BAC BLANC-2-TERM-STL-CHI-2008-2009

BAC BLANC N°2 MATHEMATIQUES TERM STL-CH 2008-2009 Exercice 1 5 points

Cet exercice est un vrai/faux : il s’agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse.

À chaque bonne réponse est attribuée 0,5 point. Toute réponse incorrecte enlève 0,25 point.

L’absence de réponse n’enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à l’exercice sera 0.

Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux ». On ne demande aucune justification.

Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.

1. On considère le polynôme P défini pour tout réel x par^{P x( ) ( x1)(x3)(2x3)} a. L’équation P(x) = 0 admet dansRtrois solutions qui sont 1, 3 et ³

2 b. Pour tout réel x, P x( ) 2 x³5x²6x.

c. L’équation



^{ex 1}



^{ex3 2}



^{ex 3}



⁰ admet trois solutions dans R.

2. Dans l’ensemble Cdes nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument / 2 . On considère les nombres z₁ 2 2i et z₂  2 2i

a. Les nombres ^z₁et ^z₂sont solutions dans Cde l’équation z²2 2z 4 0. b. Un argument de ^z₂est 3 / 4 

c. Le module de ^z₁ est 2 .

3. Soit l’équation différentielle (E) :^{4 " 49y  y0}dans laquelle l’inconnue y est une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur R, et^y"sa dérivée seconde.

a. La fonction f définie pour tout réel x par ^{( ) cos 7 sin 7}

2 2

x x

f x A  B  ,où A et B sont deux constantes réelles, est solution de (E).

b. La fonction h définie pour tout réel x par ( ) 3cos ^{7 3}

2 4

h x   x  

  est solution de (E).

c. La fonction k définie pour tout réel x par ^{( ) 2 cos 7 2 sin 7}

2 2

x x

k x     est la solution de (E) qui vérifie k(0) 2et ^{k'(0) 0} .

Exercice 2- 5 points

On considère deux urnes notées respectivement U et V .

L’urne U contient trois boules marquées respectivement : 0, 1 et 2.

L’urne V contient quatre boules marquées respectivement : 0, 1, 2 et 3.

Ces boules sont indiscernables au toucher.

Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de l’urneU puis une boule de l’urne V . On considère que tous les tirages de ces deux boules sont équiprobables.

1. a. Représenter tous les tirages possibles dans un tableau à double entrée.

b. Calculer la probabilité de l’événement « obtenir deux boules portant le même nombre » .

2. Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l’urneU , puis une boule de l’urne V . Le joueur doit miser 1 € .

L ’organisateur du jeu remet alors au joueur un montant (en € ) égal au produit des deux nombres figurant sur les deux boules tirées (ce montant peut être nul ).

On appelleX la variable aléatoire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique (c’est-à-dire positif, nul ou négatif ) du joueur.

Par exemple, si le joueur tire 2 dans l’urneU , puis 3 dans l’urneV , le gain algébrique du joueur est Alors 5 ; si le joueur tire 0 dans l’urne U, puis 2 dans l’urneV , le gain algébrique du joueur est alors −1.

a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X .

b. Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X . c. Calculer la probabilité que le gain du joueur soit strictement supérieur à 2.

d. On note ^{E X}

 

l’espérance mathématique de la variable aléatoire X . Calculer ^{E X}

 

. On dit qu’un jeu est équitable si l’espérance de gain est nulle. Ce jeu est-il équitable ? PROBLÈME 11 points

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur ^]0;[ par ^{g x}

 

^{x28lnx8}. 1. a. Calculer ^{g x'}

 

.

b. Étudier le signe de ^{g x'}

 

.

c. Dresser le tableau de variations de g (l’étude des limites de g n’est pas demandée).

2. Donner une valeur approchée de ^g(2)à 10^2 près, en déduire le signe de ^{g x}

 

sur ^]0;[. Partie B : étude et représentation graphique d’une fonction

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i jr r

, unité graphique 1cm. Soit f la fonction définie sur ^]0;[par ^{f x}

 

^{x2 3x 8lnx}

x

 

 etC sa représentation graphique dans ( ; , )O i jr r . 1. Montrer que pour tout réel x de ^]0;[on a : ^{f x}

 

^{x 3 8lnx}

   x . 2. a. Déterminer les limites en 0 et en ^ de ^{f x} .

b. En déduire l’existence d’une asymptote a la courbeC , et en donner une équation.

3. a. Déterminer la dérivée ^{f '}de f sur ^]0;[.

b. Vérifier que pour tout réel x de ^]0;[on a :

   

' g x2

f x

 x et en déduire le signe de ^{f '}

 

^x . c. Dresser le tableau de variations de f.

4. Soit D la droite d’équation ^{y x 3}. a. Montrer que D est asymptote à C en .

b. Calculer les coordonnées du point d’intersection A de C et de D.

c. Étudier la position relative deC et de

d. Déterminer l’équation de la tangente à C au point d’abscisse 1 5. Tracer dans le repère ( ; , )O i jr r

la courbe C et la droite D.

Partie C : calcul d’une aire

1. Soit h la fonction définie sur ^]0;[par ^{h x}

 

^lnx

 x .

a. Vérifier qu’une primitive de h sur ^]0;[est la fonction H définie par

 

¹



^ln



²

H x 2 x .

b. En déduire une primitive de f sur ^]0;[.

2. a. Hachurer la partie du plan limitée par la courbeC et la droite D, et les droites d’équation x = 1 et x = 5.

b. Calculer en cm² l’aire de la partie du plan hachurée ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée a 10⁻² près.

Exercice 1

Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.

1. On considère le polynôme P défini pour tout réel x par^{P x( ) ( x1)(x3)(2x3)} a. L’équation P(x) = 0 admet dansRtrois solutions qui sont 1, 3 et ³

2 VRAIE b. Pour tout réel x, P x( ) 2 x³5x²6x. Puisque P x( ) 2 x³5x²6x9 FAUX c. L’équation



^{ex 1}



^{ex3 2}



^{ex 3}



⁰ admet trois solutions dans R. FAUX

2. Dans l’ensemble Cdes nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument / 2 . On considère les nombres z₁ 2 2i et z₂  2 2i

a. Les nombres ^z₁et ^z₂sont solutions dans Cde l’équation z²2 2z 4 0.

Calcul de discriminant  2 2i puis ^z₁ et ^z₂ VRAIE b. Un argument de ^z₂est 3 / 4  FAUX c. Le module de ^z₁ est 2 . ^{z1 }

   

^{2 2 2 2  2 2  4 2} FAUX

3. Soit l’équation différentielle (E) :^{4 " 49y  y0}dans laquelle l’inconnue y est une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur R, et^y"sa dérivée seconde.

a. La fonction f définie pour tout réel x par ( ) cos ⁷ sin ⁷

2 2

x x

f x A  B  ,où A et B sont deux constantes réelles, est solution de (E). VRAIE b. La fonction h définie pour tout réel x par ^{( ) 3cos 7 3}

2 4

h x   x   est solution de (E). VRAIE ^{'( ) 21sin 7 3}

2 2 4

h x    x   , ^{''( ) 147cos 7 3}

4 2 4

h x    x et que ^{h x( )}et ^{h x''( )}vérifie l’équation (E)

c. La fonction k définie pour tout réel x par ^{( ) 2 cos 7 2 sin 7}

2 2

x x

k x     est la solution de (E) qui vérifie k(0) 2et ^{k'(0) 0} . ( ^{k'(0) 0} ne convient pas : _{B  2 0} ) FAUX Exercice 2

1.

0 1 2

0 (0;0) (1;0) (2;0) 1 (0;1) (1;1) (2;1) 2 (0;2) (1;2) (2; 2) 3 (0;3) (1;3) (2;3)

b. Calculer la probabilité de l’événement A= « obtenir deux boules portant le même nombre »

 

^{3 1}

12 4

p A   , puisque le nombre total d’élément de l’univers E est égal à 12 Le nombre de cas favorable à A est égal à 3 : A=



(0;0);(1;1);(2;2)



2.

0 1 2

0 0 1  1 0 1  1 0 1  1 1 0 1  1 1 1 0  2 1 1  2 0 1  1 2 1 1  4 1 3  3 0 1  1 3 1 2  6 1 5 

Donc les valeurs prises par la variable aléatoire X sont



1;0;1;2;3;5



.

X xi 1 0 1 2 3 5



_i



p X x 1 2

1 12

1 6

1 12

1 12

1 12

c. Calculer la probabilité que le gain du joueur soit strictement supérieur à 2.



²

 

²

 

³

 

⁵



^{3 1}

12 4

p X   p X  p X  p X    . 3. Calculer ^{E X}

 

:

 

⁶

1

1 1 1 1 1 1

1 0 1 2 3 5

2 12 6 12 12 12

E X 



p xi i             

 

6 0 2 2 3 5 6 12 6

12 12 12 0,5

E X           

^{E X}

 

^0.Donc le jeu n’est pas équitable et il est en faveur du joueur Correction problème

Soit^gla fonction définie sur ^]0;[ par ^{g x}

 

^{x28lnx8}

1.a la fonction^gest définie et dérivable sur ^]0;[ et on a :

 

8 2 ² 8 2( ² 4) ²



²

 

²



2 x x x x

g x x

x x x x

 

 

     .

b. pour tout ^{x]0 ;[}, x0 et x 2 0, donc le signe de ^{g x'( )} dépend uniquement de x2. On déduit que x   2 0 x 2 sur l’intervalle ^]2;[et x   2 0 x 2 sur l’intervalle ^{]0; 2[}. D’où le tableau de variation :

2. g(2) 2 ²8ln 2 8 4 8ln 2 8 12 8ln 2 6, 45       à ₁₀^2près. La fonction^g admet un minimum égal à ^{g(2) 0} . Donc ^{g x( ) 0} .

Partie B

1. Soit f la fonction définie sur ^]0;[par ^{f x}

 

^{x2 3x 8lnx}

x

 

 .

^{f x}

 

^{x2 3x 8lnx x2 3x 8lnx x 3 8lnx}

x x x x x

 

       .

2.a

 

00

lim 3 3

xx

 x



  

et _{0 0 0}

0 0 0

ln 1

lim lim lim ln ( )( )

x x x

x x x

x x

x x

  

  

      , donc ⁰

0

lim ( )

xx

 f x



 .

^lim



³



^lim

 

x x x x

      et ln ln

lim 8 lim 8 0 0

x x

x x

x x

      ( vu formulaire ), donc lim ( )

x f x

  . b. vu que ⁰

0

lim ( )

xx

 f x



 , on déduit que la droite x0 est une asymptote verticale à la courbe C au voisinage de 0 .

3.a. la fonction ^f est définie et dérivable sur ^]0;[ et on a :

2 2

2 3 8 ( 3 8ln )

'( )

x x x x x

f x x

x

      

 

 



^{2 2 2}

2 2 2

2 3 8 3 8ln 8 8ln ( )

'( ) x x x x x x x g x

f x x x x

      

  

b. _x² _0, donc le signe de ^{f x'( )} dépend du signe de ^{g x( )}. Or d’après la partie A ,^{g x( ) 0} , donc ^{f x'( ) 0} sur ^]0;[.

c.

x 0 2 

'( )

g x ^ 0 + ( )

g x ^g(2)

x 0 

'( )

f x + ( )

f x





4. Soit Dla droite ^{y x 3}.

a. soit 8ln 8ln

( ) ( ) 3 x ( 3) x

d x f x y x x

x x

        .or ln ln

lim 8 lim 8 0 0

x x

x x

x x

      . Donc ^lim



^{( )}



⁰

x f x y

   . On déduit que la droite D d’équation ^{y x 3} est une asymptote oblique à la courbeC au voisinage de .

b. Soit A le point d’intersection de C et la droite D :^{A C C  f x( ) y}

donc ln ln

3 8 x 3 8 x 0 ln 0 1

x x x x

x x

          et ^{A D  y x}_A^{    3 1 3 2}. Donc le point A a pour coordonnées



^{1; 2}



.

c. la position relative deC et D dépend du signe de 8ln

( ) ( ) x

d x f x y

   x , or x0, or lnx0 sur ^{] 0 ;1[} et lnx0 sur ^]1;[. On déduit que :

Sur ^{] 0 ;1[} : 8ln x 0

x  , donc la courbeC est en dessous de la droite D (^{d x( ) f x( ) y 0} ).

sur ^]1;[ : 8ln x 0

x  , donc la courbeC est au dessus de la droite D. (^{d x( ) f x( ) y 0} ).

d. l’équation de la tangente à C au point d’abscisse 1 est définie par ^{y f '(1)(x 1) f(1)} or 1² 8 8ln1₂

'(1) 9

f   1  et

 

^{1 12 3 8ln1 2}

f   1   , donc ^{y9(x  1) 2 9x11}

5. courbe Partie C

1. Soit h la fonction définie sur ^]0;[par ^{h x}

 

^lnx

 x . a. sur ^]0;[ ,

 

¹



^ln



²

H x  2 x ,

 

^{1 2}

H x  2u , 1

' 2 '

H 2 u u avec

10,3612

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5

0 1

1

x y

ln

u x et 1

u x. Donc ^'

 

^{1 2 1 ln ln}

2

H x x x

x x

     et par conséquent ^{H x( )} est une primitive de h x( )sur ]0;[.

b. sur ^]0;[ , on a : ^{f x}

 

^{x 3 8lnx}

   x , donc d’après la question précédente on obtient :

 

^{2 3 8 1}



^ln



²

2 2

F x  x  x  x . 2. a voir graphique ci-dessus

b. sur l’intervalle ^[1;5], la courbeC est au dessus de la droite D , donc ^{d x( ) f x( ) y 0} donc l’aire de la partie du plan hachurée est ^A_{ 1}^{5( ( )f x y dx) }_^{u a.}







1⁵ 1⁵

 

¹⁵

    

^{2 2}

 ^{ }

²

8 ( ) . 8 ( ) . 8 ( ) . 8 1 ln 5 ln1 . 4 ln 5 .

A h x dxu a  h x dx u a  H x u a 2  u a u a





 



 ^.

Or ^{1 .u a1cm²}. Donc ^{A4 ln 5}

 

^{2cm2 10,36cm2}