tp-EQUADIFF-TERM-STI-STL-2009-2010 avec correction

TP EQUATIONS DIFFERENTIELLES TERM STI-STL 2009-2010 EXERCICE 1 5 points

Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance R (exprimée en ohms), un condensateur de capacité C (exprimée en farads) et un interrupteur. On ferme l’interrupteur à l’instant t = 0 et le générateur délivre alors une tension constante E (exprimée en volts).

On procède ainsi à la charge du condensateur. La charge q en coulombs du condensateur est une fonction dérivable du temps t (exprimé en secondes) ; l’intensité i du courant (exprimée en ampères) est alors telle que ^{i t( )q t'( )}.

On considère l’équation différentielle : 1

' E

y y

RC R

  dans laquelle y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur R. Dans tout ce qui suit, on prend R1000, C 10^4 et E10.

1. Écrire l’équation différentielle ci-dessus en remplaçant R, C et E par leurs valeurs respectives.

2. On admet que la fonction q est définie sur ^[0;[par ^{q t( ) 10 3}



^1e10t



^.

a. Déterminer la fonction dérivée q′ de la fonction q, puis vérifier que q est solution sur ^[0;[de l’équation différentielle établie à la question 1.

b. Déterminer ^q(0), la limite de ^qen +∞ et le sens de variations de ^qsur ^[0;[.

3. On admet que l’intensité du courant ⁱqui parcourt le circuit à l’instant t est donnée par i t( ) 10 ^2e^10t. Déterminer la valeur exacte de l’instant ^t₀à partir duquel l’intensité i (t ) est inférieure ou égale à ₁₀^3ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde.

4. On sait enfin que l’énergie W dissipée dans le conducteur ohmique, exprimée en joules, entre les instants t = 0 et t = 0,23, est donnée par : ^{0,23 2}

1000 0 i t dt( )

 



^.

a. Préciser une primitive de la fonction h définie sur ^[0;[ par h t( )e^20t . b. Calculer alors^et en donner la valeur arrondie à ₁₀^3près.

EXERCICE 2 4 points

À l’instant t 0, une bille est lâchée à la surface d’une colonne de liquide.

On note ^{v t( )}la vitesse instantanée de cette bille, exprimée en m. s⁻¹, à un instant t donné.

On admet que la fonctionvest définie et dérivable sur l’intervalle ^[0;[et qu’elle est solution de l’équation différentielle

 

^E : ^{y' 140 y5,88}.

1. Résoudre l’équation différentielle

 

^H : z' 140 z0, où z désigne une fonction inconnue de la variable t, dérivable sur l’intervalle ^[0;[.

2. On pose, pour tout nombre réel t appartenant à l’intervalle ^[0;[,^{y t( )z t( ) 0,042} , où la fonction z est une solution de l’équation différentielle (H).

a. Démontrer que la fonction y est une solution de l’équation différentielle

 

^E .

b. Parmi les fonctions y précédentes, démontrer que celle, notée v, qui s’annule pourt 0, est définie par v t( ) 0,042 1



e^140t



.

3. Deux utilisations de l’expression trouvée de ^{v t( )}.

a. Démontrer, en étudiant la limite de ^{v t( )}lorsque t tend vers +∞, que la vitesse de la bille admet une valeur limite notée ℓ dont on donnera la valeur numérique.

b. À quel instant t la bille atteint-elle 95 % de sa vitesse limite ? EXERCICE 3 5 points

Dans cet exercice ; l’unité de temps est l’heure et l’unité de température est le degré Celsius.

A l’instant t = 0, une tarte sort d’un four, à la température de 220°. Elle est alors placée dans une salle à 20°.

On désigne par ^{f t}  la température de la tarte à l’instant t . On définit ainsi une fonction f dérivable sur l’intervalle [0 ; ^[. On note ^f la fonction dérivée de la fonction f.

On suppose que la vitesse ^{f t}  de refroidissement de la tarte est proportionnelle à la différence entre la température de la tarte et celle de la salle, c’est-à-dire ^{f t} ^20.

On admet donc qu’il existe un nombre réel  tel que, pour tout nombre réel positif t,

   

' 20

f t   f t  .

1. On pose : ^{y t}

 

^{ f t}

 

^20.

a. Montrer que la fonction y ainsi définie est solution de l’équation différentielle ^y'y sur l’intervalle [0 ; ^[.

b. Résoudre cette équation différentielle sur l’intervalle [0 ; ^[.

c. En déduire que, pour tout nombre réel positif t, ^{f t}

 

^{Cet 20}, où C est un nombre réel.

d. En utilisant la valeur de ^f ⁰ , déterminer C.

2. a. Au bout d’un quart d’heure (c’est-à-dire pour t = 14), la température de la tarte est égale à 60°.

Montrer que, pour tout nombre réel positif t, ^{f t}

 

^{200e4 ln 5t20.}

b. Déterminer la température de la tarte au bout d’une demi-heure.

Exercice

On s’intéresse au mouvement d’un mobile qui se déplace sur un axe horizontal en étant fixé à un ressort.

L’axe est muni d’un repère ( ; )O i

l’unité étant le cm. G désigne le centre d’inertie. À l’équilibre G et O sont confondus.

On tire de 5 cm vers la droite le mobile et on lâche.

On appelle f (t ) la position du mobile sur l’axe à l’instant t exprimé en secondes. Ainsi ^{f(0) 5} . On rappelle que la vitesse du mobile à l’instant t est ^{f t'( )} (donc ^{f '(0) 0} ).

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. On suppose, dans cette question uniquement, qu’il n’y a pas de frottements sur l’axe.

On admettra dans ce cas, que la fonction f vérifie l’équation différentielle suivante :

 

^E : y" 2 y0. a. Résoudre l’équation différentielle

 

^E .

b. Déterminer la solution de

 

^E vérifiant f(0) 5 et f '(0) 0 . 2. Dans cette question, on suppose qu’il y a des frottements sur l’axe.

On admet dans ce cas que pour t0, on a : ( ) 5 2 cos 4 f t  e^t t

 . a. Démontrer que pour tout t >0, on a : 5 2e^t  f t( )5 2e^t .

b. En déduire la limite de la fonction f en +∞. Quel est le comportement du mobile pour t assez grand ?

EXERCICE 2 4 points

1. Les solutions de (H) ^{y' 140 y5,88}sont les fonctions : _{z t( )ke}^140t _;kR . 2. a. On a donc _{y t( )k e}^140t _{0, 042 ;kR} , donc _{y t'( ) 140k e}^140t . D’où ¹⁴⁰k e^140t¹⁴⁰



k e^140t ^0,042



140 0,042 5,88  .

Donc y est une solution de l’équation différentielle (E).

b. On a _{v t( )k e}^140t _{0, 042 ;kR} ; _{v(0)k e}⁰ _{0, 042 k 0, 042 0   k 0, 042}. La fonction v est donc définie par v t^{( )} ^0,042e^140t0,042 0,042 1



e^140t



3. Deux utilisations de l’expression trouvée de v(t ).

a. Comme lim ^140t 0

t e^

  ,_t^{lim 1}



^e140t



^{ 1} _t^{lim e140t 1 .donc} lim ( ) 0, 042

t v t

 

b. Il faut résoudre v t( ) 0,042 1⁰ 



e^140t0



0,95 0,042  1 e^140t0 0,95e^140t0 0,05 et par croissance de la fonction ln, ¹⁴⁰t₀^ln(0,05)t₀  ln(0, 05) /140 0,021 s.

Exercice 3

1.a) On a : ^{y t( ) f t( ) 20} .Donc : ^{y t'( ) f t'( )}

Or, on sait que : ^{f t'( )}



^{f t( ) 20}



d'où ^{y t'( )}^{y t( )}

Donc la fonction y est bien solution de l'équation différentielle ^y'y.

1. b) L'ensemble des solutions de l'équation différentielle ^y'yest donnée par y t( )Ce^toù Cest un réel.

1. c) On a : ^{y t( ) f t( ) 20} donc f t( )y t( ) 20 Ce^t 20 où C est un réel.

1. d) On utilise la condition initiale ^{f(0) 220} : f(0) 220 Ce⁰20 220  C 20 220  C 200. Donc la solution est donnée par : f t( ) 200 e^t 20

2. a) On sait que ^{1 60} f     4 :

1

4 4 4 4

1 1 1

60 200 20 60 200 40 ln ln ln 5 4ln 5

4 5 5 4

f e e e e

  

    

                  

     

     

Donc : f t( ) 200 e^{( 4ln 5) t} 20

2. b) Température au bout d'une demi-heure, donc pour ¹

t 2: ^{ }

4ln 512 2ln 5

1 200 20 200 20 28

f    2 e^   e^   Donc la température est de 28°C au bout d'une demi-heure.

EXERCICE 4- 4 points

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. a. Les solutions sont de la forme : ^{y t( )Acos(2 )t Bsin(2 )t} , AR, BR .

b. (0) 5 5

'(0) 0 '( ) 2 sin(2 ) 2 cos(2 ) 2 0 0

f A

f f t A t B t B B

  

         



La solution s’écrit doncy t( ) 5cos(2 ) t .

2. a. Sachant que 1 cos(2 ) 1t  donc 5 2e^t 5 2e^tcos(2 ) 5 2t  e^t puisque _{5 2e}^t _0 pour tout réel t0.Conclusion : pour tout t0, on a : 5 2e^t 5 2e^tcos(2 ) 5 2t  e^t.

b. Comme t0 lim 5 2 ^t 5 2 lim ^t 0

t e^ t e^

     , ; donc par encadrement des limites _t^{lim ( ) 0}_ ^{f t } .

Ceci montre que pour t assez grand le mobile va se rapprocher du point O.

EXERCICE 1 4 points

On considère l’équation différentielle (E) : ^{' 1 1 1}

2 4 2

y y x , où y est une fonction inconnue de la variable x, dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels.

1. Résoudre l’équation différentielle : ^{' 1 0} y2y .

2. On considère la fonction f définie sur l’ensembleRdes nombres réels par : ^{/ 2} 1

( ) 2

f x ex  x

Vérifier que ^f est solution de l’équation (E)

3. On a dessiné ci-contre la courbeCf représentative de la fonction ^f , précédemment définie, dans un repère orthonormé (O; , )i j 

,

pour les valeurs de x comprises entre 0 et 2.

On note K le solide engendré par la rotation de la courbeCf autour de l’axe des abscisses.

a. On note h la fonction définie surRpar : h x( )xe^{x/ 2}, et H la fonction définie sur R par : H x( ) 2 e^{x/ 2}(x2).

Démontrer que H est une primitive de h sur R.

b. Calculer la valeur exacte du volume Vdu solide K, exprimée en unités de volume.

(On rappelle que ^V=



₀²



^{f(x) dx}



^{2 ).}

2

0 1

1

x y

EXERCICE 2 5 points

1. Résoudre l’équation différentielle (E) :^{4 ' 5y  y0} où ^ydésigne une fonction définie et dérivable sur R.

2. On notef1la solution de l’équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale ^{f(0) 2} .

a. Montrer alors en utilisant la question1. que ^f est la fonction définie sur R par : f x( ) 2 e^{5/ 4x}

b. Calculer ^f'(0).

c. Sur l’annexe 1 à rendre avec la copie, on a construit la courbe C représentative de la fonction^f sur l’intervalle ^{[ 0,5 ;3[} . Construire sur la figure de l’annexe 1 la tangente T à la courbe

C au point A d’abscisse 0.

3. On note D le domaine limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 2.

Le solide représenté ci-dessous est obtenu par rotation du domaine D autour de l’axe des abscisses.

On note V le volume, exprimé en unités de volume, de ce solide.

Calculer V (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10⁻¹ près).

On rappelle que ^V _{ }^ ₀²



^{f x( )}



^{2dx u v}_ ^.





 ^.

Exercice 3

On considère l’équation différentielle : ^{2 'y  y 0 ( )E} Où l’inconnue ^yest une fonction définie dérivable sur R. 1. Résoudre l’équation différentielle ^{( )E}

2. On note ^f la solution de l’équation différentielle ^{( )E} vérifiant ^{f '(0) 2} Montrer que la fonction^f est définie sur Rpar f x( ) 2 e^{x/ 2}

3. On note M la valeur moyenne de la fonction^f sur l’intervalle ^{[ 0 ;2 ]}. Calculer M .On donnera la valeur exacte de M et son arrondi à ₁₀^1près .

4. La courbe représentative de la fonction ^f sur l’intervalle ^{[ 0 ;2 ]}est donnée par l’un des trois graphiques suivants :

2 3

2

-1

-2

0 1

1

x y

Annexe 1

2 2

3

0 1

1

x y

²

2 3

0 1

1

x y

²

2 3

0 1

1

x y

Graphique 1 Graphique 2 Graphique 3

Quel est le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction ^f sur l’intervalle ^{[ 0 ;2 ]} ? On explicitera le raisonnement qui a conduit au choix de ce graphique

Exercice 4

1. Résoudre l’équation différentielle : (E) ^{y' 2 y0}. On note f la solution sur Rde l’équation

différentielle (E), vérifiant f(0) = 1 et g la solution sur R

de l’équation différentielle (E), vérifiant g(0)= 2.

a. Vérifier que, pour tout nombre réel x, on a : ^{f x}

 

^e2x.

b. Exprimer ^{g x}  en fonction de x.

2. Sur la figure ci-dessus figurent les courbes

représentatives C et C’ des fonctions f et g dans un repère orthonormal.

Soit ^ la droite d’équation y = 2. Cette droite coupe respectivement les courbes C et C’ aux points A et B.

a. Tracer la droite ^ et placer les points A et B.

b. Déterminer le coefficient directeur de la droite T tangente en A à la courbe C et celui de la droite T’

tangente en B à la courbe C’.

c. Quelle remarque peut-on faire sur les deux tangentes T et T’ ? Exercice 5

Soit l’équation différentielle

 

^E : ^{y' y 2x}, où ^ydésigne une fonction dérivable de la fonction^xet '

y sa dérivée.

C' C

1 -0,5

-1 -1,5

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0 0,5

0,5

x y

1. Résoudre l’équation différentielle

 

^H :^{y' y 0}

2. Déterminer les deux réels ^{a et b} tels que la fonction g définie dans R, par :^{g x( )ax b} , soit solution De l’équation

 

^E .

3.a. Le nombre kest une constante réelle, on considère la fonction définie sur Rpar : f x( )ke^x2x2. Vérifier que la fonction ^f est solution de l’équation

 

^E .

b. Déterminer le réel kpour que ^{f(0) 0} . 4. Dans cette question , on prend k2.

a. Calculer la valeur moyenne ^mde la fonction ^f sur l’intervalle ^{[0 ; 2]}. b. Donner une valeur approchée de^mà ₁₀^2près.

Exercice 2

1. L' équation 4 ' 5y y0est de la forme 5

' 4

y   y avec 5

a 4, or on sait que les solutions de cette équation sont des fonctions y définies par y k e ax k e^5₄^x où k est une constante réelle quelconque.

2. (0) 2f  , avec _{f x( )k e}^5₄^x, on obtient : f(0)k e⁰  k 2 et on a : f x( ) 2 e^5₄^x. 3. ^V  ^^



₀²



^{f x( )}



^{2dx u v} ^{. .}



^{f x( )}



^{2 }



^{2e(5 / 4)x}



^{2 4e(5 / 2)x.donc}

₀²

 

² ₀^{2 (5/ 2) (5/ 2) 2}



⁵



0

2 8

( ) . 4 . 4 . 1 .

5 5

x x

V ^



f x dx u v^ ^



e^ dx u v^  ^ e^{ } u v  e^  u v Exercice 3

1. 1

2 ' 0 ' 0

y   y y 2y , donc l’équation différentielle ^{( )E} est de la forme ^{y ay' 0}avec 1 a 2. et a pour solution de la forme y ke ^ax, où kest constante réelle .

donc ^{( )E} a pour solution : y ke ^{x/ 2}.

2. ^f est solution de l’équation ^{( )E} , vérifiant ^{f(0) 2} donc f x( )ke^{x/ 2}. _f(0)ke⁰ _{ k 2}, puisque _e⁰ _1et par conséquent ( ) 2 ₂

x

f x  e^ .

3. ^{2 2 2 / 2 / 2 2}

0 0 0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) 2 2

2 0 2 2

b x x

M a f x dx f x dx f x dx e dx e

b a

   

 



 







 



  

 

1 0 1 1

2 2 2 1 2 1 1, 264

M e e e

e

   

         , ^{M 1,3} valeur arrondie à ₁₀^1près.

4. la fonction ^f est définie et dérivable sur Ret on a : 1 ^{/ 2 / 2} '( ) 2

2

x x

f x  e^ e^

     .(

 

^{eax 'aeax)}

On sait que la fonction _xe^axest strictement positive sur R, donc ^{f x'( ) 0} et par conséquent est strictement décroissante sur R, ce résultat nous conduit à éliminer le graphique 3

deux méthodes pour écarter le graphique 1. en effet :

1. ^{f '(0) 1}et l’équation de la tangente T en 0 a pour équation ^{y f '(0)(x 0) f(0)  x 2}. En construisant la tangente on constate qu’elle coupe le graphique 1 en deux points , donc elle n’est tangente au graphique 1

2. Calculons ^{1/ 2} 2

(1) 2 1, 21 1

f e

e

     , or sur le graphique 1 ^{f(1) 1} ce qui permet d’éliminer le graphique 1 .

par conséquent le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction ^f sur l’intervalle ^{[ 0 ;2 ]}, est le graphique 2.

Exercice 4

1.Rappel : Les solutions de l'équation ^y'aysont données par :g x( )ke^ax où k est un réel quelconque.

^{y' 2 y 0 y' 2 y}. Donc les solutions sont les fonctions de la forme : g x( )ke^2xoù k est un réel quelconque.

2.a La fonction f x( )e^2xest bien de la forme _ke^2xet f(0)e⁰1.

Donc f x( )e^2xest la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale ^{f(0) 1} . b. La fonction g est de la forme g x( )ke^2x, où k est un réel à déterminer en utilisant la condition initiale g(0) = 2. g(0) 2 ke⁰   2 k 2 .Donc : g x( ) 2 e^2x

3.a Coordonnées du point A : f x( ) 2 e^2x  2 2 lnx eln 2 x (ln 2) / 2 Donc le point A a pour coordonnées :A



(ln 2) / 2; 2



Coordonnées du point B : g x( ) 2 2e^2x  2 e^2x  1 x eln ln1 x 0 Donc le point B a pour coordonnées : ^B



^{0 ; 2}



3.b Le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse a est égal à ^{f a'( )},on a : f x'( ) 2 e^2x et g x'( ) 4 e^2x

ln 2 ^{ln 2 ln 2}

' 2 2 2 2 4

f  2   e  e    . Donc le coefficient directeur de la tangente

T à C au point A est égal à 4. _{g'(0) 4 e}⁰_4. Donc le coefficient directeur de la tangente T' à C'au point B est égal à 4.

3.c. Les droites tangentes T et T' ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.

Exercice 5

1. L’équation différentielle

 

^{H y' y 0}est une équation différentielle de premier ordre , linéaire , de la forme : ^{y' y}( ^y'ay avec a 1). La solution générale de cette équation est donnée par :

y k e ^xavec kune constante réelle.

2. ^{g x( )ax b} est solution de l’équation

 

^E , ^{g x( )}et ^{g x'( )} vérifient l’équation

 

^E . Donc ^{g x'( )}^{g x( )} a ax b ax a b    ²x , on obtient donc 2

2 2

0

a a et b a

a b

 

     

  

 .

Donc ^{g x( ) 2 x2}.

3.a La fonction ^f est une fonction dérivable comme somme des fonctions dérivables surR et

On a : f x'( ) ke^x2. f x'( ) f x( ) ke^x 2 ke^x2x 2 2xpar conséquent la fonction ^f est bien solution de l’équation différentielle

 

^E .

b. f x( )ke^x 2x2 , ^{f(0) 0} , f(0)ke⁰     2 0 2 k 2 0, donc k 2 et f x( ) 2 e^x 2x2.

4. a. ^{1 ( ) 1} ₀^{2 ( ) 1} ₀^{2 ( ) 1}

 

²

 

⁰

2 0 2 2

b

m a f x dx f x dx f x dx F F

b a



 







   

Or f x( ) 2 e^x 2x2, donc une primitive de ^f est : F x( ) 2e^xx²2x. F(2) 2e^22²   2 2 2e^2   4 4 2e^2 et F(0) 2e⁰0²  0 2

Donc 1 ² 1₂

2 2 1 0,86

m 2 e

e

  

      .valeur arrondie à ₁₀^2près.

Exercice 1.

Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Notation : une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun.

On définit la fonction f sur l’ensemble Rdes nombres réels par : f x( ) 2 e^{x/ 2}. Le plan est rapporté au repère orthononnal ( ; , )O i j 

d’unité graphique 2 cm.

On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative C de la fonction f dans le repère ( ; , )O i j  . On note A et B les points de coordonnées respectives (−3 ; 0 ) et ( 0 ; 2).

On note D le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :

• la courbe C ,

• l’axe des abscisses,

• l’axe des ordonnées,

• la droite d’équation : x = 2.

C

D

2 3

-1 -2

-3

2 3

0 1

1

x y

Question 1 :

La fonction f est une solution de l’équation différentielle (E) :

Réponse a. : (E) : ^{2 'y y 0} ; Réponse b. : (E) : ^{2 'y y 0} ; Réponse c. : (E) : ^{y' y 0}. (y désigne une fonction inconnue définie sur l’ ensemble des nombres réels de variable x ; y′ désigne la fonction dérivée de la fonction y.)

Question 2 :

La courbe C a pour asymptote la droite d’équation :

Réponse a. : ^{y 2x} ; Réponse b. : x0 ; Réponse c. : ^y0.

Question 3 :

La tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 a pour équation :

Réponse a. : ^{y  2x 2} ; Réponse b. : ^{y  x 2} ; Réponse c. : ^{y x 2}. Question 4 :

On note S le solide de révolution engendré par la rotation du domaine D autour de l’axe des abscisses.

La valeur V du volume du solide S est donnée par :^{V =}



₀²



^{f x( )}



^2dx (en unités de volume).

La valeur V du volume du solide S, en cm2 est égale à :

Réponse a. : ^{4 1}



^e2



; Réponse b. : ^{16 1}



^e2



; Réponse c. : ^{32 1}



^e2



^.

Exercice 1 1 .

a. La fonction f est une solution de l’équation différentielle (E) :

Réponse a. : (E) : ^{2 'y  y 0} ; Réponse b. : (E) : ^{2 'y y 0} ; Réponse c. : (E) : ^{y' y 0}. ( y désigne une fonction inconnue définie sur l’ ensemble des nombres réels de variable x ; y′ désigne la fonction dérivée de la fonction y.)

b. La courbe C a pour asymptote la droite d’équation :

Réponse a. : ^{y 2x} ; Réponse b : x0 ; Réponse c. : ^y0. Question 3 :

La tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 a pour équation :

Réponse a. : ^{y  2x 2} ; Réponse b. : ^{y= x+2} ; Réponse c. : ^{y x 2}.

2. On note S le solide de révolution engendré par la rotation du domaine D autour de l’axe des abscisses.

La valeur V du volume du solide S est donnée par :^{V =}



₀²



^{f x( )}



^2dx (en unités de volume).

La valeur V du volume du solide S, en cm² est égale à :

Réponse a. : ^{4 1}



^e2



; Réponse b. : ^{16 1}



^e2



; Réponse c. : ^{32 1}



^e2



^.

TP MATHEMATIQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES TERMSTI-STL 2009-2010 EXERCICE 1 4 points

On considère l'équation différentielle : (E) : y'' + 25y = 0

où y désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels, et y'' sa fonction dérivée seconde.

1. Résoudre l’équation (E).

2. Soit f la fonction définie et dérivable surR, dont on note f 'la fonction dérivée, vérifiant les trois conditions suivantes :

• f est solution de l’équation différentielle (E) ;

• la courbe représentative de f dans un repère du plan passe par le point de coordonnées



^{/ 6; 2}



^;

• f '(0) 5.

Montrer que, pour tout réel x_, f x( ) 3 cos 5xsinx. 3. Vérifier que, pour tout réel x, ^{f x( ) 2cos 5}



^{x/ 6}



4. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle sur [0; / 6] . EXERCICE 2 5 points

1. Résoudre l’équation différentielle y'' 9 y0où y est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur R^.

2. Déterminer la solution particulière f de l’équation différentielle vérifiant : 3

f     2

 et ' 3

f      2



3. Montrer que pour tout x réel on a 2 ( ) 2cos 3

f x   x 3 

 . 4. a. Déterminer une primitive de f sur l’intervalle R^.

b. Calculer la valeur moyenne μ de f sur l’intervalle [ 0 ; / 9 ] EXERCICE 3

Dans cet exercice, les trois questions peuvent être traitées de manière indépendante.

On désigne par y une fonction de la variable réelle t , définie et deux fois dérivable sur l’ensembleR ^des nombres réels, et par y′′ sa fonction dérivée seconde.

1. Résoudre l’équation différentielle y" 9 y0.

2. On désigne par (E) l’équation différentielle : y" 9 y8sint. a. On désigne par A un nombre réel quelconque.

Vérifier que la fonction f définie surR^{par : ( ) 1sin(3 )} cos(3 ) sin

f t  3 t A t  t est une solution de l’équation différentielle (E).

b. Déterminer le nombre réel A tel que 0 f    4 .

3. On considère maintenant la fonction g définie surRpar : 1 2

( ) sin(3 ) cos(3 ) sin

3 3

f t   t  t  t

Calculer la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [ 0 ; / 3] . EXERCICE 4 4 points

La tension u aux bornes d’un circuit électrique vérifie l’équation différentielle (E) : u'' 3600 ²u0

dans laquelle u'' désigne la dérivée seconde de la tension par rapport au temps t.

1. Résoudre l’équation différentielle (E).

2. Déterminer la solution particulière f de (E) telle que : 1 180 0

f   et ^{' 0}

 

f  2 3. a. Vérifier que, pour tout réel t, on a :

 

^{1 cos 60}

60 6

f t   t 

  .

b. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur · ^{0 ; 1} 90

 

 

 .

EXERCICE 5 (5 points)

Soit l’équation différentielle : y'' 10 ⁴²y0 où y est une fonction de la variable t et^y"sa dérivée seconde.

1. Résoudre cette équation différentielle.

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j  .

Déterminer la fonction f solution de cette équation différentielle telle que :

* La courbe représentative de f passe par le point A de coordonnées (0 ; 1) ;

* la tangente à cette courbe en A a pour coefficient directeur 100 . 3. Vérifier que pour tout réel t :

 

^{2 cos 100}

f t   t 4 

  .

4. Déterminer la valeur moyenne m de f sur l’intervalle 1 0 ;50

 

 

 .

5. Calculer la valeur efficace de la fonction f sur cet intervalle, c’est-à-dire le nombre réel positif I défini par : ^{2 501}

 

²

50 0

I 



 f t  dt^. EXERCICE 6 4 points

On considère l’équation différentielle du second ordre : 9 ²

" 0 ( )

y  16 y E 1. Donner la solution générale de (E).

2. Déterminer la solution particulière, notée f, de (E) telle que ^f

 

^{4 / 3   3 et f' 4 / 3}

 

^{ 3 / 4}

3. Vérifier que f s’écrit sous la forme : 3 ( ) 2cos

4 6

f x   x 

 

  4. Montrer que f est périodique de période8 / 3

5. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle 0;8 / 3 . Exercice 7

Soit ( E ) l'équation différentielle (E) : 4y" + y = 0.

1°. Résoudre cette équation différentielle (E).

2°. Déterminer la solution particulière f qui vérifie les conditions (0)f  3/ 2et f' (0)  3 / 4. 3°.a. Trouver deux réels A et tels que : ^{f x( )Acos ( / 2)} ^{x }.

b. Déterminer la solution dansR de l’équation f x( ) 3 / 2

4°.Calculer une primitive de f sur R et en déduire la valeur exacte de ^{/ 3}

0

3 ^ f x dx( )





Exercice 8

1°. Résoudre l'équation différentielle (E) : 4 y " + 49 y = 0 .

2°. Déterminer la solution particulière f qui vérifie les conditions ( ) 1

f 3   et ^{f ( ) 1 } . 3°. Trouver deux réels r et w strictement positifs et un réel  tels que : ^{f x( )rcos}^wx. 4°. Calculer ^{/ 7}

0 f x dx( )



 . Interpréter graphiquement le résultat 5°.

a. Déterminer la solution g de l’équation ( E ) qui vérifie '( / 2) 0f   et f (0)  2. b. Montrer que, pour tout réel x , ^{( ) 2 cos 7 3}

2 4

f x   x .

c. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle



/14 ; 5 /14



Exercice 9

1. Résoudre l'équation différentielle (E) : y" y 0.

2. On désigne par f l a solution particulière de (E) dont la courbe représentative dans un repère orthonormal passe par le point de coordonnées (0 ; 1) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation y x _.

2.a. Déterminer f(0)et f '(0).

2.b. En déduire une expression de f x( )en fonction de x . 2.c. Vérifier que pour tout réel x , ^{f x( ) 2 cos}



^{x/ 4}



^.

3. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0 ;], c'est-à-dire le réel m défini par

0

1 ( )

m ^ f x dx





EXERCICE 1

1. La solution générale de l'équation différentielley"²y0est de la forme ( ) cos( ) sin( )

f x A x B x où A et B sont deux réels. Ici, ² ₂₅donc5.

Donc, la solution générale est donnée par : ^{f x( )Acos(5 )x Bsin(5 )x} où A et B sont deux réels.

2. On vérifie que la fonction ^f donnée par f x( ) 3 cos(5 ) sin(5 )x  x vérifie les trois conditions données.

Tout d'abord, ^f est bien de la forme donnée à la question précédente avec A 3et B 1donc ^f est solution de (E).

Calculons ^f



^{/ 6}



: 3 1 3 1

( / 6) 3 cos(5 / 6) sin(5 / 6) 3 2

2 2 2 2

f  

          

 

  

Donc la courbe représentative passe par le point de coordonnées



^{/ 6; 2}



.

Calcul de la dérivée : f x'( ) 5 3 cos(5 ) 5sin(5 )x  x (en utilisant



^cosu



^{' u'sinu}et



^sinu



^'u'cosu) D'où : f '(0) 5 3 sin(0) 5cos(0)  5 3 0 5 1    5

Conclusion : la fonction ^f donnée vérifie bien les trois conditions.

Autre méthode

( / 6) cos(5 / 6) sin(5 / 6) 3 3 4

2 2

f A B A   B A B

          

  

'( ) 5 sin(5 ) 5 cos(5 ) '(0) 5 0 5 5 1

f x   A x  B x  f     B    B

3 4 1 4 3 3

A B A

         

3. On utilise la formule d'addition trigonométrique :^cos(a b ) cos( ) cos( ) sin( )sin( ) a b  a b en prenant a5xet b/ 6. On a donc : ^{f x( ) 2 } ₂^{3cos(5 )x 1}₂^{sin(5 )x }^{2cos 5} ^x ₆^



4. Soit Fune primitive de ^f : ^{( ) 2sin 5}

5 6

F x   x 

 

 .Valeur moyenne de ^f sur l'intervalle^{[0; / 6]} :

     

 

/ 6 / 6

0 0

1 6 6 12

( ) ( ) / 6 0 sin 5 sin

( / 6) 0 5 6 6 6

12 12 1 6

sin sin 0

5 6 5 2 5

m  f x dx F x  F F         

    

         



^{     }

   

 

  

EXERCICE 3

1. ^{y" 9 y0}. . On sait que la solution générale est de la forme : ^{f t( )Acos(3 )t Bsin(3 )t} avec A,B et t réels.

2. ^{y" 9 y8sint} .

a. 1

( ) sin(3 ) cos(3 ) sin

f t  3 t A t  t. f t^{'( )} cos(3 ) 3 sin(3 ) cost  A t  t. ''( ) 3sin(3 ) 9 cos(3 ) sin

f t  t  A t  t