BAC-BLANC-N°2-TERM-STL-PH-STI-GO-MAI-2010-AVEC CORRECTION

Exercice 1 5 points

On note i le complexe de module 1 et d’argument π /2.

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O; , )u v 

,unité 1 cm).

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes les équations suivantes (les solutions seront données sous forme algébrique) : (1) : z²10z50 0 (2) : z 3 i 3 z6.

2. a. Soit A le point d’affixe ^z_A^{ 5 5i}.

Déterminer le module, un argument et la notation exponentielle de ^z_A. b. Soit B le point d’affixe^z_B , ^z_Bétant le nombre complexe conjugué de ^z_A. Déterminer la notation exponentielle de ^z_B, puis celle de ^B

A

z z .

En déduire que B est l’image de A par une rotation de centre O dont on précisera l’angle.

Construire le triangle OAB dans le repère donné et indiquer sa nature.

3. Soit C le point d’affixe z_C   2 2 3i .

Montrer que l’image de C par la rotation de centre O et d’angle / 2 est le point D, d’affixe z_D  2 3 2 i.

Calculer la distance OC et construire avec précision le triangle OCD.

4. Soit K le milieu de [AC].

Calculer les affixes des vecteurs_OK^ et _DB^ puis montrer que les droites (DB)et (OK) sont perpendiculaires. (on pourra utiliser le produit scalaire ^{u v x x . } _{u v}^{ y y}_{u v}^{ } )

Exercice 2 : 4 points

Une entreprise produit des objets qu’elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts :

• le défaut S de nature esthétique ;

• le défaut F de fonctionnement.

Un objet est déclaré parfait s’il ne présente aucun des deux défauts.

On prélève un lot de 200 objets sur la production et on constate que :

• le défaut S est observé sur 16 objets ;

• le défaut F est observé sur 12 objets ;

• 180 objets sont déclarés parfaits.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Avec le défaut F Sans le défaut F Total

Avec le défaut S 16

Sans le défaut S

Total 200

On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le lot de 200 objets prélevés, reflète celle de l’ensemble de la production. On admet également que tout objet produit est vendu.

On sait en outre que le coût de fabrication d’un objet est de 200 €.

2. Dans cette question, le prix de vente de l’objet est fixé à 250 €.

Si l’objet présente le seul défaut S, l’entreprise accorde au client une réduction de 15 % du prix.

Si l’objet présente le seul défaut F, l’entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de 45 €.

Si l’objet présente les deux défauts, l’entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de 58 €.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euros, réalisé par l’entreprise à la vente de cet objet.

(a) Justifier le fait que X prend les valeurs (exprimées en euros) : 50 ; 12, 50 ; 5 et −8.

(b) Démontrer que la probabilité pour qu’un objet présente le seul défaut S est 0, 04.

(c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats dans un tableau.)

(d) Calculer l’espérance mathématique^{E X}

 

 

PROBLÈME : 11 points

La fonction f est définie sur l’intervalle ^]0;[par ( ) ln c

f x a x bx

  x où a, b et c sont trois nombres réels à déterminer. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

On a représenté la fonction f sur la feuille annexe dans un repère orthonormal ( ; , )O i j  d’unité graphique 2 cm. On note C la courbe représentative de cette fonction f .

On note T la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1. La tangente T passe par l’origine O du repère.

La tangente à la courbe C au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses.

PARTIE A :Recherche de l’expression de ^{f x( )}

1. Préciser (sans justifier) les valeurs de ^f(1), ^{f '(1)} et ^{f '(2)}.

2. Déterminer ^{f x'( )}, en fonction de la variable x et des nombres réels a, b et c.

3. Exprimer ^f(1), ^{f '(1)} et ^{f '(2)}en fonction des nombres réels a, b et c.

4. En utilisant les réponses aux questions 1.et 3., montrer que les nombres réels a, b et c sont solutions du système S suivant :

1 1

2 4 0

b c a b c

a b c

  

   

   



5. Résoudre le système S. En déduire une expression de f (x).

PARTIE B : Étude de la fonction f

Dans la suite du problème la fonction f est définie sur l’intervalle ]0 ; ∞[ par : 4

( ) 8ln 3

f x x x

  x 1. Déterminer par calculs la limite de f en +∞ (on peut factoriser f (x) par x).

2. On rappelle que : lim ln₀ 0

x x x

  . En écrivant f (x) sous la forme d’une seule fraction, déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. Déterminer ^{f x'( )}et vérifier que pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; ∞[ : (3 2)(2₂ )

'( ) x x

f x x

 



a. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f (justifier avec soin le signe de ^{f x'( )}.) b. Montrer que, sur l’intervalle [4 ; 5] l’équation ^{f x( ) 0} a une unique solution. notée  . c. Justifier l’encadrement de la solution  d’amplitude ₁₀^2suivant : ^4,07  ^{4, 08}. Partie C : Calcul d’une aire

Soit H la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ^{H x( )xlnx x} .

1. Calculer ^{H x'( )}, où H'désigne la fonction dérivée de la fonction H . En déduire une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

2. On considère le domaine du plan S délimité par la droite d’équation x = 1, la droite d’équation ^{x e} , la courbe C et l’axe des abscisses.

Calculer, en unités d’aire puis en cm², la mesure de l’aire du domaine S.

Annexe – Problème

C

T

2 3 4 5 6 7

2 3 4

-1

-2

-3

0 1

1

x y

Exercice 1

1. Résolution de (1) : z²10z50 0 .

Calcul du discriminant : b²4ac100 4 1 50 100 200      100 0 et  100i²donc  10i l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : 1

10 10 2 5 5

z  i i

   De même : z₂ z₁  5 5i Ensemble des solutions :^S





Résolution de (2) : z 2 i 3z6

 

  

8 1 3

8 8 8 3

2 3 6 (1 3) 6 2 (1 3) 8

1 3 1 3 1 3 1 3

2 2 3

i i

z i z i z i z z z z

i i i

z i

 

  

                 

   

   

2. Module et argument de zA ^{5 5}i ; ^z_A s’écrit sous la forme^z_A^{ a bi}, donc on a : z_A  a²b²  5² ( 5)²  25 25  50 5 2 .

Soit _Aun argument de^z_A; _Aest tel que

5 2

cos 5 2 2

5 2

sin 5 2 2

A A

A A

a z b z





   



     



: donc

A 4

  

La forme exponentielle est donc :z_A5 2e^{i/ 4}

2.b Forme exponentielle dezB. Soit Bun argument dezBzA, donc zB  z^A  zA ^{5 2}. donc ^argzB ^argz^A  ^argzA  





/ 4 / 4 / 4 / 2

/ 4

5 2 5 2

i i i

B A

i i

e e e

z i

z e

   

 

 

   . On a donc : z_Biz_Az e_A ^{i/ 2}. Donc B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle / 2. De plus, on a OA = OB, donc le triangle OAB est rectangle isocèle en O de centre O et d'angle / 2.

3. . Soit C le point d’affixe z_C   2 2 3i . l’image de C par la rotation de centre O et d’angle / 2 est le point D, d’affixe ^{zD   }









^{ }

donc z_D  2 3 2 i. OC z_C  a²b²  ( 2 3) ²(2)²  12 4  16 4 . De mêmeOD z_D  iz_C  i z_C  z_C 4.

Donc les points C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 4, puis on utilise une de leurs coordonnées qui est entière pour les placer avec précision.

4. Affixe du point K, milieu de [AC] : 5 5 2 2 3 ³





2 2 2

A C

K

z z i i i

z          Affixe du vecteur _OK^: ³









0 2 2 2

OK K

z z   i  i

    



Donc le vecteur _OK^a pour coordonnées : 3





2; 2 OK

  

  

 

 



Affixe du vecteur _DB^: z_DB^ z_B z_D   ^{5 5}i ( 2 3 2 ) 5 2 3 3 i    i Donc le vecteur _DB^a pour coordonnées : ^{DB}





Calcul du produit scalaire des vecteurs _OK^et ^_DB: ^{OK DB .   3}₂





Donc les vecteurs _OK^et _DB^sont orthogonaux donc les droites ( DB) et (OK) sont perpendiculaires.

EXERCICE 2

1. Tableau récapitulatif :

2. (a) • Si l’objet n’a aucun défaut, le prix de vente est de 250 € et le coût de fabrication 200 € . Donc, le bénéfice est de X = 250 − 200 = 50 €.

• Si l’objet présente le seul défaut S, le prix de vente est de 250 × 0, 85 = 212, 50 € et le coût de fabrication 200 €. Donc, le bénéfice est de X = 212, 5 − 200 = 12, 5 € .

• Si l’objet présente le seul défaut F, le prix de vente est de 250 € et le coût de fabrication 200 + 45 = 245 € . Donc, le bénéfice est de X = 250 − 245 = 5 € .

• Si l’objet présente les deux défauts S et F, le prix de vente est de 250 € et le coût de fabrication 200 + 58 = 258 € . Donc, le bénéfice est de X = 250 − 258 = −8 € .

Conclusion : X prend les valeurs 50 ; 12, 5 ; 5 et −8

(b) ^{p S}









(c) Loi de probabilité de X :

xi 50 12,5 5 8





p X x 180

200 0,9 8

0, 04

200  4

0, 02

200  8

0, 04 200 (d) E(X) = 50 × 0, 90 + 12, 5 × 0, 04 + 5 × 0, 02 − 8 × 0, 04 = 45, 28.

E(X) = 45, 28 €, ce qui représente le bénéfice moyen de l’entreprise par objet vendu.

Problème -corrigé

A.1. Préciser (sans justifier) les valeurs de ^f(1), ^{f '(1)} et ^{f '(2)}.

^{f(1) 1} ; ^{f '(1) 1} puisque le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 1est égal à 1 ^{f '(2) 0} , puisque la tangente au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses

2. ^{f x( ) a x bxln c}

   x ; ^{f x'( ) a}_x ^{b c}₂

   x .

3. Exprimer ^f(1), ^{f '(1)} et ^{f '(2)}en fonction des nombres réels a, b et c ^{(1) ln1 1}

1

f a     b c b c ; ^'(1) ₂

1 1

a c

f   b   a b c . ^'(2) ₂ ^{2 4}

2 2 2 4 4

a c a c a b c

f   b    b   . 4. ^{f(1) 1   b c 1} ; ^{f '(1) 1    a b c 1 '(2) 0 2 4 0 2 4 0}

4

a b c

f       a b c  et on obtient le système

1 1

2 4 0

b c a b c

a b c

  

   

   



.

1 3

2 2 2

1 2 2 2 2( 3) 2 6 8

2 5 1

2 4 0 1 1 ( 3) 1 3 4

b c b

a b

a b c a b

a b

a b c c b

   

 

  

             

    

            

 

.

5. 4

( ) 8ln 3

f x x x

  x B. 1. ^{f x( ) x 8ln}_x^{x 3 4}₂

x

 

    

  :_x^lim_^{x } ; ^{lim ln 0}

x

x x

  ; ^{lim 4}₂ ⁰

x^x  , donc ^{lim 8ln 3 4}₂ ³

x

x

x x



    

 

 

et _x^lim_ ^{f x( ) }. 2.

2 00

lim 3 0

xx

 x



 

; ₀

0

lim1

xx^ x



  ; ⁰

0

lim ln 0

xx

 x x



 et ₀





0

lim 8 ln 3 4 4

xx

x x x



  

. ⁰

0

lim ( )

xx

 f x



 .

3. a. '( ) ⁸ 3 ⁴₂ ⁸x ³₂x^{2 4}

f x x x x

 

    , or (3x2)(2x) 6 x3x² 4 2x 3x²8x4 ,donc^{f x'( ) (3x 2)(2}₂ ^x) x

 

 x 0 2 / 3 2 

'( )

f x ^ 0 + 0 ^ ( )

f x

 1,54

0,76 ^

Avec le défaut F Sans le défaut F Total Avec le défaut S 8 :









Sans le défaut S 4









Total 12 188 200

b. La fonction est strictement décroissante sur l’intervalle ^[2;[, elle est aussi strictement décroissante sur l’intervalle ^{[4;5] [2; [}, or ^{f(4) 0,09} et ^{f(5) 1,324} de plus 0 [ (4); (5)] f f , donc d’après le

théorème de valeurs intermédiaires l’équation ^{f x( ) 0} admet une solution unique telle que ^{f( ) 0 } et ^{ [4;5]}.

c. à l’aide de la calculatrice on a : f(4,07) 0,0019 et ^{f(4,08) 0,01}, donc ^{4,07  4,08}. C.1. ^{( ) (8 4)ln 8 3 2}

F x  x x x2x :

^{F x'( ) 8lnx (8x 4) 8 3x 8lnx 8 4 8 3x 8lnx 3x 4 f x( )}

x x x

              ,par conséquent ^{F x( )}est une primitive de ^{f x( )} sur ^]0;[.

2. ³

 

 

1 ( ) . 4 ( ) 4 (3) (1)

A  f x dx u a F x F F

     





3 75

(3) (8 3 4)ln 3 8 3 9 28ln 3

2 2

F          et (3) (8 1 4)ln1 8 ³ 0 ¹⁹

2 2

F       

 

75 19 56

4 28ln 3 4 28ln 3 4 28ln 3 28 11,05

2 2 2

A         cm  cm

.

H

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

0 1

1

x y

A B

C D

K O

E