TP -FONCTIONS RATIONNELLES-LIMITES-2009-2010-TERM-STL-PH

(1)

TP N° MATHEMATIQUES - Etude globale d'une fonction rationnelle TERM-STI-STL 09 /10 Exercice n° 1:

Soit la fonction^f définie par ² 3

( ) 2

x x

f x x

 

 et on note (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; ; )O i j 

d’unité 1 cm.

1. Déterminer le domaine de définition de f , noté Df .

2. Démontrer qu’il existe trois nombres a, b et c tels que g(x) = a x + b +

2 x

c surDf .

5. Étudier les limites de ^f en 2^et en 2^. En déduire que la courbe C admet une asymptote verticale D dont on précisera l'équation.

6. Étudier les limites de ^f en ^{ }et ^{ }.

7. Démontrer que la droite  d'équation ^y^{  }^x ¹est asymptote oblique à la courbeC en ^{ }et en ^{ } Préciser la position relative de C et de .

8. Déterminer ^{f x}^{'( )}, puis dresser le tableau de variation de ^f .

9. Déterminer une équation de la tangente ( T1 ) à (C ) au point d’abscisse 1, puis une équation de la tangente ( T2 ) à (C ) au point d’abscisse 3.

Construire (C ), ( T1 ), ( T2 ) dans le repère ( ; ; )O i j  Exercice 2

On considère la fonction ^f définie sur  ^\

 

^¹ par :

2 7 10

( ) 1

x x

f x x

 

 

On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormal ( ; ; )O i j 

. (Unités : 1 cm par axe) 1. Calculer ^f⁽⁰⁾. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des ordonnées.

2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.

3. Déterminer les réels a, b et c tels que : ( )

1 f x ax b c

  x

 , pour tout ^x^^R^\

 

^¹

4. Étudier les limites de ^f en 1^et en 1^. En déduire que la courbe C admet une asymptote verticale D dont on précisera l'équation.

5. Étudier les limites de ^f en ^{ }et ^{ }. La courbe C admet-elle une asymptote horizontale ?

6. Démontrer que la droite  d'équation y = x + 6 est asymptote oblique à la courbe C en ^{ }et en ^{ } Préciser la position relative de Cf et de .

7. Calculer la dérivée ^f ^'de^f puis étudier son signe. En déduire le tableau de variation de ^f

8. Déterminer une équation des tangentes T_2 et T_3aux points de la courbeC d'abscisses respectives 2 et 3.

9. Tracer, dans le repère D, ,T_2, T_3et C .(On se limitera à[ 8; 1[ ] 1;6]    ) Exercice 3

On considère la fonction f définie sur



^^;3

 

^ ^3;^



par ( ) ² ⁵ ¹⁰ 3

x x

f x x

  

 

On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ; ; )O i j  1. a. Déterminer la limite de f aux bornes de son ensemble de définition

2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x différent de 3, ( )

3 f x ax b c

  x



3. Soit la droite d'équation y = x + 2 Démontrer que la droite est asymptote oblique à la courbe C en ^{ }et en ^{ }. Préciser la position relative de Cf et de .

4. a. Calculer la dérivée f ’ de f

b. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations

5. a. Montrer que la droite Δ, d’équation ^y^³^x^² est tangente àC au point d’abscisse 2 b. Etudier la position relative de Δ et C .

6. Déterminer l’équation de la droite Δ’ qui est parallèle à Δ (mais différente de Δ)et qui soit tangente à C .

(2)

Exercice 4

On considère la fonction f définie sur ^]     ^{; 1[ ] 1;} ^[ par : ² 2

( ) 2 2

x x

f x x

  

 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( ; ; )O i j 

d’unité graphique 1 cm 1. Calculer f ’(x) , montrer que ^{f x}^{' ( )}^^{2 ² 4}^x₍₂_x^_^x_2)²^⁶ .

3.Déterminer les variations de f sur son ensemble de définition, on calculera les extremums et on complétera le tableau de variation avec les limites calculées au 1).

4. Soit la droite D d'équation 1 2 1

y x et la droite ( ) d’équation x 1.on appelle I le point d’intersection des droites (D ) et ( ) . Montrer que le point I est le centre de symétrie de C 5. Déterminer les coordonnées des points d’intersection deC avec la droite d’équation y = 1.

On nommera A et B ces deux points, A étant celui des deux points dont l’abscisse est la plus petite.

A est le point d’abscisse 0 de C , déterminer l’équation de la tangente (TA) à C au point A.

6. Existe t-il d’autres points de C où la tangente est parallèle à (TA), dans l’affirmative calculer les coordonnées de ce(s) point(s).

7.Construire sur du papier millimétré dans un même repère orthonormé ( ; ; )O i j 

d’unité graphique 1 cm les droites (D), (D’) , (TA) et la courbe (C ) .

Exercice 5:

On considère la fonction f définie sur ] 3 ; +∞ [ par ( ) ² ⁵ ⁷ 3

x x

f x x

 

  et

C

sa représentation graphique 1. a. Déterminer la limite de f aux bornes de son ensemble de définition

b. La courbe Cf admet-elle une asymptote horizontale ? verticale ? dans l’affirmative en donner une équation.

2. Déterminer les réels a, b et c tels que ^{( )}

3 f x ax b c

  x



3. a. Montrer que la droiteD d’équation^{y x}^{ }² est asymptote à C b. Déterminer la position de C par rapport à D.

4- Montrer que le point I ( 3 ;1) est le centre de symétrie de C

5. Calculer f’ (x)et étudier son signe et dresser le tableau de variation de f Exercice 6

On considère de la fonction f définie sur



    ^{; 2}

 

^2;



² 3 3

( ) 2

x x

f x x

 

 

et on appelle C la courbe représentative dans un repère ( ; ; )O i j  1. a. Déterminer la limite de f aux bornes de son ensemble de définition

b. La courbe C admet-elle une asymptote horizontale ? verticale ? dans l’affirmative en donner une équation.

2. Déterminer les réels a, b et c tels que ^{( )}

2 f x ax b c

   x

 3. a. Montrer que la droite d’équation^{y x}^{ }¹ est asymptote à C b. Déterminer la position de C par rapport à D

4. Calculer f’ (x) et étudier les variations de f et dresser son tableau de variation Exercice 7

Soit f la fonction définie sur I = ] ^{2 ,}^{ } [ par :

( 3 )2

( ) 2

f x x x

 



Soit (C ) la courbe représentative de f , dans un plan , muni d'un repère orthonormé(O i j; ; )  ( unité graphique : 2 cm sur les axes ) .

1° / a / Vérifier que pour tout x^ I : ^{f x}^{( )}^{  }^x ⁴ _x¹_₂.

b / Déterminer la limite de f quand x tend vers 2; qu'en déduit-on pour la courbe (C ) .

(3)

Calculer _x^lim_{  }^{f x}^{( )} .

c / Démontrer que la droite (D1 ) d'équation : ^y ^{ }^x ⁴ est une asymptote oblique pour la courbe (C ).

2°. a / Calculer f' ( ) , vérifier que x 2

( 3 )( 1) ' ( )

( 2 )

x x

f x x

 

  .

b / Etudier le signe de f' ( ) et dresser le tableau de variations de f .x

c / Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe (C ) au point A d'abscisse 4 . b / Construire les droitesD1 , D2 et la tangente ( T ) , puis la courbe (C ).

4 ° /Déterminer graphiquement les solutions de l'équation : f x( ) 1

2 et vérifier par le calcul quelle est bien solution de cette équation .

Exercice 8:

Soit la fonction f définie sur 2

] ; [

3

  par ^{( )} ³ ² ⁴ ¹

3 2

x x

f x x

 

  . etC sa courbe représentative dans un repère orthonormal



^{O i j}^{; ;}^{ }



( unité graphique : 1cm ).

1-Déterminer les réels a, b et c tels que l'on puisse écrire

2 ) 3

(    

x b c ax x

f .

2-Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

3-Montrer que f admet la droite d'équation ^y ^^x^² comme asymptote en

 

. 4-Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

5-Calculer les coordonnées des points d'intersection deC avec l'axe des abscisses.

6-Déterminer l'équation de la tangente T à C au point A d’abscisse 2

 1 .

7-Construire la courbe représentative C de la fonction f, ses asymptotes et la tangente T.

Exercice 9

Soit^f la fonction définie sur R par ( ) ³₂² ⁶ ⁴

2 2

x x

f x x x

 

   et soit (C ) la courbe représentative de^f dans un repère orthogonal (O; , ) i j

unités : 1 cm sur l'axe des abscisses ; 3 cm sur l'axe des ordonnées.

1. Etudier les variations de ^f .

2-Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (C ) avec les axes de coordonnées.

3. Montrer que la droite ^{( )}^ d'équation x1 est axe de symétrie de (C ) 4. Tracer ^{( )}^ et (C ) .

Exercice n° 10

On considère la fonction f définie sur ^R^\



^^2;1



par ^{( )} ³ ⁹

² 2

f x x

x x

 

  . 1 / Déterminer deux réel a et b tels que l’on ait pour tout x , ^{( )}

2 1

a b

f x x  x

 

2 / Etudier les limites de f en ^et  . Etudier les limites de f en 1^ et 1⁺ Etudier les limites de f en 2^ et 2⁺

3 / Montrer que ^{f x}^{'( )}^{  }³ _{( ²}^x_x^{² 6}^_{ }_x^x^_2)²⁵ 4 / Déterminer les variations de la fonction f .

5 / On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}^{ }



d’unité 2 cm sur les axes .

a / préciser les coordonnées du point A , intersection de C avec l’axe des abscisses et les coordonnées du point B intersection de C avec l’axe des ordonnées

b / Déterminer une équation des tangente respectives à C en A et en B .

c / Dans le repère



^{O i j}^{; ;}^{ }



construire la courbe C les asymptotes et les tangentes àC . Exercice 11

(4)

Soit f la fonction définie par ( ) ² ² ³ ¹⁰ 3

x x

f x x

 

  .

On noteC la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

1. Déterminer le domaine de définition de f.

2. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout réel x différent de 3, ^{( )}

1 f x ax b c

   x

 . 3. Calculer ^lim



^{( ) (2} ³⁾



x f x x

   et ^lim



^{( ) (2} ³⁾



x f x x

  

Donner une interprétation graphique du résultat.

4. On note 1 la droite d’équation y = 2x + 3.

Etudier la position relative deC et de 1.

5. Déterminer_x^{lim ( )}_₃^ ^{f x} et _x^{lim ( )}_₃^ ^{f x} . Donner une interprétation graphique du résultat.

Exercice 12

f est la fonction définie sur



^^{2 ;}^{ }



par : ( ) ² ⁶ ⁷

2 4

x x

f x x

 

  et C est la courbe représentant f dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).

1. Démontrer que la droite d’équation x = 2 est asymptote à la courbe C 2. a) Vérifier que pour tout ^x^{ }



^{2 ;}^{ }



, ^{( )} ⁴ ⁹

2 2 4

f x x

   x

 . b) Etudier alors la limite de f en +.

c) Montrer que la droite  d’équation ⁴ 2

y x est asymptote à la courbeC en +.

3. a) Calculer la dérivée de f et vérifier que 2

( 5)( 1) '( ) 2( 2)

x x

f x x

 

  .

b) Etudier le sens de variation de f sur



^^{2 ;}^{ }



. c) Dresser le tableau de variation de f sur



^^{2 ;}^{ }



. 4. a) Déterminer les racines du trinôme ^{P x}^{( )}^^x²^⁶^x^⁷.

Déterminer alors les coordonnées des points d’intersection deC avec l’axe des abscisses.

b) On note TA la tangente àC au point A d’abscisse 1 et TB la tangente à C au point B d’abscisse 7.

Déterminer une équation des tangentes TA et TB.

c)Tracer la courbeC , ses asymptotes et ses tangentes aux points A et B.

Exercice 13

On considère la fonction f définie sur ] ; 1[]1 ; +[ par : ^{( )} ² ⁵ ⁸

4 4

x x

f x x

 

  et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal



^{O i j}^{; ;}^{ }



^.

1 / Déterminer les réel a , b et c tels que l’on ait pour tout x , ( )

4 4

f x a x b c

   x



2 / Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. On indiquera l'existence éventuelle d'une asymptote.

3 / Montrer que : ^{f x}^^{( )}^ ^x₄₍^{² 2}^_x_^x_1)²^³ et en déduire les variations de f sur son ensemble de définition, on dressera le tableau de variation de f que l'on complétera avec les limites trouvées au 1).

4 / Montrer que la droite (D) d'équation ¹ 1

y4x est asymptote à la courbeC en + et .

5 / Etudier la position relative de la courbe C par rapport à son asymptote (D).

6 / Déterminer les coordonnées du point A intersection deC avec l'axe des ordonnées.

7 / Déterminer l'équation de la tangente (TB) à C au point B d'abscisse 2.

8 / Dans un repère orthogonal



^{O i j}^{; ;}^{ }



( unité graphique : 1 cm sur l'axe des abscisses pour 2 cm sur l'axe des ordonnées ) construire la courbe C les asymptotes et les tangentes àC .

Exercice 4

(5)

1) pour tout réel 0 et -1

1 2

1 2 1 2

lim 1

² 1 1

² 2 ² ² ²

( ) lim ( )

2 2

2 2 2 2 lim 2 2 2

1 2

lim 1

² lim

lim 2 2 2

x

x x

x

x x

x

x x

x x x x x x x x

f x f x

x x

x x x

x





 

  

            

   

        

            

    

  

  

  



1

1 1

1

1 1

lim ² 2 4

( ) lim ( )

lim 2 2 0

lim ² 2 4

lim ( )

lim 2 2 0

x

x x

x

x x

f x f x

x

x x

x f x







 



 



   

    

  

     

  

des deux dernières limites, on en déduit que la droite d’équation x = -1 est asymptote à Cf

     

 

²

² 2 ( )

2) ( ) ( ) ² 2 '( ) 2 1 ( ) 2 2 '( ) 2

2 2 ( )

2 1 2 2 2 ² 2 4 ² 4 2 2 2 ² 2 4 2 ² 4 6 2( ² 2 3)

'( ) ; '( )

(2 2)² (2 2)² (2 2)²

2 2

x x u x

f x u x x x u x x v x x v x

x v x

x x x x x x x x x x x x x

f x f x

x x x

x

             



              

   

  



3) f’(x) est du signe de x² + 2x – 3 car (2x + 2)² > 0 sur ^]     ^{; 1[ ] 1;} ^[

 = 4 – 41(-3) = 4 + 12 = 16 > 0 donc deux racines réelles pour x² + 2x – 3:

1 2

2 4 2 4

1 3

2 2

x   et x  

    

Calcul des extremums :

( 3)² ( 3) 2 9 3 2 14 7 1 1 2 2 1

( 3) (1)

2( 3) 2 6 2 4 2 2 2 4 2

f            f     

      tableau de variation de f :

donc la droite d'équation 1 1 est asymptote à en - et +

2 ^f

y x C  

position de la courbe Cf par rapport à l’asymptote (D’) :

2x + 2 < 0 si et seulement si x < 1 ; 2x + 2 > 0 si et seulement si x > 1 donc sur l’intervalle ] ; 1[ , Cf est strictement au dessous de la droite (D’)

x ^ 3 1 1 

'( )

f x ^ 0 + + 0 ^ ( )

f x -7/2

 

 1 

1/2

1 ² 2 2

4) ( ) 1

2 2 2 2

² 2 ( 2)( 1)

2 2

² 2 ( ² 2) 4

2 2 2 2

lim 2 2 lim ( ) 1 1 0

2

lim 2 2 lim ( ) 1 1 0

2

x x

x x x

f x x

x

x x x x

x

x x x x

x x

x f x x

 

 

  

 

    

    

 

    

 

 

 

      

 

      

(6)

et sur l’intervalle ]1 ; + [ , Cf est strictement au dessus de la droite (D’)

² 2

5) ( ) 1 1 ² 2 2 2 ² 3 0 ( 3) 0 0 ou 3

2 2

x x

f x x x x x x x x x x

x

                  



la droite d’équation y = 1 coupe la courbe en deux points A et B de coordonnées A(0 ; 1) et B( 3 ; 1).

6) Coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 : 2 ( 3) 6 3

'(0) 2² 4 2

f      l’ordonnée du point A est f(0) = 1 d’après la question 5)

Equation de la tangente au point d’abscisse 0 : y = f’(0) (x – 0) + f(0) ;

 

^: ³ ¹

A 2

T y  x

 

7) soit x l’abscisse d’un point éventuel où la tangente est parallèle à (TA) deux droites sont parallèles (où confondues ) si leurs coefficients directeurs sont égaux :

3 2 ² 4 6 3

'( ) 3(2 2)² 4 ² 8 12

2 (2 2)² 2

3(4 ² 8 4) 4 ² 8 12 12 ² 24 12 4 ² 8 12

16 ² 32 0 16 ( 2) 0 0 où -2

x x

f x x x x

x

x x x x x x x x

x x x x x x

   

        



             

          

on retrouves l’abscisse du point A et l’abscisse d’un autre point : x = 2 calculons l’ordonnées de ce point : ( 2)² 2 2 8

( 2) 4

2( 2) 2 2

f        

  

il existe un autre point de Cf où la tangente est parallèle à (TA) c’est le point de coordonnées (2 ;  4).

Exercice 12 :

Soit f la fonction définie sur ]-2 ; +[ par : ² 6 7

( ) 2 4

x x

f x x

 

  .

1. ²

lim (2 6 7) 4 12 7 9

x x x

       ;

lim (22 4) 0

x x



   lim ( )

x f x

  . La droite d’équation x = 2 est donc asymptote à C.

2. a) pour x > 2, 9 (2 4) 8(2 4) 9 ² 2 8 16 9 ² 6 7

( ) 4

2 2 4 2(2 4) 2 4 2 4

x x x x x x x x x

f x x x x x

         

     

   

b. lim (2 4)

x x

    1

lim 0

(2 4)

x x 

 lim 4

2

x

   , donc lim ( )

x f x

  

(7)

2

2 2 2

6 7

6 7 1

lim ( ) lim lim lim lim

2 4 2 4

x x x x x

x x x x x x

f x x

x x x

x

    

   

 

     

          

c) 9

( ) 4

2 2 4

f x x

x

   

   

  et 9

lim 0

(2 4)

x x 

 .donc lim ( ) 4 0

2

x

f x x



   

  

 

La droite d’équation 4 2

y x est donc asymptote à C en + .

3. a) f est dérivable sur ] 2 ; +[ car c’est une fonction rationnelle. 9

( ) 4

2 2 4

f x x

   x

 ;

 

   

 

   

 

2

2 2 2 2

2 4 36 2 4 6 2 4 6 1 5

1 18

'( ) 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2

x x x x x

f x x x x x

       

    

   

or (x + 5)(x – 1) = x² + 5x – x – 5 = x² + 4x – 5 .Donc ( 5)( ₂1)

'( ) 2( 2)

x x

f x x

 

  .

b) sur ]2 ;+[, le dénominateur est strictement positif,

et (x + 5)(x – 1) > 0 pour x  ] ; 5[ ∪]1 ; +[ ; (x + 5)(x – 1) < 0 pour x  ]5 ; 1[.

Donc f ’(x) > 0 pour x  ]1 ; +[ et dans ce cas, f est croissante et f ’(x) < 0 pour x  ]-2 ; 1[ et dans ce cas, f est décroissante.

c) Tableau de variation de f :

x 2 1 

'( )

f x  0 ^

( )

f x  

2

1 6 7 12

(1) 2

2 4 6

f      

 . f admet donc un minimum en 1 qui est ^f⁽¹⁾^{ }². 4. a)  = b² – 4 a c  = (6)² – 4  1  (7) = 36 + 28 = 64 ;   64 8 Le trinôme a alors deux racines : 1

6 8 1

x  2   et 1

6 8 7

x  2 

L’abscisse des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses vérifie f(x) = 0 , c’est à dire P(x) = 0 avec x > 2. Ces abscisses sont alors 1 et 7. Les coordonnées des points sont alors (1 ; 0) et (7 ; 0).

b) A(-1 ; 0) et B(7 ; 0). Une équation de TA est : ^y^ ^f ^{'( 1)(}^ ^x^{ }¹⁾ ^f^{( 1)}^

2

( 1 5)( 1 1)

'( 1) 4

2( 1 2)

f        

  et ^f^{( 1) 0}^{ } y = 4(x + 1) ; y = 4x – 4 Une équation de TB est : ^y^ ^f ^'(7)(^x^{ }⁷⁾ ^f⁽⁷⁾ ; 2

(7 5)(7 1) 4

'(7) 2(7 2) 9

f    

 ⁴



⁷



y7 x soit 4

7 4 y x

(8)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1 -2 -3

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4

0 1

1

x y

 TA

TB

C

Exercice

2

2 2

lim ² 1 4 2 1 1

² 1

1) ( ) ; lim ( )

2 lim 2 0

1 1

1 1 1 1 lim 1

² 1 1

² ² ²

( ) ; lim ( )

2 1 2 2

1 lim 1 1

x

x x

x

x x

I f x f x

x x

x x x

x x x x x x

f x f x

x x x x





 





      

  

       

  

           

      

     

          

la droite d’équation x = -2 est asymptote à la courbe.

(9)

1 2

(2 1)( 2) ( ² 1) 2 ² 4 2 ² 1

2) '( )

( 2)² ( 2)²

² 4 3

'( ) ; '( ) est du signe de ² 4 3 ; ( 2)²

car ( 2)² 0 sur ]- 2; [ ; 16 12 4 0

4 2 4

donc deux racines réelles distinctes : 1 2

x x x x x x x x x

f x x x

x x

f x f x x x

x x

          

 

 

  



       

  

    2

2 3

  

( 1)² 1 1

( 1) 1

f    1 2   

 

3)

² 1 ( 2)( 1) ² 1 ² 2 2

( ) ( 1)

2 2 2 2

² 1 ² 2 1

; lim ( ) ( 1) 0

2 2 2 ^x

x x x x x x x x x

f x x

x x x x

f x x

x x x ^

        

     

   

   

     

  

donc la droite d’équation y = x- 1 est asymptote à la courbe.

1 2

4) ( ) 0 ² 1 0

1 4 5 0 donc deux racines réelles distinctes :

1 5 1 5

la courbe coupe l'axe

2 2

des abscisses en deux points d'abscisses

1 5 1 5

2 2

f x x x

x x

et

    

    

   

 

   

Exercice 26

Soit f la fonction définie sur ]1; + [ par : ( ) 2 ² 1

x x

f x x

 



2

lim 21 1

x _ x x

   _et

lim1 1 0

x _x ^

   par conséquent

2 1

lim2 1

x

x x

x



  

 donc la courbe représentative de la fonction f a pour asymptote la droite d’équation x = 1.

x 2 1 

'( )

f x ^ 0 + ( )

f x  

1

(10)

2 2

lim lim lim 2

1

x x x

  

    



 

2 ²

 

² ²



² ¹

 

¹



2 ² 2 ² 1 1

( ) 2 1 2 1

1 1 1 1

x x x x

x x x x x x

f x x x

x x x x

   

    

       

   

or 1

lim 0

1

x^x 

 par conséquent la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la droite  d’équation y = 2x + 1 en + .

L’étude du signe de ^{( )}



² ¹



¹

f x x 1

   x

 nous indique la position relative de la courbe et de son asymptote.

Or x   1 x 1 0 d’où 1 1 0

x 

 ^et ^{f x}^{( )}^



²^x^{ }¹



⁰^.

La courbe est donc au dessus de l’asymptote.

f u

 v d’où ' ₂ ' ' u v v u

f v

  avec

( ) 2 2

( ) 1

u x x x

v x x

  



  



et d’où

'( ) 4 1 '( ) 1

u x x

v x

 



 



et

Ainsi

     

2 2 2 2

2 2 2

4 1 1 2 4 5 1 2 2 4 1

'( ) 1 1 1

x x x x x x x x x x

f x x x x

         

  

  

Pour déterminer les variations de la fonction f étudions le signe de la dérivée f’.



^x^¹



² ^⁰ donc le signe de f’ dépend du signe de P x( ) 2 x² 4x1 , polynôme du second degré dont le discriminant  = 16  8 = 8 et  2 2

les racines du polynôme sont ₁ 4 2 2 2 2

4 2

x  

  ^et ₂ 4 2 2 2 2

4 2

x  

 

en remarquant que 2 2 2 1

  et que le coefficient de x² est positif nous pouvons déduire le signe de la dérivée f’

ainsi que le tableau des variations de la fonction f x 1 2 2

2

 

'( )

f x ^ 0 + ( )

f x  

2 2 3 La dérivée s’annule en changeant de signe pour 2 2

2

 la fonction admet donc un extremum en ce point. D’autre

part pour 2 2

x 2 nous avons f x'( ) 0

(11)

Donc la fonction f admet pour minimum 2 2

2 2 3 f  2  

La tangente à la courbe C f est parallèle à la droite d’équation y = 1  2 x, alors le coefficient directeur de la droite

est égal à   2 . Nous devons donc déterminer les réels x solutions de l’équation f x'( ) 2

 

   

2 2

2 2 2

2 4 1 2 1

2 4 1 4 8 3

2 0 0

1 1 1

x x x

x x x x

x x x

   

         

  

soit 4x² 8x 3 0 avec  = 64  48 = 16 et  4 les solutions sont ₁ 1

x  2 et ₂ 3 x  2 sur ]1; + [ l’équation f x'( ) 2 admet une seule solution 3

x 2 L’équation de la tangente  est  3 3

2 2 2

y  x  f     soit y =  2 x + 9 Représentation graphique

Exercice 31

Soit^f la fonction définie par ( ) ² ³ ⁶ 1

x x

f x x

  

  et soit Cfla courbe représentative de ^f dans le repère orthogonal(O; , ) i j

unit´es : 1cm sur l’axe des abscisses ; 2 mm sur l’axe des ordonnées.

1. Déterminer l’ensemble de définition de ^f .

2. Calculer les limites de ^f aux bornes de cet ensemble.

3. Déduire de la question précédente une asymptote D àCf. 4. Etudier les variations de ^f .

5. Déterminer les réels a, b, c tels que ^{( )}

2 f x ax b c

   x



6. Montrer que la droite^{( )}^ d’équation  x 2est asymptote à Cf quand xvers et vers ^. 7. Etudier la position relative de Cfet de ^{( )}^ .

8. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T₁ à Cf au point A d’abscisse 0.

9. Déterminer une équation de la tangente T2 à Cf au point B d’abscisse 2.

10. Déterminer tous les points deCf ayant une tangente parallèle à T1. 11. Montrer que le point ( 1; 1) est centre de symétrie de Cf.

12. Déterminer les points d’intersection de Cfavec les axes de coordonnées.

13. Tracer D, ^{( )}^ , ^T₁, ^T₂ et Cf.





(12)

Exercice 31Correction

1.^{f x}^{( )}est définie si et seulement si son dénominateur x 1 0, ce qui équivaut à x1. Ainsi Df R^{\ 1}

 

    ^] ^{;1[ ]1;} ^[.

2. Partons du membre de droite de l’égalité proposée : pour tout x1, on a :

2 2

4 ( 2)( 1) 4 2 2 4 3 6

2 1 1 1 1

x x x x x x x

x x x x x

           

     

    , ce qui fallait démontrer .

3.a. En ^ . On sait que lim_x x

   alors lim ( 1)

x x

    puis ^lim ⁴ ⁰ 1

x^x 

 par somme puis quotient de limites . De même , lim_x x

  , puis lim 2

x x

   , il s’ensuit alors par somme de limites que lim ( )

x f x

  

b. En  ( démarche identique ) On sait que lim_x x

   alors lim ( 1)

x x

    puis lim ⁴ 0 1

x^ x 

 par somme puis quotient de limites . De même , lim_x x

  , puis lim 2

x x

   , il s’ensuit alors par somme de limites que lim ( )

x f x

  .

c. En 1 : on a ( ) 2 ⁴ 2 4 ¹

1 1

f x x x

x x

        

  pour tout x1. ¹

1

lim( 2) 1

xx

 x



  

et ¹

1

lim( 1) 0

xx

 x



  .

Or , x 1 0pour tout x1, on en déduit alors par inverse de limites que ₁

1

lim 1 ( 1)

xx^ x



  .et

₁

1

4 lim 1 ( 1)

xx^ x



   

 On conclut par quotient et somme de limites que ¹

1

lim ( )

xx

 f x



 

De même , , x 1 0pour tout x1, on en déduit alors par inverse de limites que ₁

1

lim 1 ( 1)

xx^ x



  .et

₁

1

4 lim 1 ( 1)

xx^ x



   

 On conclut par quotient et somme de limites que 1 1

lim ( )

xx

 f x



 

b. Comme ¹

1

lim ( )

xx

 f x



 et ¹

1

lim ( )

xx

 f x



 , on peut affirmer que la droite D d’équation x1est une asymptote verticale à la courbe Cf .

4. a. pour tout x1, on a ( ) ( 2) ⁴ f x x 1

    x

 , or on vient de voir que lim ⁴ 0 1

x^x 

 .Par conséquent La courbe Cfadmet la droite  d’équation ^y^{  }^x ² pour asymptote en ^et en .

b. pour tout x1, on a ( ) ( 2) ⁴ f x x 1

    x

 est de même signe que 1x, si bien que ^{f x}^{( ) (}^{  }^x ²⁾ pour ^x^{  }^] ^;1[ et que ^{f x}^{( ) (}^{  }^x ²⁾ pour ^x^{ }^]1; ^[.

On conclut que la courbe Cfest au dessus de D sur ^]^{ }^;1[et en dessous de D sur ^]1;^^[

5. Soit ^{I x y}^{( ; )}^{  }^D ; alors x1et ^y      ^x ² ^{1 2 1}.Par conséquent l’intersection des asymptotes Est le point ^I^(1;1).

Vérifions maintenant que ce point est un centre de symétrie de la courbe Cf .Comme Df R ^\{1}est symétrique par rapport à 1 il fat et il suffit que : ^{f a h}⁽ ^ ⁾^ ^{f a h}⁽ ^ ^{) 2}^ ^b, c’est-à-dire

^f⁽¹^^h⁾^ ^f⁽¹^^h^{) 2 1 2}^{  } . En effet : pour tout h0

(1 ) (1 ) (1 ) 2 ⁴ (1 ) 2 ⁴ 1 ⁴ 1 ⁴ 2

1 1 1 1

f h f h h h h h

h h h h

                  

    . Cqfd

(13)

Le point d’intersection I est donc centre de symétrie de la courbe Cf.

6. a . La fonction ^f étant un polynômes, elle est dérivable sur son domaine de définition.

En utilisant la formule

' 2

1 1

v v

   

   pour v une fonction dérivable ne s’annulant pas, on obtient pour tout x1 :

2 2

2 2 2

2 ( 1) 2 ( 1)

4 2 ( 1)

'( ) 1

( 1) ( 1) ( 1)

x x

f x x

x x x

       

     

    

  

Soit pour tout x1 ^{'( )} ⁽ ¹⁾⁽³₂ ⁾ ( 1)

x x

f x x

 

 

b) Dressons le tableau de signe de ^{f '}sur Df

x  1 1 3 

1

x  0 + + +

3x + + + 0 

(x1)2 + + 0 + +

'( )

f x  0 + + 0 +

c) On en déduit le tableau de variation de ^f sur Df

x ^ 1 1 3 

'( )

f x  0 + + 0  ( )

f x  

5

3

 ^

Ne pas oublier de placer les limites « aux bouts des flèches »

( 1) 1 2 ⁴ 5

f      2 

 et (3) 3 2 ⁴ 3 f      2

De plus , ^f ^'s’annule en 1et en 3 , si bien que la courbe Cfadmet des tangentes horizontales Aux points ^A^{( 1;5)}^ et ^B^{(3; 3)}^ . Elles doivent impérativement apparaître sur le tracé .

7. comme (2) 2 2 ⁴ 4

f      1 et

que ^'(2) ^{(2 1)(3 2)}₂ ³ (2 1)

f    

 , alors

C

T A

C B I

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6

4 6 8 10 12 14

-2 -4 -6 -8 -10 -12

0 1

2

x y

(14)

la tangente T à la courbe Cf au point ^C^{(2; 4)}^ a pour équation réduite '(2)( 2) (2) 3( 2) 4

y f x  f  x  Soit ^y^³^x^¹⁰

8. En plaçant les deux asymptotes et les trois tangentes rencontrées en cours d’étude, On peut alors tracer sans aucune difficulté la courbe Cf