+ V (q). Le propagateur (fonction de Green de l’´ equation de Schr¨ odinger) K(q, t | q

Master CFP – Parcours de Physique Quantique : de l’atome au solide 26 mars 2012 Int´ egrales de chemin

TD n ^o 3 : Approximation semiclassique et effet tunnel – Etude des singularit´ ´ es de Lifshitz par la m´ ethode des r´ epliques 1 Effet tunnel dans la limite semiclassique

1/ Pr´ eliminaires : fonctions de Green de l’´ equation de Schr¨ odinger.– Nous consid´ erons une particule dont la dynamique est d´ ecrite par l’hamiltonien H =

p

+ V (q). Le propagateur (fonction de Green de l’´ equation de Schr¨ odinger) K(q, t | q

, 0) = −

~

θ(t)h q | e

| q

i peut ˆ etre reli´ e ` a la fonction de Green retard´ ee de l’´ equation de Schr¨ odinger stationnaire :

G

(q, q

; E) = Z

R

dt e

K(q, t | q

, 0) (1) En ´ ecrivant K(q, t | q

, 0) comme une int´ egrale de chemin, montrer que

G

(q, q

; E) ∼

~→0

exp ± i

~ Z

q0

dq

π(q

)

( + si q > q

− si q < q

, avec π(q)

= p

2m[E − V (q)] (2)

2/ Application : effet tunnel ` a travers une barri` ere.– On consid` ere le potentiel d´ efini sur R

: V (q) = 1

2 a q

− 1

8 b q

avec a, b ∈ R

(3)

Calculer G

(q

, 0; E → 0) dans la limite ~ → 0, o` u q

est le point de sortie de la barri` ere.

2 M´ ethode des r´ epliques – Singularit´ es de Lifshitz de la DoS

Densit´ e d’´ etats.– Nous ´ etudions les propri´ et´ es spectrales d’un Hamiltonien de Schr¨ odinger undi- mensionnel avec potentiel al´ eatoire (nous faisons ~ = 2m = 1) :

H = − d

dx

+ V (x) (4)

agissant sur des fonctions d´ efinies sur l’intervalle [−L/2, +L/2] et satisfaisant des conditions de Dirichlet φ(−L/2) = φ(+L/2) = 0. ` A chaque r´ ealisation du potentiel est associ´ e un spectre de valeurs propres {E

} dont la distribution est caract´ eris´ ee par la densit´ e d’´ etats

ρ(E)

= lim

L→∞

1 L

X

n

δ(E − E

) = lim

L→∞

1 L

Z

−L/2

dx h x |δ(E − H)| x i (5) L’int´ egrale de chemin va nous permettre d’en analyser le comportement de basse ´ energie, E →

−∞.

1/ Densit´ e d’´ etats et fonction de Green.– Nous introduisons G

(x, x

; E)

= h x | 1

E

− H | x

i avec E

= E + i0

(6) Supposant le probl` eme invariant par translation, v´ erifier que ρ(E) = −

Im G

(x, x; E).

1

2/ Nous consid´ erons la situation o` u le potentiel V (x) est un bruit blanc gaussien, i.e. il est distribu´ e selon la mesure

P [V ]DV (x) ∝ DV (x) exp − 1 2w

Z

dx V (x)

. (7)

Nous notons · · · la moyenne associ´ ee ` a cette mesure.

a) Calculer la fonctionnelle caract´ eristique du potentiel : G [b]

= exp R

dx V (x)b(x).

b) Analyse dimensionnelle.– Donner la dimension de w.

c) On peut ´ ecrire la densit´ e d’´ etats comme ρ(E) = w

f (w

E) o` u f (x) est sans dimension. En utilisant l’analyse dimensionnelle, pr´ eciser les valeurs de a et b. ` A l’aide d’arguments physiques, discuter ρ(E → ±∞). Comment ρ(0) d´ epend-t-il du d´ esordre ?

3/ M´ ethode des r´ epliques.– Une des difficult´ es du calcul de G

(x, x; E) tient ` a ce que la variable al´ eatoire (le potentiel) apparaˆıt au d´ enominateur. Pour contourner ce probl` eme nous utilisons la m´ ethode des r´ epliques dont l’essence se comprend comme suit. Soit A ∈ C avec Re(A) > 0 :

1 n

Z

Rⁿ

d φ ~ ~ φ

e

= 1 A

2π A

(8) Si on admet qu’il est licite de prolonger ce r´ esultat pour des n r´ eels, on peut ´ ecrire :

1

A = lim

n→0⁺

1 n

Z

Rⁿ

d φ ~ ~ φ

e

(9) L’int´ erˆ et de ce “truc” est qu’il est en g´ en´ eral plus facile de calculer e

que 1/A. Nous allons appliquer cette id´ ee au calcul de G

(x, x; E).

a) Soit O

un op´ erateur agissant sur des fonctions φ(x). Exprimer (formellement) Z

Dφ(x) e

et Z

Dφ(x) φ(x) φ(x

) e

(10) Que devient l’int´ egrale si le champ est “r´ epliqu´ e ” n fois φ(x) → φ(x) ? Exprimer ~

1 n

Z

D φ(x) ~ φ(x) ~ · φ(x ~

) e

(11) Indication : On introduira la notation O

h x |O

|x

i = δ(x − x

).

b) Exprimer −G

(x, x

; E) comme une int´ egrale de chemin sur un champ φ(x) ` ~ a n composantes.

c) Montrer qu’apr` es moyenne sur le potentiel al´ eatoire on obtient : G

(x, x; E) = − lim

n→0⁺

2 n

∂

∂E

Z

D φ(x) ~ e

(12)

o` u S[ ~ φ(x)] = 1 2

Z

−L/2

dx h

(∂

φ ~ )

− E

φ ~

− w

4 φ ~

i

(13)

4/ Analyse semiclassique.– On admet que dans la limite E → −∞ l’int´ egrale de chemin est domin´ ee par la contribution des trajectoires classiques sym´ etriques dans l’espace des r´ epliques : φ(x) = ~ ~ u φ(x) o` u ~ u est un vecteur unitaire quelconque de R

).

a) La densit´ e hamiltonienne associ´ ee ` a l’action S est de la forme H (~ π, ~ φ) = −

~ π

+ V (|| φ||). ~ Tracer l’´ energie potentielle V (|| φ||) en fonction de ~ || φ|| ~ (on oubliera le i0

).

2

b) Justifier que dans la limite L → ∞ la trajectoire classique dominant l’int´ egrale de chemin R D φ(x) ~ e

est la trajectoire d’´ energie nulle H = 0 faisant un aller retour entre l’origine φ ~ = 0 et point de rebroussement (i.e. un point φ ~ = φ

~ u tel que V (φ

) = 0).

c) Montrer que l’action d’une telle trajectoire est donn´ ee par S

= 2

Z

0

dφ p

2 V (φ) (14)

Calculer explicitement l’action S

.

d) En admettant que l’argument donne le comportement de Im G

(x, x; E), d´ eduire ρ(E → −∞).

5/ (Facultatif) Mod` ele de Frisch & Lloyd.– On consid` ere un autre mod` ele d´ esordonn´ e : V (x) = λ P

n

δ(x −x

) o` u les positions x

sont d´ ecorr´ el´ ees et distribu´ ees uniform´ ement avec une densit´ e

%. On s’int´ eresse au cas λ > 0 (i.e. Spec

−

+ V (x)

⊂ R

) a) Rappeler la fonctionnelle caract´ eristique (TD n˚1) G [b]

= exp R

dx V (x)b(x).

b) En suivant la mˆ eme d´ emarche que pr´ ec´ edemment montrer qu’on doit calculer (12) pour l’action

S[ φ(x)] = ~ 1 2

Z

−L/2

dx h

(∂

φ ~ )

− E

φ ~

+ %

1 − e

ⁱ (15) c) V´ erifier que la limite % → ∞ et λ → 0 correspond au cas o` u V (x) est un bruit blanc gaussien.

d) On ´ etudie la limite √

E % λ. Montrer que l’action de la trajectoire classique dominant l’int´ egrale de chemin pour E → 0

est S

' π%/ √

E. D´ eduire ρ(E → −∞).

Annexe :

• Nous consid´ erons la densit´ e lagrangienne L (φ, φ) = ˙

φ ˙

+ V (φ) en “temps” euclidien (dans le probl` eme, x joue le rˆ ole du “temps” et φ de “position”). Le moment conjugu´ e est d´ efini comme : π =

∂φ˙

. La densit´ e hamiltonienne (int´ egrale premi` ere du mouvement), fonction des variables canoniquement conjugu´ ees, est donn´ ee par

H (π, φ) = −π φ ˙ + L = − 1

2 π

+ V (φ) (16)

• Deux int´ egrales

: R

dx √

1 − x

=

et R

dx x √

1 − x

=

Pour en savoir plus :

• Cette analyse peut ˆ etre pouss´ ee pour obtenir ρ(E) ∀ E, cf. chapitre X de : C. Itzykson & J.-M. Drouffe, Th´ eorie statistique des champs, Vol. 2, ´ Ed. CNRS.

• L’expression exacte de la densit´ e d’´ etats a ´ et´ e obtenue par une autre m´ ethode par B. Halperin dans : Green’s functions for a particle in a one-dimensional random potential, Phys. Rev. 139 (1965) A104.

• La singularit´ e de Lifshitz pour le mod` ele d’impuret´ es localis´ ees en dimension d quelconque a ´ et´ e analys´ ee par la une m´ ethode fonctionnelle par R. Friedberg and J. M. Luttinger dans Density of electronic energy levels in disordered systems, Phys. Rev. B 12 (1975) 4460.

1

donn´ ees par exemple en les reliant ` a la fonction

d’Euler

=

0

dt t

(1

.

3