tp-EQUADIFF-TERM-STI-STL-2009-2010 avec correction

Tp équations différentielles d’ordre 1 mathématiques TERM-STI-STL-2009-2010 Exercice 1

On désigne par ^{q t( )}la température (exprimée en degré Celsius) d’un corps à l’instant t (exprimé en heure).

à l’instant t = 0, ce corps dont la température est de 100°C est placé dans une salle à 20°C. D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement ^{q t'( )} est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle. On suppose que le coefficient de refroidissement est ^{2, 08}. 1. Justifier que q t^{'( )} 2,08 ( ) 41,6q t  .

2. En déduire l’expression de ^{q t( )}.

3. Déterminer le sens de variation de la fonction ^q sur ^{[0 ;[}. 4. Calculer la limite de ^qen +. Interpréter ce résultat.

5. Déterminer la température du corps, arrondie au degré, au bout de 20 minutes puis au bout de 30 minutes.

6. Déterminer la valeur exacte du temps au bout duquel le corps tombera à 30°C. En donner une valeur approchée.

Exercice 2

On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la capacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l'inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur.

Le temps t est exprimé en secondes. A l'instant t= 0, on suppose le condensateur chargé, on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit.

On appelle q(t) la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur à l'instant t.

On définit ainsi une fonction q, deux fois dérivable sur l'intervalle ^{[ 0;[}, dont la dérivée première est notée q' On admet que la fonction q est solution de l' équation différentielle (E) : ^{y" 1 y 0}

LC  ,où y est définie et deux fois dérivable sur ^{[ 0;[} et de dérivée seconde y" .

Dans tout l'exercice on prend C1, 25 10 ^3 et L0,5 10 ^2.

1.a. Montrer que q est alors solution de l'équation différentielle (E) : y" 1, 6 10  ⁵y0. b. Résoudre l'équation différentielle (E).

c. Déterminer la solution particulière q de (E) vérifiant : q(0) 6 10  ^3 et ^{q'(0) 0} .

2. On sait que la valeur i(t) de l'intensité, exprimée en ampères, du courant qui parcourt le circuit à l'instant t, vérifie ^{i t( ) q t'( )} .On définit ainsi une fonction i sur l'intervalle ^{[ 0;[}.

a. Vérifier que, pour tout t appartenant à l'intervalle ^{[ 0;[}: i t( ) 2, 4sin(400 ) t .

b. On désigne par la valeur, exprimée en ampères, de l'intensité efficace dans le circuit. Son carré est donné par la formule : ^{2 400 2}

0

I _e 400_



^ i t dt( ) . Calculer ^Ie; utiliser la formule ^{sin2 1(1 cos2 )} a2  a ), puis donner une valeur approchée de ^Ie à 10^ près, sachant que ^Ie est un nombre positif

Exercice - 3

Un condensateur de capacité C est associé en série avec une bobine d'inductance L.

Les tensions aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine à l'instant t exprimé en secondes sont respectivement notées UC(t) et UL(t) .

On désigne par i(t) l'intensité du courant à l'instant t.

À chaque instant, on a: i(t) = C u’ C (t) et u L(t) = L i'(t) .

On admet que la tension "c est solution sur l'intervalle ^{[ 0;[}de l'équation différentielle : ^{u" ( )}_C ^{t u tC( ) 0}

 LC  .On prendra _{C 16 10}^6F et L= 1 H 1. Résoudre l'équation différentielle (E).

2. Le condensateur est initialement chargé sous une tension de 15 V (volts) et, à cet instant initial, l'intensité du courant est nulle. Ceci se traduit par les deux conditions initiales : u C (0) = 15 et u’ C (0) = 0.

L U (t)

i(t) C

U (t) L

C

Montrer alors que la solution u C correspondante s'écrit : u C (t) = 15 cos w t , où w est un réel positif dont on précisera la valeur .

3. soit ^Im la valeur moyenne de la fonction i entre les instants t0 = 0 et t1

w

  . Montrer que ^Im ^0,12 .

Exercice 4

Un condensateur de capacité C est chargé sous une tension initiale de 20 volts. Il se décharge ensuite dans un résistor de résistance R. La tension aux bornes du condensateur est une fonction V (du temps) définie sur



^{0 ; }



. Cette fonction V est solution, sur ^{0 ; } de l'équation di1férentielle(E).^{V t'( )}_RC^{1 V t( ) 0} 1° Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle( E).

2° On rappelle que V (0) = 20. Déterminer la fonction V . Dans la suite , R = 1000 et C = 10^4F.

3° a) Montrer que, pour tout t appartenant à



^{0 ; }



, V t( ) 20 e^10t b) Déterminer les valeurs de t pour lesquelles on a : ^{V t( ) 0, 02} .

4° L'intensité traversant le circuit est une fonction i (du temps) définie sur



^{0 ; }



par: ^{i t( )CV t'( )}. a) Déterminer ^{i t( )}.

b) L'énergie (exprimée en joules) dissipée dans le résistor; entre les instants t = 0 et t =0,69, est égale à ^0,69

0

( )2

W 



R i t dt . Calculer W. En donner l' approximation décimale à 10 ^-2 près par excès.

Exercice 5

Une citerne calorifugée est chauffée par une résistance .la température ( )t de la citerne vérifie l’équation différentielle ( 1 ) : ^{'( )t}  ^{a b} , avec a2,088 10 ² et b2,32 10 ⁴.

Lorsque t est exprimé en secondes et ( )t en ^_C.

1° Montrer que y  90 est solution de l’équation différentielle (2) : y' by (2).

2° Donner la solution générale de l’équation (2)

3° En déduire l’expression de ^{( )t} sachant que ^{(0) 20} .

4°Au bout de combien de temps la température atteint-elle 80^C ? Exercice 6

À l’instant t = 0, un corps dont la température est de 100°C est placé dans une salle à 20°C.

On désigne par ^(t) la température du corps à l’instant t , l’unité de temps étant l’heure et l’unité de température le degré Celsius.

On suppose que la vitesse de refroidissement ^' ^t est proportionnelle à la différence de température entre la température du corps et la température de la salle (loi de Newton) (on négligera l’élévation de température de la salle) et on admettra donc qu’il existe un nombre réel k tel que ^'

 

^{t k}



^

 

^{t 20}



^.

1. On pose ^{y t( )( ) 20t } .

a. Montrer que la fonction y est solution de l’équation différentielle ^y'kyoù k est défini ci-dessus.

b. Résoudre cette équation différentielle.

c. En déduire que ^ ^{t Cekt20} où C est un nombre réel que l’on calculera.

2. a. Sachant qu’au bout de 20 minutes le corps s’est refroidi de 100°C à 60°C, montrer que

 

^{t 80e3ln 2t20}

 .

b. Quelle est la température du corps, arrondie au degré, au bout de 30minutes ? c. En combien de temps la température tombera-t-elle à de 100°C à 30°C ?.

Exercice 7

On chauffe dans une grosse cuve un liquide et on appelle g(t) sa température en degrés Celsius à l’instant t exprimé en secondes, g étant une fonction numérique définie sur ^{0 ;}.

On admet que la fonction f définie sur



^{0 ;}



^{par f t( )g t( ) 100} est la solution de l’équation différentielle ( E) : y 2 10^4y0 vérifiant ^{f(0) 80}.

1- a. Résoudre l’équation différentielle ( E) ,puis exprimer ^{f t( )}en fonction de t ..

b. Montrer que : _{g t( ) 100 80  e}^{ 2 104t}. Calculer ^g(0)

2. a. Au bout de combien de temps la température atteint-elle 85°C ? Donner la réponse en heures, minutes et secondes.

b. La température peut-elle atteindre 100°C ? Justifier

Exercice 1

REM : avant tout calcul, il est clair que la température du corps va décroître (c-à-dire q décroissante) et que la température du corps va tendre vers celle de la salle ( c-à-dire _t^{lim ( ) 20}_^{q t } ).

Ce genre de réflexion avant calcul nous permettra d’éviter d’éventuelles erreurs…

1. Justifier que q t^{'( )} 2,08 ( ) 41,6q t  . D’après l’énoncé, q '(t) est proportionnel à ^{q t( ) 20} . On dit que le coefficient de proportionnalité est ^{2, 08} donc q t^{'( )} 2,08 ( ( ) 20)q t   2,08 ( ) 41,6q t  .

2. En déduire l’expression de ^{q t( )} : D’après le cours, on en déduit que^{q t( )k e2,08t 41,6}_2,08^{k e2,08t 20} Mais nous avons la condition initiale ^{q(0) 100}  k + 20 = 100 k = 80 et on a donc q t( ) 80 e^2,08t20 3. Déterminer le sens de variation de la fonction q sur [0 ; +[.

Cette fonction est dérivable sur _R^et nous avons q t'( ) 20 ( 2,08)   e^2,08t 0, car une exponentielle est toujours positive. Donc ^qest décroissante sur _R^.

4. Calculer la limite de ^q en + Interpréter ce résultat.

Vu que lim ^2,08t 0

t e^

  , on a par composition lim ( ) lim (80 ^2,08t 20)

t q t t e^

    .la température du corps tend donc vers celle de la salle.

5. Déterminer la température du corps, arrondie au degré, au bout de 20 minutes puis au bout de 30 minutes.

- 20 min = 1/3 heure et q(1/ 3) 80 e^2,083 20 59,9 , soit 60°C arrondie au degré.

- 30 min = 1/2 heure et

2,08

1 2

80 20 48,3

q 2 e^

  

   soit 48°C arrondie au degré.

6. Déterminer la valeur exacte du temps au bout duquel le corps tombera à 30°C. On résout ^{( ) 30t}  soit q t( ) 80 e^2,08t 20 30 ou encore 80e^2,08t 10 et ^{2,08 1}

8

e^ t  . ^{1 ln 1 0,99} 2,08 8

t  

   

  soit environ 1h.

Exercice 2

1.a. On a ^{y" 1 y 0}

LC  avec C = 1,25 . 10^3 et L = 0,5 . 10^{2 .} LC = 125 ^10^{-5 } 5 ^ 10^3 = 5^{3 } 5 . 10^8 LC = 5^{4 } 10^8 Donc

8 4 8 4 8

4 4 4 5

4 4 4 4

1 10 2 10 2 10

2 10 16 10 1,6 10

5 2 5 (2 5)

LC

 

        

 

D'où l'équation différentielle : (E) y" 1,6.10 ⁵y0

1.b. L'équation différentielle (E) est une équation du type ^{y"w y² 0}. avec w²1, 6 10 ⁵ Les solutions sont les fonctions de la forme ^{g t( )Acos( )wt Bsin( )wt} avec_{w 4 10}². Donc ^{g t( )Acos(400 )t Bsin(400 )t}

1.c. On a q(0) 6.10 ^3et ^{q'(0) 0} . Or ^{q t'( )}est de la forme :q t^{'( )} 400 sin(400 ) 400 cos(400 )A t  B t Donc ^{q'(0) 400 B} .Donc si ^{q'(0) 0} alors B = 0 .

Et donc ^{q t( )Acos(400 )t} . Avec q(0) 6.10 ^3A.Donc finalement q t( ) 6 10  ^3cos(400 )t 2. a. q t( ) 6 10  ^3cos(400 )t . ^{i t( ) q t'( )}. D'où q t'( )  4 100 6 10  ^3cos(400 )t  2,4cos(400 )t et donc i t( ) 2, 4cos(400 ) t

2.b. ₀^{400 / 400}

 

0

400 400 1 1

cos(800 ) sin800 sin 2 sin 0 0

800 2

t dt t

 

   

   

      



2.c. ^{2 400 2 400 2 400 400}

0 0 0 0

400 400 400 5,76 1 cos800 2 576

( ) 5,76sin (400) (1 cos800 )

e 2 t

I i t dt tdt dt t dt

   

   

    













  





I²e ^{400 5,76} ₀⁴⁰⁰dt ₀^400cos800t dt

 



 

  

 

 



 

 ^{et I2e 1152}_ ^_{ 0}^{400 dt}_^1152_ ^₄₀₀^{ 1152}₄₀₀ ^2,88





 ^et

Ie 2,88 1,697 Exercice 3

1.a. On a ^{y" 1 y 0}

LC  avec C = 1F et L = 16 . 10^{ .} LC = 16 ^10^ d’où ^{1 1} ₆ ¹⁰₄⁶ 6,25 10⁴

16 10 2

LC  ^   

 .

D'où l'équation différentielle : (E) y" + 6,25 ^10⁴ y = 0

1.b. L'équation différentielle (E) est une équation du type y" + w ²y . avec _w²_{6, 25 10} ⁴

Les solutions sont les fonctions de la forme ^{g t( )Acos( )wt Bsin( )wt} avecw2,5 10 ². Donc ^{g t( )Acos(250 )t Bsin(250 )t} avec A et B deux réels

1.c. On a^U_C^{(0) 15} et ^{U' (0) 0}_C ^ . Or ^{U' ( )}_C ^t est de la forme : U^{' ( )}_C t  250 sin(400 ) 250 cos(400 )A t  B t . Donc U' (0) 0 250_C   B. alors B = 0 . Et donc U tC^{( )}A^{cos(250 )}t . Avec ^U_C^{(0) 15} = A .

Donc finalement U t_C( ) 15cos(250 ) t

2. a U t_C( ) 15cos(250 ) t . D'où U^{' ( )}_C t  250 15sin(250 ) t  3750sin(250 )t et donc i t( )CU t'( ) 16 10 ( 3750)sin(250 )  ^6  t  0, 06sin(250 )t .

2.b. la valeur moyenne Im de la fonction i(t) entre les instants t0 et t1 est donnée par ₀¹

1 0

I_m 1 ^t ( )

t i t dt t t

 



^.

on doit déterminer une primitive de i(t) sur ^_^{t t}_{0 1}^{; }_.Or sin(250t) a pour primitive ^{1 cos(250 )}

250 t

, donc une primitive ^{( ) 0,06 cos(250 )}

I t  250 t

   . ₀^{1 1 0}

1 0

I_m 1 ^t ( ) ( ) ( )

t i t dt i t i t t t

  





^.

1 0,06 0,06 0,06

( ) cos(250 ) cos

250 250 250 250 250

I t I^  ^{ }  ^   ^ ^   

      . ^{( )}₀

 

^{0 0,06 cos(0) 0,06}

250 250

I t I   

  .

on déduit la valeur ^{I 1 0,06 0,06 250 0,12}

( / 250) 0 250 250 250

m  

 

 

      ,soit ^Im ^0,12

 . Exercice 4-Solution

1. ^{V t'( )}_RC^{1 V t( ) 0 V t'( ) 1 V t( )}

 RC . On reconnaît une équation différentielle du premier ordre de la forme ^y'ay, avec ^{a 1}

 RC .On sait que la solution générale de cette équation est _{y ke} ^at, avec k constante réelle . On en déduit la solution générale de ( E) : V t_{( )}k e^RC^t , kR.

2) V(0) = 20 ^V(0)k e⁰20 , donc V t_{( ) 20} e^RC^t .

3) a) si on pose R = 1000  et C = 10^4F , alorsRC10³10⁴10¹ et ^{1 1}₁ ¹⁰

RC10  , d’où V t( ) 20 e¹⁰t. b) pour ^t



^{0 ;}



: ^{V t( ) 0,02 } 20e¹⁰t 0,02  ^{10 0,02 0, 001}

20

e t  

^{10tln 0,001}

 

 ^{ln 0,001}  ln10 ³ 3ln10 3ln10

10 10 10 10

t        , donc V t( ) 0,02  ^3ln10 t 10 . Les valeurs de t sont les valeurs de l’intervalle ^_^{0 ;}₁₀^3ln10_ ; ^{3 ln10 0,691}

10  .

4a) la dérivée de e est u e^u ' ^u, d’où ^{V t'( ) 20 10} ^ ^{e10t 200e10t}, comme C = 10^4, alors ^{i t( )CV t'( )} i t( ) 10⁴200e¹⁰t  i t( ) 0,02e¹⁰t.

b) ^{i t( )2 }



^0,02e10t



^20,0004



^e10t



^{20,0004e20t} ; R i t ( )²1000 0, 0004 e²⁰t0, 4e²⁰t.

On sait qu’une primitive de la fonction te^atest ^t1_a^eatpour a0., donc une primitive de la fonction _te^20t est ^{1 20}

20

t  e t, d’où le calcul de W :

3ln10

0,69 20 20 10

0 0

0, 4 0, 4 1 20

t t

W



e^ dt  e^ 

20103ln10 0

0,02 0,02

W  e^ e 

   

 

  et W0,02 0,02 e^{6 ln10}.

L’approximation décimale à 10^2 près par excès de W est ^{W 0,02} car ^{0,02e6 ln10  2 108}. Exercice 5

On sait que θ '( )t  a b tθ( ), avec _{a2,088 10} ^4et _{b2,32 10} ^4. On pose: y θ 90

d'où θ= y+90et θ' = y', par dérivation. θ '( )t  a b tθ( ) y' a b y( 90) y'   by a 90b . Or _a_90b_{2,088 10} ^2_{90 2,32 10}  ^4₀. D'où l'équation se réduit à: y' by

b) L'équation y' byest une équation différentielle linéaire du premier ordre. Sa solution générale est de la forme : y ke bt où k est un réel quelconque. Comme θ( )t  y 90, on en déduit : _{θ( )t ke}^bt_90. Sachant queθ(0) 20 ,on peut déterminer la constante k : θ(0)k e^b0 90 20 k90 20 et k 70.

D'où l'expression de θ( )t en fonction de t : θ( ) 90 70t   ebt

2°) La température atteint 80°C au bout du temps t tel que θ( ) 80t  , c'est-à-dire : 90 70 ebt 80  70ebt  10  ¹

7

ebt  t ^{ln 7}

 b  ^{ln 7} ₄ ^8387,5

2,32 10

t 

 

La température atteint 80°C au bout d'environ 8387 secondes, soit 2 19 ' 47 ''h . Exercice 6

1.a) On a : ^{y t( ) f t( ) 20} .Donc : ^{y t'( ) f t'( )}

Or, on sait que : ^{f t'( )}



^{f t( ) 20}



d'où ^{y t'( )}^{y t( )}

Donc la fonction y est bien solution de l'équation différentielle ^y'y.

1. b) L'ensemble des solutions de l'équation différentielle ^y'yest donnée par y t( )Ce^toù Cest un réel.

1. c) On a : ^{y t( ) f t( ) 20} donc f t( )y t( ) 20 Ce^t 20 où C est un réel.

1. d) On utilise la condition initiale ^{f(0) 100} : f(0) 20 Ce⁰20 100  C 20 100  C 80. Donc la solution est donnée par : f t( ) 80 e^t 20

2. a) On sait que ^{1 60} f     3 :

1 ^{3 3 3} 1 ³ 1

60 80 20 60 80 40 ln ln ln 2 3ln 2

3 2 2 3

f      e    e  e   e          

     

Donc : f t( ) 200 e^{( 3ln 2) t} 20

2. b) Température au bout d'une demi-heure, donc pour ¹

t 2: ^{1 80  3ln 2 / 2 20 80  3ln 3 / 2 20 30} f    2 e^   e^   Donc la température est de 30°C au bout d'une demi-heure.

Exercice 7

1. l’équation différentielle y ay' 0est une équation différentielle linéaire du 1^er ordre

on sait que la solution générale de cette équation :les fonctions f définie sur R ^par f x( )k e^{a x} où kR . Ici _{a  2 10}^4 _{f t( )k e}^{ 2 104t} . f(0)ke⁰  80. D’où k  80 et enfin f t( ) 80e^{ 2 104t} 2- on sait que f t( )g t( ) 100 pour ^t



^{0 ;}



^{, d’où} _{g t( ) 100 80}  _e^{ 2 104t}

3.a) g(0) 100 80  e0 100 80 20  . la température atteint 85°C lorsque : _80e^{ 2 104t}_{100 85}  _80e^{ 2 104t} _{ 15}  ^{2 10 4 15 3}

80 16

e  ^ t    ⁴ 3

2 10 ln

t 16

  

     ^

ln 3

16 5000 ln 3 8370 sec

4 16

t 2 10

 

   

 

     

soit t  2 h 19’ 30’’.

c. la réponse est non car on aura 80e^{ 2 104t}100 100 c’est - à -dire 80e 2 10^4t 0 ou encore e^{ 2 104t} 0 impossible car e^t 0 pour tout réel t