )}

^où

^{u x( ) x u x'( ) 1}

^et

^{v x'( ) sin xv x( ) cosx}

^sont

continûment dérivables. D’après la formule d’intégration par parties,

/ 2 2 2 2 2 2

0 0 0

0 ( ) '( ) [ ( ) ( )] 0 '( ) ( ) [ cos ] 0 cos 0 [sin ] 1

I



^ u x v x dx u x v x ^ 



^ u x v x  x x ^ 



^  xdx  x^ 

2)

^{J }



^₀^{/ 2x2sinx dx}



^₀^{/ 2u x v x dx( ) '( )}

^où

^{u x( )x2 u x'( ) 2 x}

^et

^{v x'( ) sin xv x( ) cosx}

^sont

continûment dérivables. D’après la formule d’intégration par parties,

2 2 2

2 2 2

0 0

0 0 0

[ ( ) ( )] '( ) ( ) [ cos ] 2 ( cos ) 0 2 cos

J  u x v x ^ 



^ u x v x  x x^ 



^ x  x dx 



^ x xdx

On calcule l’intégrale

^{J }



^₀^{/ 22 cosx x dx}

en effectuant une deuxième intégration par parties :

/ 2 / 2

0 2 cos 0 ( ) '( )

J 



^ x x dx



^ u x v x dx

^où

^{u x( ) 2 xu x'( ) 2}

^et

^{v x'( ) cos xv x( ) sin x}

^sont continûment dérivables. D’après la formule d’intégration par parties,

2 2

2 2 2

0 0 0 0 0

[ ( ) ( )] '( ) ( ) [2 sin ] 2cos 0 2[sin ] 2

J  u x v x ^ 



^ u x v x  x x ^ 



^ xdx   x ^  

3)

^I



₀^{exsinx dx}



^₀^{u x v x dx( ) '( )}

^où

^{u x( )ex u x'( ) 2 ex}

^et

^{v x'( ) sin xv x( ) cosx}

^sont

continûment dérivables. D’après la formule d’intégration par parties,

_{0 0}

0 0 0

[ ( ) ( )] '( ) ( ) [ ^xcos ] ^x( cos ) 1 ^xcos

I u x v x ^ 



^u x v x  e x ^ 



^e  x dx e ^  



^e xdx

On calcule

^{J }



₀^{excosx dx}

en effectuant une deuxième intégration par parties :

0 ^xcos 0 ( ) '( )

I



^e x dx



^u x v x dx

^où

^{u x( )ex u x'( )ex}

^et

^{v x'( ) cos xv x( ) sin x}

sont continûment dérivables. D’après la formule d’intégration par parties,

0 0 0 0 0

[ ( ) ( )] '( ) ( ) [ sin ]

^{x x}

sin 0

^x

sin

J  u x v x ^ 



^u x v x  e x^ 



^e x dx 



^e x dx

On aboutit donc à l’équation

I e^  1 I

c’est-à-dire

2I e^ 1

et on conclut ainsi que 1 2

I e

 



4)

^I



₀^{e2xcosx dx}



^₀^{u x v x dx( ) '( )}

^où

^{u x( )e2x u x'( ) 2 e2x}

^et

^{v x'( ) cos xv x( ) sin x}

^sont

continument dérivables. D’après la formule d’intégration par parties,

2 2 2

0 0

0 0 0

[ ( ) ( )] '( ) ( ) [ ^xsin ] 2 ^xsin 0 2 ^xsin

I u x v x ^ 



^u x v x  e x ^ 



^ e xdx 



^ e xdx

On calcule

^{J }



₀^{2e2xsinx dx}

en effectuant une deuxième intégration par parties :

2

0 2 ^xsin 0 ( ) '( )

J 



^ e x dx



^u x v x dx

^où

^{u x( ) 2 e2xu x'( ) 4 e2x}

^et

^{v x'( ) sin xv x( ) cosx}

^sont continûment dérivables. D’après la formule d’intégration par parties,

2 2 2 2 2

0 0

0 0 0

[ ( ) ( )] '( ) ( ) [ 2 ^xcos ] 4 ^x( cos ) 2 4 4 ^xcos 2 4

J  u x v x ^ 



^u x v x   e x^ 



^ e  x dx e ^ 



^ e xdx e ^  I

On aboutit donc à l’équation

^{I 2e2  2 4I5I2e2   2 I }₅²



^{e2 1}



5. 

₀^{1/ 2}arcsinx dx

^{:    }

   

2

arcsin ' 1

1

' 1

f x x f x

x

g x g x x

  



  

d’où

 

1/ 2 1/ 2 1/ 2

2

2 2

0 0 0

1 2 1

arcsin arcsin arcsin 1

2 2

1 1

1 3 3 2

arcsin 1/ 2 1

2 4 12 4

x x

I x x dx x x dx x x x

x x



    

           

     

 

.

Une primitive pour Arccosinus.

Pour tout réel x de cet intervalle, on peut écrire que : arccosxarccosx1.

Les deux fonctions f et g requises pour une intégration par parties sont donc définies par : ( ) arccos

f x  x. f est dérivable sur [-1 ; 1] et 1 ₂ '( )

1 f x

x

 

 . '( ) 1g x  . ( )g x x.

 

 

1/ 2 1/ 2 1/ 2

2

2 2

0 0 0

arccos arcsin 1 2 arccos 1

1 2 1

1 3 3 1

arccos 1/ 2 1

2 2 6 2

x x

I x x dx x x dx x x x

x x



  

          

     

 

Une primitive pour Arctangente.

( ) arctan

f x  x. f est dérivable sur R et 1 ₂ '( ) 1 f x  x

 . '( ) 1g x  et ( )g x x. Une primitive de 1 ₂

x 1

 x

 est donc 1 ² ln(1 ) 2 x .

1 2 1

0 0

1 1

arctan arctan ln(1 ) ln 2

2 4 2

M x dx x x x  

      

 



^.

Exercice 6

1/ 2 2

0

1

t dt



on pose : tsinu u arcsint. II s'agit d'écrire une nouvelle intégrale du type ^b ( )

a f u du



^.

 Le changement de variable provoque un changement de bornes de l'intégrale : la variable t varie de 0 à 2 , donc la variable u varie de 0 arcsin 0 à / 6 arcsin 1/ 2

 

.

 On calcule la dérivée de u par rapport à t à l'aide de la notation différentielle : 1 ₂ 1 du

dt  t

 A partir de cette égalité, on exprime dt en fonction de u et du.

dt 1t du²  1sin udu²  cos²udu cosu du.Puisque 0 u 6

  , cosu0, doncdtcosudu. On exprime la fonction à intégrer en fonction de u : 1t²  1sin u²  cos²u  cosu cosu

D’où

1/ 2 2 / 6 2 / 6 2 / 6 / 6

0 0 0 0

0

1 cos 2 1 3

1 1 cos cos sin 2

2 2 4 12 8

u u

t dt sin u udu u du du u

      

         

   

correction7

1.

2

( ) 1

( 1)

g x  x x



. a.

( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( ) 2 ( )

( ) 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

a b c a x x bx x cx x a b c x c b x a

g x x x x x x x x x x

          

    

     

d’où on tire par

identification :

0 1 1/ 2

0 0 1/ 2

1 1 1

a b c b c b

c b c b c

a a a

     

  

       

  

       

  

. On a donc

^{( ) 1 1 1 1 1}

2 1 2 1

g x x x x

  

 

.

b.

^{( ) ln 1ln 1 1ln 1 ( ) ln 1ln( 1) 1ln( 1)}

2 2 2 2

g x dx  x  x  x G x   x x  x

 (ne pas oublier les valeurs

absolues au départ, on les supprime par la suite car on est sur

^{]1; [}

).

2. Pour trouver une primitive de

2 2

( ) 2

( 1)

f x x

 x



, il suffit d’utiliser

^{' 1 1} 1

n n

u u dx u

n

 





^avec

^{u x 21}

^et

n 2

: 1

^{2 2 1} ₂

1

( ) ( 1)

2 1 1

f x dx x

x

  

  

  

 ^.

3. il faut intégrer par parties :

^{ln , '} ₂² ₂ ^{' 1,} ₂¹

( 1) 1

u x v x u v

x x x

     

 

, ce qui donne

3 3 3

2 2 2 2

2 2 2

2 ln 1 1 1 1 1 1 1

ln ln 3 ln 2 ln 3 ln 4 ln 2 ln 2 ln 3 ln1

8 3 2 2 2 2

( 1) 1 ( 1)

1 1 1 1 13 17

ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 2 ln 2 ln 3 ln 3 ln 2.

8 3 2 2 8 6

x x

I x dx dx

x x x x

      

                    

          

 

Correction8

1.

I0 0²

sin

xdx

 cos

x



0²

1

 





  

^,

J⁰ 0²

cos

xdx

^ sin

x

^

⁰²

1

 





 

^.

2. On pose par exemple

^'

' sin cos

nx nx

u e u ne

v x v x

 

    

 

 

  

 

 

d’où

2 2 2

0 ^nxsin ^nxcos 0 0 ^nxcos 1 1

n n n n

I e xdx e x ne xdx nJ I nJ

  

    





   



    

^.

On procède de même pour la deuxième intégrale en posant . '

' cos sin

nx nx

u e u ne

v x v x

 

    

 

 

 

2 2 2 2

0 ^nx

cos

^nx

sin

0 0 ^nx

sin

ⁿ

n n

J e xdx e x ne xdx e nI

        





  



 

3. Il ne reste plus qu'à résoudre le système linéaire:

2

n n

1

n

n n

I nJ

nI J e

 

 



   



. En multipliant la première ligne

par

ⁿ

et en l'ajoutant à la deuxième on obtient :

2 2

2 2

2 2

(1 )

1

n n n n

n n

n

n n

nI n J n n e

n J n e J

nI J e n

 



 



   

      

 

   



. En multipliant la deuxième ligne par

^n

et en l'ajoutant à la première, on obtient :

^{2 2} ₂²

2 2

1 1

(1 ) 1

1

n n n n

n n

n

n n

I nJ

n I e I ne

n I nJ ne n

 



 



 

 

      

 

   



. 4. L’exponentielle l’emporte toujours, donc

lim ² 0

n

n ne

 

 

, car

_x^lim_^{xex 0}

et

lim ² 0

n

n e

 

 

; de plus

_n^{lim (1}_ ^n2)_n^lim_^{n2  }

. Par conséquent

_n^lim_^In0

( limite d’un quotient )

² 2

1 1 1 1

1/ 1 1/

n

n n

ne

J e

n n n n n







   

     

.

lim ^{1 2} lim ^{2 ln1} lim ^{2 ln1} lim ^{2 ln} lim ^{(2 ln )}

n

n n n n

n n

n n

n e n e e n e n e n e

n



     

     

        

 

lim ln lim lim ln

2 2

n n n n n n n

  

   

    

   

   

, on posant

^ln

x n_ 2 _ n

, on a donc

_x^lim_^ex0

, et en déduit que

lim ^{1 2} 0

n

n e

n

 

 

et

^{lim 1 1 2 1}

n

n e

n

 



 

  

 

 

, puis

^{lim 1 lim lim 1 0}

n n n n n

n n

          

.

lim 1 0

1/

n^n n 



, en appliquant le théorème (limite d’un produit ), on obtient

_n^lim_^{Jn 0}

en peut aussi écrire

^lim n ^lim ₂ ⁰

n n

J n

n

   

( car lim

ⁿ²

0

n e

 

 

)

Correction 9

2 2 2 1 1/ 2

1 2 2 1 1 3/ 4

2 0 1/ 4 ( )

2 1 2 1 2 1 2 4 2 1

1 3/ 4

a a

u c au au bu b c

au b b a b f u u

u u u u

c b c

 

 

                 

          

.

2.

2 0

0 0

2

1 1 1

1 1 1 3 2 1 1 3 1 1 3 3

ln 2 1 0 ln 2 1 ln 3

2 1 2 4 8 2 1 4 4 8 4 4 8 8

x dx x dx x x x

x x

  

                

 