Devoir maison 1ere STL -CH-2009-2010 AVEC CORRECTION

DM N°1 MATHEMATIQUES POLYNÖMES 1^ère STI- STL-CH 2009-2010 Exercice n°1

1. J’ai effectué un trajet de 300 kilomètres. Si j’étais allé 10 km/h plus vite, j’aurais mis une heure de moins.

a. Montrer, en appelant x la vitesse et y le temps de trajet, que ce problème peut s’écrire 300

10 10

xy

x y

   

 b. Déterminer la vitesse et le temps du trajet.

2. ABCD est un carré de côté a. On place un pointM sur le côté [AB], la parallèle à (AC) passant parM coupe [BC] en Net la parallèle à (BD) passant parM coupe [AD] enQ. On complète le rectangle MNPQ_.

a. Faire une figure.

b. On pose AM x. Exprimer à l’aide de x les longueurs MNet MQ(on pourra remarquer que les trianglesBMN etAMQsont rectangles isocèles).

c . Justifier que l’aire du rectangle MNPQ _vaut 2 (x a x ).

d . Est-il possible que l’aire de MNPQ soit la moitié de celle de ABCD ? Pour quelle position deM . e . On prend a6. Où faut-il placer M pour que l’aire de MNPQ soit un tiers de celle de ABCD ? 3. Deux résistances R1 _et R₂sont associées dans un circuit électrique .

a. Si elles sont placées en séries , on obtient une résistance équivalente Re R1R2

b. Si elles sont placées en parallèle, on obtient une résistance équivalente

1 2

1 1 1

re  R R Existe-t-il des résistancesR1 _et R₂pour lesquelles Re ²⁰ et re ^{4, 2}.

Exercice 2

Soit ^f la fonction définie sur R par f x( )x²4x1

1. Dresser le tableau de variation de la fonction ^f et tracer sa représentation graphique (notée P ).

2. Dans le même repère tracer les droites suivantes :1d’équation ^{y 2x} , 2 d’équation ^{y  2x 3}. 3. Dans chaque cas lire les coordonnées ou une valeur approchée des coordonnées du ou des

points éventuels d’intersection des droites avec P (s’aider si besoin de la calculatrice graphique ).

4. Résoudre par le calcul l’inéquation _{  2x 3 x}²_4x1, repasser en rouge sur votre graphique l’ensemble des solutions de cette inéquation.

Exercice 3 :

Soit la paraboleCd'équation f x( ) 2 x²bx3 et la droite d d'équation ^{y x 1}. a . Pour quelle(s) valeur(s) de b ,C et d ont-elles un seul point commun ?

b . Pour quelle(s) valeur(s) de b ,C et d n'ont-elles aucun point en commun ?

Exercice 1

1. On rappelle que la relation liant la vitesse, la distance et le temps est D =VT . Ici on connaît une distance de 300 kilomètres, appelons x la vitesse et y le temps. On a donc ^xy300. D’autre part, en allant à une vitesse x10 , on mettrait un temps ^y1, pour la même distance, soit



^x10

 

^{y 1}



³⁰⁰.

qui s’écrit ^{xy x 10y10 300} , et compte tenu de ^xy300, il reste ^{ x 10y10 0} .



^{xyx10300y10}

Résolvons-le par substitution :



^{(10xy10y10)10y300 }_^{10xy102y1010y300 0 }_^{xy2 10yy30 010}

L’équation ^{y² y 30 0} a pour discriminant  b²⁴ac ^{( 1)² 4 1}   



³⁰



 1 120 121 11²  ses solutions sont donc  ₁ ^{1 11 5 0}

2 2

y b

a

   

     .et ₂ ^{1 11 6}

2 2

y b

a

   

  

On trouve ensuite x¹⁰y10 10 6 10 50    et x¹⁰y10 10 ( 5) 10     60. Compte tenu de la nature du problème, seules les valeurs positives sont à prendre en compte.

On a roulé finalement 6 heures à 50 km/h

2. Les triangles BMN etAMQsont rectangles avec des angles de 45°, ils sont donc aussi isocèles, donc AM AQ x et BM BN  a x, et d’après le théorème de Pythagore,

2 2 2 2 2

MQ AM AQ  x , et MN²BM²BN²2(a x )² .

L’aire du rectangle MNPQ_{vaut donc MN MQ x  2 ( a x) 2 2 ( x a x )} L’aire de ABCD vaut a^2.

MNPQ est la moitié de ABCD si ^{2 ( ) 1 2}

x a x 2a , équation qui s’écrit 4 (x a x )a²

Soit _4ax4x² _a² ou encore _4x²_{4ax a} ²_0. Ici l’inconnue est x, le discriminant est donc

^{ b² 4 ac }



^4a



^{2  4 4 a20}. Elle a donc une solution double 1 2

4

2 2 4 2

b a a

x x

   a  

 Il faut placerM au milieu de [AB] pour que l’aire de MNPQ soit la moitié de celle de ABCD.

Posons maintenant a 6 . L’aire de MNPQ est donc de ^{2 (6x x)}, celle de ABCD de 36.

La condition que l’aire deMNPQsoit un tiers de celle de ABCD s’écrit ^{2 (6x x) 12} , qui devient _2x²_{12x12 0} , soit _x²_{6x12 0} . ^{ b² 4 ac }

 

^{6 2  4 6 12,}

on a donc deux solutions ₁ ^{6 2 3} 3 3

2 2

x b

a

   

    et ₃ ^{6 2 3} 3 3

2 2

x b

a

   

   

On doit donc placer M à une distance 3 3ou 3 3du point A pour que l’aire de MNPQ

soit un tiers de celle de ABCD. Pour être complet, il faut signaler que les deux nombres 3 3et3 3 sont compris entre 0 et 6, donc que les solutions trouvées répondent bien au problème posé.

3. Déterminons les équations satisfaites par R1 et R2.

R_e 20 R1R2 20 et ^{1 2} 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

4,2 20 4,2 84

4, 2 4, 2

e

R R

r R R

R R R R

           

 

1 2

1 1

20

20 84

R R

R R

 

  

 .Les nombres R et R1 2 sont solutions d’une équation du second degré en R1_définie

Par R₁²20R₁84 0 , avec  b^{² 4} ac

 

^{20 2} 4 84 400 336 64 8    ² Elle a deux solutions réelles ₁ 20 8

2 6

x    et ₂ 20 8 2 14

x    . On conclut : Pour Re ²⁰ et re ^{4, 2} lorsque R1 6 et R2 14.

Exercice 2

1. ^{f x( )x24x 1}



^x2



^23 donc le sommet de la parabole a pour coordonnées ^;



^{2; 3}



2 4

S b S

a a

   

 

 

1 0

a  , donc la fonction ^f admet minimum égal à 3 en x2. D’où le tableau de variation :

x  2 

Variation de ^f

3 2et3

C

D1 D₂

2 3 4

-1 2

-1

-2

-3

0 1

1

x y

S

4.   2x 3 x²4x 1 x²4x 1 2x  3 0 x²2x 2 0 ^{ b24ac}

 

^{2 2}      ^{4 1 2 4 8 12 0} et   12 2 3

₁ 2 2 3 2(1 3)

1 3

2 1 2

x      

 et ₁ 2 2 3 2(1 3)

1 3

2 1 2

x      

^x _ 1 3 1 3 

2 2 2

x  x + 0 ^ 0 + Exercice 3 :

Soit la paraboleC d'équationy2x²bx3 et la droitedd'équation ^{y x 1}. a ) Pour quelle(s) valeur(s) de b,C et d ont-elles un seul point commun ? Soit M x y( ; ) un point du plan.

M C d si, et seulement si ses coordonnées vérifient le système :

2 2 2

2 3

2 3 1 2 ( 1) 2 0

1 y x bx

x bx x x b x

y x

   

          

  



Résolution de ( E ) : b²4ac(b1)²16

C et d ont un seul point commun si, et seulement si  0, c'est à dire :

      

(b1)216 0  (b 1) 4 (b   1) 4 0 b5 b    3 0 b 5 0où b   3 0 b 5où b 3 b ) Pour quelle(s) valeur(s) deb,C et d n'ont-elles aucun point en commun ?

bet d n'ont aucun point en commun si, et seulement si  0, c'est à dire : ^{(b1)216 0 }



^{(b 1) 4 (}



^{b   1) 4}



⁰



^b5

 

^{b    3}



^{0 b ] 3;5[} .