TP-EQUADIFF-fonctions expontielles-TERM-STI-STL-2009-2010 avec correction

TP EQUADIF –EXPONENTIELLE TERM STI-STL 2009-2010 Problème 1 (10 points)

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle

 

^E : 'y  y 2e^x, dans laquelle y désigne une fonction inconnue de la variablex, dérivable sur l'ensemble Rdes nombres réels.

1.Résoudre l'équation différentielle

 

E0 : ^{y' y 0}.

2. Soit la fonction h définie sur Rpar ( ) 2h x  xe^x. vérifier que h est solution de l'équation

 

^E

3. On admet que toute solution de

 

^E s'écrit sous la forme ^{g h} , où^gdésigne une solution de l'équation

 

E0 .

a) Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation

 

^E

b) Déterminer la solution ^f de l'équation

 

^E vérifiant la condition initiale ^{f(0) 1}. Partie B : Etude d'une fonction exponentielle

On note ^f la fonction définie pour tout réelxpar : ^{f x( )}



^2x1



^ex.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal



^{O i j; ; }



^.

Unités graphiques : 1 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

1. a) Déterminer la limite de ^f en^.

b) En écrivant, pour tout réel x, ( ) 2f x  xe^xe^x, déterminer la limite de ^f en. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour la courbe C ?

2.

a)Calculer la fonction dérivée ^{f '}de la fonction ^f , puis démontrer que, pour tout réel x f x'( )est du signe de



^{ 2x 3}



.

b) Dresser le tableau de variation de la fonction ^f . 3.

a) Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.

b) Déterminer une équation de chacune des tangentes ( T ) et (T ') à la courbe C aux points d'abscisses 3 / 2et 1/ 2.

c) Tracer (T), (T ') et la courbe C dans le repère



^{O i j; ; }



^.

Partie C : Détermination d'une primitive

1.Vérifier que, pour tout réel x, ( )f x  f x'( ) 2 e^x. 2.En déduire une primitive de la fonction ^f sur R. Problème 2

Partie A

On donne les deux équations différentielles :

 

E1 :^{y' 3 y} et

 

E2 : ^{y' 2 y}.

1. Donner la solution générale de l'équation différentielle

 

E1 et celle de l'équation différentielle

 

E2 . 2. Soit f une fonction définie sur l'intervalle R par : ^{f x( ) f x}₁^{( ) f x}₂^{( )}où f1 désigne une solution de l'équation différentielle

 

E1 et f2 une solution de l'équation différentielle

 

E2 .

Déterminer f (x) sachant que ^{f(0) 2} et ^{f '(0) 3}. Partie B

Soit f la fonction définie sur R par f x( )e^3x3e^2x et (C ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ; ; )O i j 

.(unités graphiques : 2 cm pour l'unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour l'unité sur l'axe des ordonnées).

1. a Calculer _x^lim_ ^{f x( )} (On pourra factoriser_e^2xdans f(x)).

b. Calculer _x^lim_^{f x( )}. En déduire une équation d'une asymptote () à (C ).

c. Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de la courbe (C) et l'axe des abscisses.

Etudier la position relative de (C ) par rapport à l'axe des abscisses.

2. Calculer ^{f x'( )}. Montrer que ^{f x'( )}a même signe que e^x2. 3. Dresser le tableau de variations de f sur R.

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point B d'abscisse 0.

5. Tracer la tangente (T) et la courbe (C) dans le repère ( ; , )O i j  . Partie C

On appelle D le domaine du plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = ln 3.

1. Déterminer une primitive F de^f sur R.

2. Calculer en cm² la valeur exacte de l'aire du domaine D.

PROBLÈME 3- 10 points

Les parties II et III peuvent être traitées indépendamment de la partie I.

Partie I

1. Résoudre l’équation différentielle

 

E0 :^{y' 2 y} où l’inconnue y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R et y′ sa fonction dérivée.

2. Soit l’équation différentielle

 

^E : y' 2 y e ^xoù l’inconnue y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R et y′ sa fonction dérivée.

a. Soit a un nombre réel et ^ula fonction définie pour tout réel x paru x( )ae^x .

Déterminer a pour que la fonction u soit une solution de l’équation différentielle (E).

b. Soit b un nombre réel. On admet que la fonction ^w définie pour tout réel x par w x( )be^2xe^xest une solution de l’équation différentielle (E). Déterminer b pour que la fonction ^w vérifie ^{w(0) 0} .

Partie II

On considère la fonction ^f définie pour tout réel x par f x( )e^2xe^x. On appelle ^{f '}la fonction dérivée de f et C la courbe représentative de ^f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j 

d’unité graphique 4 cm.

On remarquera que, pour tout réel x, on a ^{e2xex e ex}



^x1



1. Calculer _x^lim_^{f x( )} et _x^lim_ ^{f x( )}. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. a. Calculer ^{f x'( )} pour tout réel x et étudier son signe. Calculer ^{f( ln 2)} . On détaillera les calculs.

b. Dresser le tableau de variations de la fonction ^f .

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.

4. Tracer la droite T et la courbeC . Partie III

1. étudier le signe de f (x) suivant les valeurs du réel x.

2. Calculer ^I



₀^{ln 2f x dx( ) .}

3. On considère la partie D du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbeC et les droites d’équations x = 0 et x = ln2. Hachurer la partie D sur le graphique.

Déterminer l’aire de D. On exprimera le résultat en centimètres carrés.

PROBLÈME 4-11 points

Partie A : résolution d’une équation différentielle

Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l’équation différentielle

( ) : ' 2E1 y  y x où y désigne une fonction numérique de la variable x, définie et dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels.

1. Résoudre l’équation différentielle ^(E₂^{) : ' 2y y0} .

2. Vérifier que la fonction u définie sur l’ensembleRdes nombres réels, par ^{( ) 1 1}

2 4

u x  x , est une solution de l’équation différentielle ( )E1 .

3. On admet que toute solution^de l’équation ( )E1 est de la forme ( )x u x( )Ce^2xoù C est un nombre réel quelconque et u la fonction définie à la question 2.).

2. Déterminer la solution ^₀ de l’équation ^{( )E}₁ telle que : ^{(0) 3 / 4} .

Partie B : étude d’une fonction

On note f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par : ^{( ) 1 1 2}

2 4

f x  x e^ x

On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal( ; ; )O i j 

, d’unités 4 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées.

1. Étude des limites de la fonction f a. Déterminer la limite de f en +∞·

b. Justifier que ^{( ) 2 1 2 1 2 1}

2 4

x x x

f x e^  xe  e  

  et en déduire la limite de f en . c. Démontrer que la droite D d’équation ^{1 1}

2 4

y x est asymptote à la courbe C en +∞, et préciser la position de la courbeC par rapport à la droite D.

2. Étude des variations de la fonction f

a. Déterminer l’expression de la dérivée f ′ de la fonction f · b. Résoudre l’inéquation ² 1

4

e^ x  et en déduire le tableau des variations de la fonction f . c. Déterminer l’équation de la tangente T à la courbeC en son point d’abscisse 0.

d. Montrer que l’équation 1 ( ) 2

f x  possède une unique solution sur l’intervalle ^[1;2]. Justifier avec précision et donner un encadrement d’amplitude ₁₀^2de cette solution.

3. Tracer, dans le repère ( ; ; )O i j 

, les droites D et T , puis tracer la courbeC Partie C : Calcul d’une aire

1. Soit m un nombre réel strictement supérieur à ln2. On note ^{A m( )} l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine plan délimité par la courbeC , la droite D et les droites d’équations xln 2 et ^{x m} . Déterminer ^{A m( )}en fonction de m.

2. Calculer la limite de ^{A m( )}lorsque m tend vers · PROBLÈME 5-12 points

Les objectifs de ce problème sont :

– l’étude de quelques propriétés d’une fonction f et de sa courbe représentative, – un calcul d’aire entre deux courbes.

Partie A

Soit l’équation différentielle^{( )E} : y' y x² x e^x,où y est une fonction de la variable réelle x et ^y'sa dérivée. Soit f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par :f x( ) ( x k e ) ^xx² x 1, où k désigne une constante réelle.

1. Calculer f ′(x).

2. Montrer que la fonction f est solution de l’équation ^{( )E} . 3. Déterminer le réel k pour que ^{f(0) 1} .

Partie B

On considère les fonctions f et g définies, pour tout nombre réel x, par : f x( )xe^xx² x 1 et g x( )x² x 1. On noteC la courbe représentative de f etPla courbe représentative de g dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 2cm sur l’axe

des ordonnées.

1. a. Déterminer_x^lim_ ^{f x( )}, _x^lim_^{g x( )}. b. Déterminer ^lim



^{( ) ( )}



x f x g x

  . Interpréter graphiquement ce dernier résultat.

c. Étudier sur Rla position relative des deux courbesC et P .

2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f x'( )e^x(1 x) 2x1.

b. Montrer que la courbe C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0.

3. Sur la feuille annexe :

a. Compléter le tableau de valeurs arrondies au centième.

b. Tracer la courbe C dans le cadre où a déjà été tracée la courbe P . Partie C

1. Démontrer que la fonction H définie sur Rpar H x( ) (  x 1)e^xest une primitive de la fonction h définie sur R par h x( )xe^x .

2. Soit A la partie du plan limitée par les courbesC etP, l’axe des ordonnées et la droite d’équation ^{x } où ^ est un nombre réel supérieur ou égal à 2.

a. Colorier la partie A sur la feuille annexe dans le cas particulier où  2.

b. Pour  2 quelconque, déterminer l’aire de la partie A en fonction de ^, en unités d’aire puis en cm². c. Calculer _x^lim_



^{ee 1}



d. Quelle est la limite de l’aire de A en cm² lorsque^ tend vers +∞?

2 -1

-2

2 3 4 5

-1

-2

-3

0 1

1

x y

Problème 1

Partie A

1. L'équation y' + y = 0 est de la forme y' - ay = 0 avec a = -1 , or on sait que les solutions de cette équation sont des fonctions y définies par ( )g x k e^xoù k est une constante réelle quelconque.

2. h x( ) 2 xe^x, la fonction h est dérivable sur et pour tout réel x on a : h x'( ) 2 e^x2xe^x

(forme (uv)' = u' v + uv' ) donc '( )h x h x( ) 2 e^x2xe^x 2xe^x 2e^x , il en résulte que la fonction h vérifie l'équation (1) elle est donc solution de l'équation (1).

3. a. On admet que toute solution de (1) s'écrit sous la forme g + h, où g désigne une solution de l'équation (2) donc toute solution de (1) s'écrit : ( )f x ke^x2xe^x où k est une constante réelle quelconque.

b. f est solution de (1) donc ( )f x ke^x 2xe^xavec la condition initiale f(0) = -1 on va déterminer la constante k : ke⁰ + 0 = -1 d'où k = -1. La fonction f est définie sur Rpar ^{f x( ) ex2xex }^2x1^ex Partie B

1. a . ^{f x( )}



^2x1



^{ex .} _x^{lim ex   ;} _x^{lim (2}_ ^{x  1) , donc} _x^lim_ ^{f x( ) }

1. b. ^{f x( ) e x 2xe x e x 2 x}_x

e

  

      ; lim ^x 0

x e^

  et lim ^x

x

e x

  donc ^lim _x ⁰

x

x e

  et par conséquent lim ( ) 0

x f x

 

Conséquence graphique On en déduit que la courbe admet l'axe des abscisses, d'équation ^y0, pour asymptote horizontale en .( axe des abscisses ) est asymptote à la courbe C en + .

2. a. ^{f x'( ) 2 ex(2x1)ex   }



^{2x 3}



^ex

sur R,_e^x _0 donc f ' (x) est du signe de 2 x 3. 2. b.f(3/ 2) (2 3/ 2 1)   e^{3/ 2} (3 1)e^{3/ 2} 2e^{3/ 2}

3.a. Soit x l'abscisse du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses on a :

f(x) = 0 d'où



^2x1



^ex équivaut à 2x 1 = 0 soit x = 1/2. La courbe coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 1/2.

b. Au point d’abscisse ¹

2 ; coefficient directeur de la tangente : ^{f'(1/ 2)   } ^{2 1}₂ ^3^{e1/ 22e1/ 2}, ordonnée du point ^{f(1/ 2) 0} .

Equation de la tangente : ^{y f'(1/ 2)(x1/ 2) f(1/ 2)} ; y2e^{1/ 2}(x1/ 2) ; y2e^{1/ 2}x e ^{1/ 2} ( T) Au point d’abscisse ³

2 ; coefficient directeur de la tangente : ^{f '(3/ 2) 0} , ordonnée du point f(3 / 2) 2 e^{3/ 2}. Equation de la tangente : ^{y f '(3/ 2)(x3/ 2) f(3/ 2)} ; y2e^{3/ 2} ; ( T’) c. ( Voir figure ci-contre )

Partie C

1. Pour tout réel x ,on a : f x'( ) 2 e^x    ( 2x 3)e^x2e^x (2x 3 2)e^x

donc pour tout réel x : f x'( ) 2 e^x(2x1)e^x f x( ). F x( ) f x( ) 2 e^x (2x 1) 2e^x  ( 2x 1)e^x

2. On en déduit une primitive F de f sur : F x( ) f x( ) 2 e^x (2x 1) 2e^x  ( 2x 1)e^x. 3.c

Partie C : Détermination d'une primitive

1. Il y a 2 méthodes pour répondre à cette question :

1ère méthode : si on a trouvé dans la partie A que la fonction ^f de la partie B est la solution de l'équation différentielle (1), alors on a : f x'( ) f x( ) 2 e^x  f x( ) f x'( ) 2 e^x

2ème méthode : on vérifie que ^{f x( )}est bien égal à f x'( ) 2 e^x:

x  3 / 2 



^{ 2x 3}



+ 0 ^ e^x + +

'( )

f x + ^ ( )

f x _2e^1,5

 0

'( ) 2 ( 2 3) 2

2 3 2 (2 1) ( )

x x x

x x x x

f x e x e e

xe e e x e f x

  

   

      

     

Donc on a bien f x( ) f x'( ) 2 e^x

2. En utilisant la relation précédente, on en déduit que la primitive F de ^{f x( )}est égale à la primitive de ( ) '( ) 2 ^x

f x  f x  e^ : F x( ) f x( ) 2 e^x  (2x1)e^x2e^x (2x1)e^x.

 

3 3

1 f x dx u a( ) . 8 F x( ) 1 8 F(3) F(1)

   





      A

  

^{3 1}



8 F(3) F(1) 8 7e^ 3e^ cm²

    

A . A 8 0,755129 6,04 cm².

Problème 2 Partie A

E1: ^{y' 3 y} E2 : ^{y' 2 y}.

1. la solution générale de E1 est :y k e ₁ ^3x; celle de E2 est : y k e ₂ ^2x 2. f x( )k e₁ ^3xk e₂ ^2x ; f(0)k e₁ ⁰k e₂ ⁰k₁k₂ 2 ;

f x'( ) 3 k e₁ ^3x2k e₂ ^2x ; f'(0) 3 k e₁ ⁰2k e₂ ⁰3k₁2k₂ 3 Le résultat du système ^{1 2}

1 2

2

3 2 3

k k

k k

   

   

 ^{ 1 2}

1 2

2 2 4

3 2 3

k k

k k

  

   

 Par une addition membre à membre on obtientk11et k2 3 d’oùf x( )e^3x3e^2x

Partie B f x( )e^3x3e^2x 1.a. f x( )e^2x(e^x3) ; ^{lim 2x}

x e

   et ^{lim ( x 3) lim x}

x e x e

      , _x^{lim f x( ) }

b) _x^{lim e3x0} _x^{lim 3e2x0} _x^lim_^{f x( ) 0} . On en déduit que la droite ( ) d'équation y = 0 (axe des abscisses) est asymptote à (C) en ^.

c) L'abscisse du point d'intersection de (C) et de l'axe des abscisses est la solution de l'équation f(x) = 0.

Les coordonnées de A sont (ln3 ; 0).

La position relative de (C) par rapport à l'axe des abscisses est donnée par le signe de f(x). On a donc : La courbe (C) est au-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle^_^{;ln 3}_ et au-dessus de cet axe sur l'intervalle^_^{ln 3;}_.

2 3 4

-1

0 1

1y

2. f x'( ) 3 e^3x6e^2x f x'( ) 3 e^2x(e^x2).Pour tout réel x 3e^2x 0donc f ' est du signe de (e^x2). D'où f x'( ) 0 (e^x2) 0 e^x  2 x ln 2

3. Il en résulte du 2. le tableau de variation suivant 4. Equation de la tangente T à (C) au point B d'abscisse 0

'(0) (0) 3 2

y f x f soit y  x 5. Voir graphique

Partie C

1. F primitive de f. ^{( ) 1 3 3 2}

3 2

x x

F x  e  e

2.sur ^_^{0;ln 3}_ la courbe est en dessous de l’axe des abscisses



^{0ln 3} ( )

 

. ^{ln 30} ( )



. ( ) ⁰ln 3 .

^

(0) (ln 3) .

^

A  f x dx u a  f x dx u aF x  u a F F u a

^{(0) 1 3 7}

3 2 6

F     ;

^{(ln 3) 1 3ln 3 3 2ln 3 1 ln 27 3 ln 9 9 27 9}

3 2 3 2 2 2

F  e  e  e  e    

^{(0) (ln 3) 7 ( 9) 7 27 20}

6 2 6 6

IF F        .

^{2 20 20 ²}

6 3 cm

  

A .

PROBLÈME 3. 10 points Partie I

1. On sait que les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : y ke ^2x, kR

2. a. On a u x'( )ae^x. u est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si _ae^x_2ae^x _e^x _ae^x _e^x _{  a 1} . La fonction _e^xest donc solution de (E).

b. ( )x ke^2xe^x , donc (0)ke⁰e⁰    k 1 0 k 1.

Conclusion : la fonction ( )x e^2xe^xest la solution de (E) qui vérifie ^

 

^{0 0}. Partie II

1. Comme ^{( )x e2xex e ex}



^x1



^{et que} x^lim e^x

   et _x^{lim (}_ ^{ex 1)} _x^lim_^{ex } , on peut en déduire que _x^lim_^{f x( ) }.

En moins l’infini : comme ^{lim x 0}

x e

  lim ^x 0

x e

  lim ( ) 0

x f x

  . on peut en déduire que_x^{lim f x( ) 0} On en déduit que la droite^{( )} d'équation y = 0 (axe des abscisses) est asymptote à (C) en ^.

x ^ ln 2 

'( )

f x  0 + ( )

f x 0 

 4

Intégrale = -3,33333 ln2

T C

-1

2 3

-1 -2 -3 -4

0 1

1

x y

Géométriquement ceci signifie que l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe Cf au voisinage de moins l’infini.

a. f est la différence de deux fonctions dérivables sur R et ^{f x'( ) 2 e2x ex ex}



^2ex1



Comme ex > 0, quel que soit le réel x, le signe de f ′(x) est celui de la différence_2e^x_1 Or 2e^x  1 0 e^x 1/ 2 x ln(1/ 2) ln 2. De même _2e^x_{ 1 0}entraîne x ln 2. b. f( ln 2) e^{2ln 2}e^{ln 2} e^{ln(1/ 4)}e^{ln(1/ 2)}1/ 4 1/ 2  1/ 4.

c. On a donc le tableau de variations suivant : x  ln 2 

'( )

f x ^ 0 + ( )

f x

1/ 4

0 ^

2. ^{T y:  f '(0)(x 0) f(0) 1}

 

^{x  0 x}.soit ^{T y x: } 3. Voir plus bas.

Partie III

1. Sur ^{]  ; ln 2[}, ^{f x( ) 0} .

Sur ^{] ln 2; [}, la fonction f est croissante : elle s’annule donc pour une valeur unique 0, car f(0)e^{2 0} e⁰   1 1 0.

Conclusion : sur ^{] ;0[}, ^{f x( ) 0} et sur ^{]0;[ f x( ) 0} .

2. ₀^{ln 2} ₀^{ln 2}



²

 ^{ }

^{2 ln 2}₀

^{ }

^{2ln 2 ln 2}

ln 4

( ) 1/ 2 1/ 2 1 1

2

1 1 3 1

2 2

2 2 2 2

x x x x

I f x dx e e dx e e e e

I e

 

 

          

     

 

3. a. Voir plus bas.

b. On a vu que pour x0, ^{f x( ) 0} donc l’aire de la partie D est, en unité d’aire égale à l’intégrale I, soit 1

2 .

I  u a. Or l’unité d’aire est égale à u a.   3 3 9cm². Donc l’aire est égale à

9 ²

2cm A .

-ln2

-1/4 -1 ln2

-2

2

0 1

1

x y

PROBLÈME 4-11 points

Partie A : résolution d’une équation différentielle

1. On sait que les solutions de cette équation différentielle linéaire du premier ordre sont : y ke ^2x ; ^kR .

2. ( ) ^{1 1} '( ) ¹

2 4 2

u x  x u x  ; donc ^{'( ) 2 ( ) 1 2 1 1 1 1}

2 2 4 2 2

u x  u x    x    x x : ( )

u x est donc solution de

 

E1 .

3. ( ) ^{1 1 2}

2 4

x x ke x

    ^ , donc (0) ¹ 0 ^{1 0 3 1 3} 1

2 4 ke 4 k 4 4 k

           . ( ) ^{1 1 2}

2 4

x x e x

    ^ Partie B : étude d’une fonction

1. a. _x^lim_^{2x } et lim ^u 0

u e

  et comme lim_x x

  , donc lim ( )

x f x

  

b. On a _e^2x_e^2x _e^2x2x _e⁰ _1, donc ^{2 1 2 1 2 2 2 1 1 2} ( )

2 4 2 4

x x x x x x

e^  xe  e e^ e^  x e^  f x donc ^{( ) 2 1 2 1 2 1}

2 4

x x x

f x e^  xe  e  Or lim ^2x 0

x e

  , lim ^2x 0

x xe

  , donc ^{lim 1 2 1 2 1 1}

2 4

x x

x xe e



   

 

 

et comme lim ^2x

x e^

   on a finalement : lim ( )

x f x

  .

c. On a ^{( ) ( ) 1 1 2}

2 4

d x  f x  x e^ x et lim ^2x 0

u e^

  . Ceci montre que la droite D d’équation ^{1 1}

2 4

y x est asymptote à la courbe C en +∞.

2. Étude des variations de la fonction f a. '( ) ¹ 2 ²

2 f x   e^ x

b. ^{1 2 2 0 2 1 2 ln 1 ln 4 ln 2}

2 4 4

x x

e^ e^ x   x

           

  .

2 2

1 1 1

2 0 2 ln 2ln 2 ln 2

2 4 4

x x

e^ e^ x   x

             donc ^{f x'( ) 0} pour ^x^{ln 2}

2 2

1 1 1

2 0 2 ln 2ln 2 ln 2

2 4 4

x x

e^ e^ x   x

             donc ^{f x'( ) 0} pour ^{xln 2} On en déduit le tableau de variations suivant :

c. On a (0) ^{1 0 1} 1 ³

4 4 4

f   e     ^{'(0) 1 2 0 1 2 3}

2 2 2

f e 

     ; une équation de la

Tangente T à la courbe C en son point d’abscisse 0 est donc :^{y f'(0)(x 0) f(0)} : ^{3 3}

2 4

y x . d. On a ^{ln 2 0,69} , donc ln 2 1 . Sur l’intervalle [1 ; 2] la fonction f est donc croissante.

D’autre part ^{(1) 1 1 2 0,38 1}

2 4 2

f   e^   et ^{(2) 1 1 4 0,75 1}

4 2

f   e^   . Il existe donc un réel unique α de l’intervalle [1 ; 2] tel que ^{( ) 1}

f  2. La calculatrice donne ^{f(1,3) 0,47} et ^{f(1,4) 1,51} , donc ^{1,3  1,4}. De même f(1,37) 0, 499 et f(1,38) 1,503 , donc ^{1,37  1,38}. 3. Voir plus bas.

Partie C : Calcul d’une aire

1. On a vu que sur ^{]ln 2;[},^{f x( ) 0} , donc l’aire du domaine en unité d’aire est égale à



^{ln 2}

   

^{ln 2 2}



^{2 2 2 ln 2 2}

ln 2

( ) ( ) . . . . 1 .

2 2 2 8 2

x m m m

m m x e e e e

m f x y dx u a e dx u a u a u a u a

   

      





 



          A

2. On sait que _x^lim_^{e2m 0}, donc ^{lim ( ) 1} 8

x m

A  .

x  ln 2 ^

'( )

f x ^ 0 + ( )

f x

 ^



^{ln 2 / 2}



ln2 1/2ln2

D

A C

T

2

0 1

1

x y