BAC-BLANC-2010-STI-GO-STLPH-COMPLEXES-PROBABILITES-FONCTIONS EXPONENTIELLES

MATHEMATIQUES

Baccalauréat blanc - STL-Physique de laboratoire et de procédés industriels

Session 2009-2010

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.

Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables,

alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.

Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.

En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.

Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits.

( circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999 ).

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.

Coefficient : 4 Durée : 4 heures

- Ce sujet comporte 4 pages -

N.B : Le formulaire et le sujet sont à rendre avec la copie

E

XERCICE 1 - 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u vr r

(unité graphique : 1 cm).

Partie A

Soit ^{P z}

 

^{z34z2 3 24 z24 3} où z est une variable complexe.

1.

Vérifier que ^{P z}

 

^



^{z2 3}

 

^{z22z 3 12}



^.

2.

Résoudre dans l’ensemble _ des nombres complexes l’équation _z²_{2z 3 12 0 } .

3.

En déduire les solutions dans _ de l’équation ^{P z( ) 0} . Partie B

1.

Placer les points A, B et C d’affixes respectives z_A 2 3, z_B   3 3 i, z_C   3 3 i.

2.

a) Déterminer le module et un argument de zA, zB et zC. b) Donner l’écriture exponentielle de ^z_A,^z_B et ^z_C.

3.

^R est la rotation de centre O et d’angle 3

 . a) Donner l’écriture complexe de la rotation R .

b) Montrer que l’image du point A par R est le point B.

c) Calculer, sous forme algébrique, l’affixe du point D, image du point B parR .

4.

Soit (C ) le cercle de diamètre [CD].

a) Justifier que O est le centre de (C ).

b) Montrer que les points A et B appartiennent à (C ).

c) En déduire la nature des triangles CAD et CBD.

EXERCICE 2 - 5 points

Un établissement est composé de deux sas, notés 1 et 2, et de six salles de travail, notées A, B, C, D, E et F.

Les communications entre ces différentes salles se font par le moyen de 12 portes représentées par le schéma suivant :

B C A

E D

F

sas2

sas1

On remarquera que les salles B et E ne communiquent pas directement.

– Un robot, rangé dans le sas 1, est programmé pour nettoyer exactement trois salles différentes parmi les salles A, B, C, D, E et F.

– Le robot commence toujours son parcours par l’une des salles A, B ou C.

– Dès que le robot entre dans une salle, il la nettoie systématiquement.

– Il lui est impossible de franchir la même porte plus d’une fois ou de nettoyer deux fois la même salle.

– Une fois les trois salles nettoyées, le robot ressort :

 Soit par le sas 1,

 Soit par le sas 2. Dans ce cas, il retourne plus tard dans le sas 1 par un couloir non représenté sur le schéma.

On appelle « trajet » une suite ordonnée de 3 salles constituant un parcours possible pour le robot.

Exemples :

– ABC et BCD sont des trajets.

– CBA et ABC sont deux trajets différents.

– ABE n’est pas un trajet ( les salles B et E ne communiquent pas directement).

– DEF n’est pas un trajet ( le robot ne peut pas commencer par la salle D ).

1.

Déterminer les six trajets possibles (on pourra s’aider d’un arbre).

Dans toute la suite, on admet que les six trajets obtenus sont équiprobables.

2.

a) Calculer la probabilité p1de l’évènement « la salle E est la troisième salle nettoyée par le robot ».

b) Calculer la probabilité p2de l’évènement « le robot sort par le sas 2 ».

3.

Le tableau suivant donne le temps de nettoyage du robot dans chacune des salles en minutes :

Salles A B C D E F

Temps de nettoyage du robot 20 min 24 min 30 min 14 min 22 min 14 min

On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque trajet, associe le temps de nettoyage des 3 salles exprimé en minutes.

a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X . b) Déterminer la loi de probabilité deX .

c) Calculer l’espérance ^{E X}

 

de la variable aléatoire X . Que représente ce nombre ?

d) Calculer la probabilité^p₃ de l’évènement « le robot effectue le nettoyage des 3 salles en moins de 60minutes » ?

4.

On appelle ^{( )X} l’écart type de la variable aléatoire X.

a) Déterminer la valeur arrondie au centième de ^{( )X} . b) Le robot effectue un parcours par jour, 7 jours sur 7.

Soit n un entier naturel non nul.

On admet qu’il est acceptable d’utiliser le robot durant n jours d’affilée sans révision si le nombre : n E X ( ) 1,5  ( )X  n est inférieur à 500 heures.

Est-il acceptable de ne faire réviser le robot qu’une fois par an?

PROBLÈME - 10 points

Partie A

Soit la fonction f définie sur l’ensemble Rdes nombres réels par : ( ) ¹(2 ) 2

f x  x ex. Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ; , )O i jr r

(unité graphique : 2 cm ).

On noteC la courbe représentative de la fonction f dans ce repère.

1.

En observant que, pour tout nombre réel x, ^{( ) 1} 2

x x

f x e  x e , déterminer la limite de la fonction f en ^{ }. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2.

Déterminer la limite de la fonction f en ^.

3.

On note ^{f '} la fonction dérivée de la fonction f sur R . a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, ^{'( ) 1}



¹



2

f x  x ex. b) Étudier le signe de^{f x'( )} suivant les valeurs de x.

c) Calculer la valeur exacte de f (1). En donner une valeur approchée à 10^1 près.

d) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur R. Partie B

1.

On note T la tangente à la courbeC au point d’abscisse 2.

Montrer que la droite T a pour équation :

2

(2 ) 2

ye x .

2.

a) On considère la fonction g définie sur R par

2

(2 ) ( )

) 2

( g x e

x f x

 

 .

Vérifier que, pour tout nombre réel x , ^{g x( )1}₂^{(2x e)}



^2ex



b) Étudier le signe de ^{g x( )} ¸ suivant les valeurs de x.

c) En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite T .

3.

Tracer la droite T dans le repère ( ; , )O i jr r

puis, sur le même graphique, la partie de la courbeC correspondant aux valeurs de x appartenant à l’intervalle ^{[ 4 ;3]} .

Partie C

1.

Soit la fonction ^G définie sur R par

2 2

( ) 1( 3) 2

2 2 2

x e x

G x x e  x 

     

 .

On note G la dérivée de la fonction G sur R. Calculer ^{G x( )} , puis conclure .

2.

On note D le domaine plan limité par la courbeC , la droite T et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 2 .

a) Hachurer le domaine D sur le graphique représentant la droite T et la courbe C . b) Calculer la valeur exacte de l’aire A , exprimée en unités d’aire, du domaine D.

En donner la valeur arrondie au centième.

Correction du bac blanc de mathématiques –30 mars 2010

E

XERCICE 1

Partie A

1. 

^{z2 3}

 

^{z22z 3 12}



^{z32 3z212z2 3z212z24 3=z3}



^{2 3 2 3}



^{z224z24 3}

= _z³_4z² _{3 24 z24 3}= ^{P z( )}

2.

Résolution de l'équation z²2z 3 12 0  :

Calcul du discriminant : b²⁴ac

 

^{2 3 2}  4 1 12 12 48   36  < 0, l’équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :

₁ ^{2 3 36} 3 3

2

z  i    i . De même : z₂ z₁   3 3 i. S =



^{ 3 3 ; i  3 3 i}



3.

Résolution de l'équation ^{P z( ) 0} :



^{z2 3}

 

^{z22z 3 12}



^{  0 z 2 3 0 ou z22z 3 1 0  .}

Donc : ^{S  }



^{2 3 ; 3 3 ; i  3 3 i}



Partie B 1°.

2 3 4 5 6

-1 -2

-3

2 3

-1 -2 -3

1 1

O I J

M

A

B D

C

2.

a) Calcul des modules zA  ^{2 3} ^{2 3} ; ^{zB   3 3 i }

 

^{ 3 ² 3²  12 2 3 et}

zC  zB  zB ^{2 3}

Calcul des arguments : On note respectivement _A, _Bet _Cun des arguments de ^z_A, ^z_Bet ^z_C. z_A  2 3 2 3 e^i donc _A^argz_A  ^2k ;

zB   ^{3 3} i ^{2 3} ¹₂ i ₂^{3 }^{2 3 cos}  ²₃ i^sin ²₃ ^{2 3}e^{2 / 3i} , donc ^{arg 2 2}

B 3

z    k . comme z_C z_B , on a donc ^{arg arg 2 2}

C zC zB 3 k

        .

b) La forme exponentielle d'un nombre complexe z de module et d'argument  est :ze^i , donc : z_A2 3e^i ; z_B 2 3e²3ⁱ



 et z_C z_B 2 3e ²3ⁱ 2 3e⁴3ⁱ

 

    .

3.

a) Soit M un point du plan et M' son image par la rotation ^R de centre O et d'angle ^{/ 3}. On note z et z' les affixes respectives des points M et M '. On a : _{z'z e}^{i/ 3}

b) Soit A' l'image de A par la rotation R :

^{' 3 2 3 3 2 3 cos sin 2 3 1 3 3 3}

3 3 2 2

i i

A A

z z e e i i i

 

 

        

                = zB

Donc B est l'image de A par la rotation R.

c) Soit D l'image de B par R :

   

3 1 3

3 3 cos sin 3 3

3 3 2 2

i

D B

z z e i i i i

  

       

             

2

3 3 3 3 3 2 2 3 6

2 2 2 2 2 2 3 3

zD   i i i   i  i

4.

a) Soit I le milieu de [CD] : 3 3 3 3

2 2 0

C D

I

z z i i

z        

Donc O est le milieu du segment [CD] et donc le centre du cercle de rayon OC z_C 2 3. b) En utilisant les résultats de la question 2.a), on a :

OA z_A 2 3 ; OB z_B 2 3 ;

Donc A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2 3.

c) On a montré que les points A et B appartiennent au cercle de diamètre [CD], donc d'après la propriété du triangle rectangle et du cercle circonscrit, les triangles CAD et CBD sont rectangles en A et B.

EXERCICE 2

1.

Les six trajets possibles sont : ABC ; AFE ; BCD ; BAF ; CAB ; CDE

2.

a) Il y a deux trajets qui finissent en E , donc

1

2 1 6 3 p  

A

B

C

B C

E

C D

A F

B A

D E

F

b) Il y a 4 chemins finissant par le sas 2 , donc on a : ₂ 4 2

6 3

p   .

3.

a) X peut prendre les valeurs : 56 ; 58 ; 66 ; 68 ; 74 . b)

xi 56 58 66 68 74



i



p X x ¹ 6

1 6

1 6

1 6

2 6

c) ^{( ) 56 1 58 1 66 1 68 1 74 1 66min}

6 6 6 6 6

E X            .

cette espérance représente le temps moyen que mettra le robot pour nettoyer trois salles.

d) on a temps inférieur à 60 minutes dans deux cas sur 6 , soit 3 2 1 6 3 p   .

4.

a) ² (66 56)² (66 58)² (66 66)² (68 66)² 2(74 66)² 100 64 0 4 128 296 148 ( ) ( )

6 6 6 3

V x  X  ^{        }  ^{   }  

² 56² 58² 66² 68² 2 74^{2 2} 26432 26432 26136 296 148

( ) ( ) 66 4356

6 6 6 6 3

V x  X  ^{    }     ^  

Donc ^{( ) 7,02X}  .

b) En faisant travailler le robot 365 jours on a

n E X ( ) 1,5 ( )X  n 365 66 1,5 7,02    365 24291,28min . Soit environ 404,85 heures

PROBLÈME

Partie A

1.

^{f x( )1}₂^{(2x e) xex1}₂^{x ex}

On sait que _x^lim_^ex0et que lim 0 donc lim ¹ 0 2

x x

x xe x xe

    , par conséquent, par somme de limites _x^{lim ( ) 0}_^{f x } .On peut donc en déduire que la courbe C admet la droite d’équation y = 0 comme asymptote horizontale au voisinage de ^ .

2.

^{( ) 1(2 )}

2

f x   x ex. On a : ^{lim 1(2 ) lim 1}

2 2

x x x x

      et _x^lim_^{ex }

donc par produit de limites _x^{lim ( )}_^{f x  .}

3.

a) f est de la forme ¹ avec ( ) 2 et ( ) 2

uv u x  x v x ex ; '( )u x  1 et '( )v x e^x

^{'( ) 1 1 (2 ) 1}



^{1 2}



^{1(1 ) .}

2 2 2

x x x x

f x    e x e     x e  x e

b) Pour tout x réel e^x 0donc f’(x) est du signe de (1 –x) : 1   x 0 x 1 . Donc ^{f x'( ) 0} sur



^;1



, ^{f x'( ) 0} sur



^1;



et ^{f '(1) 0}

c) ^{(1) 1(2 1) 1 1,4}

2 2

f   e  e

d)

x 

¹

^

'( )

f x + 0 ^ ( )

f x ^f(1) 0 

Partie B

1.

Équation de la tangente : ^{y f'(2)}



^x2



^{ f(2)} ; ^{(2) 1(2 2) 2 0}

f 2  e  ; ^{'(2) 1(1 2) 2 1 2}

2 2

f   e   e

^{1 2( 2)}

y 2e x soit ²



^{2 .}



2 ye  x

2.

a)

2

( 2) ( ) ( ) e2

f

g x   x  x = ^{2( 2) 1}



²



^{2 2 1}

2 2 2 2

x x x

e e

x x e x e e xe

         .

On développe ¹₂^{( x 2)}



^e2ex



^{ e}₂^{2 x1}₂^{xexe2ex}.On trouve les mêmes expressions développées donc l’égalité est vérifiée .

b) Étude du signe de ¹₂^{( x 2)}



^e2ex



    x 2 0 x 2

_e²_e^x_{ 0 e}²_e^x _lne² _lne^x_{ 2 x.}

c) D’après le tableau ci-dessus ^{g x( ) 0} donc ²( 2) ( ) 2

e  x  f x pour tout x . Donc pour tout réel x la courbe C est au-dessous de la tangente T.

3.

Tracé ci-après Partie C

1.

2 2

( ) 1( 3) 2

2 2 2

x e x

G x x e  x 

     

 .

^{'( ) 1 1}



³



^{2 1}



^{1 3}



²

 

¹



²



²

 

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

x x e x x e x

G x e x e x e e e

x x x

    

 

   

            

     

'( ) ( ) ²( 2) ( )

G x f x e2 x g x

      . On peut conclure que G(x) est une primitive de g.

2.

a)Voir ci après le domaine D hachuré sur le graphique représentant la droite T et la courbe C . b) C est au-dessous de la tangente T donc ₀^{2 2( 2) ( ) . 4} ₀^{2 ( ) 4}



^{( )}



²₀

2 x f x dx u a g x dx G x

 e 

    





  



A



^{G x( )}



²₀^{G(2)G(0)1}₂^{(2 3) e21}₂^e2^44₂^^¹₂^{(0 3) e01}₂^^00₂^^^{ 1}₂^{e2e2 3}₂ ¹₂



^e23



Comme 1 .u a4cm²,donc on a : ^A4₂



^e23

 

^{ 2e26}



^{cm2. soit A20,78cm².}

x ^ 2 ^

2

 x + 0 ^

2 x

e e + 0 ^ ( )

g x + 0 +

( C )

T

D

A =20,78cm²

2 3 4

-1 -2

-3 -4

2 3 4 5 6 7

-1

-2

0 1

1

x y