DS-9-1ere STLCH-2009-2010-AVEC CORRECTION

(1)

CONTRÔLE DE PROBABILITÉ 1^ère -STL –CH 2009-2010 Exercice 1 : 4 points

Un magasin d’articles de jardin fait une promotion sur des tulipes et des jacinthes. Chacune de ces fleurs est de couleur blanche, rouge ou jaune. Il met en vente 500 fleurs :

25 % sont des jacinthes ; 30 % sont des fleurs blanches ;

il y a 250 fleurs rouges, parmi elles 20 % sont des jacinthes ; Le quart des fleurs jaunes sont des tulipes.

1. Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau ci-contre :

Dans les questions 2 et 3, les résultats seront donnés sous forme de fractions puis sous forme décimale à 10^–2 près.

2. On prend une fleur au hasard parmi les 500.

Calculer les probabilités des événements suivants :

A : « On a une fleur rouge ». B : « On a une tulipe ». C : « La fleur est rouge ou est une tulipe ».

Vérifier que la probabilité de l’événement D : « La fleur n’est pas une jacinthe jaune » est 0,85.

3. On prend au hasard une tulipe. Quelle est la probabilité de l’événement : « C’est une tulipe rouge ».

Exercice 2 : 4 points

Un horloger-bijoutier possède 100 montres dans son magasin. .

Les montres sont de deux types : des montres de type A (à affichage analogique) et des montres de type N (à affichage numérique).

Certaines de ces montres ont un bracelet métal et les autres un bracelet plastique.

On compte 45 montres de type A, 75 montres avec un bracelet plastique dont 40 sont de type N.

1) Recopier et compléter le tableau de répartition des montres du magasin : 2) Un client choisit au hasard une montre dans le magasin.

a) Calculer la probabilité pour que le client choisisse une montre de type A.

b) Calculer la probabilité pour que le client choisisse une montre avec un bracelet métal.

c) Calculer la probabilité pour que le client choisisse une montre de type A avec un bracelet métal.

d) Calculer la probabilité pour que le client choisisse une montre de type A ou une montre avec un bracelet métal.

3) Un client choisit au hasard une montre parmi celles qui ont un bracelet métal.

Calculer la probabilité pour que le client achète une montre de type A.

Le personnel d'un hôpital est réparti en trois catégories : Les médecins , le personnel soignant , le personnel administratif et technique .Parmi les 350 membres du personnel de cet hôpital , 70 sont des hommes . Parmi les hommes 28 sont des médecins . De plus il y a deux fois moins de femmes médecins que d'hommes médecins .

1 / Dans le tableau suivant des informations sont déjà placées . a / Compléter ce tableau en justifiant vos réponses .

b / Est-il vrai que l'ensemble des médecins

représente 12 % de l'ensemble du personnel de cet hôpital ? justifier votre réponse .

c / Parmi les 250 soignants , quel est le pourcentage de femmes ?

2 °/ Dans cette question les résultats seront donnés avec deux décimales .

On choisit , au hasard , une personne parmi les 350 membres du personnel .

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a / A = " Il s'agit d'un soignant ";

b / B = " Il s'agit d'une femme médecin " ;

c / C = " Il s'agit d'une femme ou d'un médecin " .

Couleur

Fleur Blanche Rouge Jaune Total

Tulipes Jacinthes

Total 500

Montres avec bracelet métal

Montres avec bracelet plastique

Total Montres de type A

Montres de type N

Total 100

Nombre d'hommes

Nombre de femmes

Total Médecins

Personnel

soignant 250

Personnel administratif et technique

Total 350

(2)

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal ( ; ; )O u v 

d'unité graphique 1 cm.

On note : i le nombre complexe de module 1 et d'argument 2

 ; z₁le nombre complexe z₁  1 i 3.

1. On pose z2  i z1, montrer quez₂  3i

2.a. Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes z₁ et z₂. b. Placer dans le plan P le point M₁_d'affixez₁ et le point M₂_d'affixez₂ _.

3. Soient A, B et C les points du plan d'affixes respectives z_A_;z_B_etz_C telles que : z_A   2 2 3i . z_B  2 2 3i et z_C 8

3.a. Montrer que z_A 2z1et quez_B  z_A

En déduire le module et un argument de chacun des nombres complexesz_A_etz_B

b. Placer les points A,B et C dans le plan P.

c. Calculer les affixes des vecteurs définies par : z^_AB_;z_BC^_etz^_AC_. d. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

e. Calculer l'affixe du point D de sorte que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 1

(3)

1) Complétons le tableau :

Couleur

Fleur Blanche Rouge Jaune Total

Tulipes 150 200 25 (d) 375

Jacinthes 0 50 (c) 75 125 (a)

Total 150 (b) 250 100 500

Nombre de jacinthes : 500  25 % = 125 (a). Nombre de fleurs blanches : 500  30 % = 150 (b).

Nombre de jacinthes rouges : 250  20 % = 50 (c).Nombre de tulipes jaunes :

100  25 % = 100/4 = 25 (d). Les autres réponses sont obtenues par simple addition ou soustraction à partir des cases déjà remplies du tableau.

2) Comme les fleurs sont choisies au hasard, on est dans une situation d’équiprobabilité.

a) Comme il y a 250 fleurs rouges sur un total de 500 fleurs,

 

²⁵⁰ ^0,5

p A 500 . Comme il y a 375 tulipes sur un total de 500 fleurs,

 

³⁷⁵ ^0,75

p B 500 . C = A È B. Donc p(C) = p(A È B) = p(A) + p(B) – P(A Ç B).

Or A Ç B correspond à l’événement « la fleur est une tulipe rouge » dont la probabilité est ²⁰⁰ ^0,4 p500 (200 tulipes rouges sur 500 fleurs en tout).

En appliquant la formule précédente, il vient : p(C) = 0,5 + 0,75 – 0,4 = 0,85.

b) Il est clair que _D est l’événement « la fleur est une jacinthe jaune » de probabilité ^{p D}

 

^₅₀₀⁷⁵ ^^0,15

(75 jacinthes jaunes sur 500 fleurs en tout). Par suite,p D

 

 ¹ p D

 

 1 0,15 0,85 .

3) Comme on choisit au hasard une tulipe, le nombre de cas possibles n’est plus de 500 mais de 375 (c’est le nombre de tulipes).

Les cas favorables correspondent aux tulipes rouges : il y en a 200. La probabilité cherchée vaut donc ²⁰⁰ ⁸ ^0,53

375 15

p   en arrondissant à 10^-2 près.

Exercice 2

1) Le tableau se complète ainsi :

Montres avec bracelet métal

Montres avec bracelet plastique

Total

Montres de type A 10 35 45

Montres de type N 15 40 55

Total 25 75 100

2) Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.

a) Comme il y a 45 montres de type A sur un total de 100, la probabilité est ⁴⁵ ^0,45

100 .

b) Comme il y a 25 montres de type A sur un total de 100, la probabilité est ²⁵ ^0,25

100 .

c) Comme il y a 10 montres de type A avec un bracelet métal sur un total de100, la probabilité vaut ¹⁰ ^0,1 100 . d) C’est la probabilité d’une réunion.

Soit les événements suivants : A : la montre est de type A . M : la montre est avec un bracelet métal.

On demande, à cause du ou, p(A È M) qui vaut : p(A) + p(M) – p(A Ç M) = 100 100 100 100⁴⁵  ²⁵  ¹⁰  ⁵⁵

3) Attention, il n’y a plus que 25 cas possibles (correspondant aux montres avec bracelet métal).

La probabilité vaut alors ¹⁰ ^{0, 4} 25 . Exercice 3

a) Pour compléter le tableau donné , analysons les informations fournies par l’énoncé et dans le tableau.

 Sur 350 membres du personnel , il y a 70 hommes : il y a donc 280 femmes .

Comme il y a deux fois moins de femmes médecins que d’hommes médecins , on peut dire qu’il y a 14

(4)

femmes médecins .

Le nombre total de femmes dans le personnel est 280 ; il y a 14 femmes médecins et 230 femmes en personnel soignant, il y a donc 280-230-14 =26 femmes en personnel administratif et technique.

Le personnel soignant comprend 250 personnes , dont 230 femmes : il y a donc 20 hommes .

Sur un total de 70 hommes , il y a 28 médecins et 20 membres du personnel soignant : il y a donc 70-28-20 ; soit 22 hommes dans le personnel administratif .

On peut alors compléter le tableau.

b) il y a 42 médecins dans cet hôpital sur un total de 350 personnes . Le pourcentage de médecins est : ⁴² ^{100 12%}

350  .

L’ensemble des médecins représente

donc bien 12 % de l’ensemble de personnel de l’hôpital.

c) Il y a 280 femmes parmi les 350 membres du personnel , ce qui représente un pourcentage égal à : ²⁸⁰ ^{100 80}

350  , le pourcentage de femmes est ainsi de 80 %.

2. L’univers des possibles , noté est l’ensemble du personnel de l’hôpital ;  comporte 350 éléments . On choisit au hasard une personne dans le personnel , donc on peut supposer que les événements élémentaires sont équiprobables.

Pour tout événement A , on pourra appliquer la formule donnant la probabilité de A :

^Probabilité de A : A = " Il s'agit d'un soignant ".A comprend 250 éléments , car il ya 250 personnes qui font partie du personnel soignant . d’où la probabilité de A : ^{( )} ²⁵⁰ ⁵ ^0,71

350 7 P A   

 Probabilité de B .B = " Il s'agit d'une femme médecin ". B comprend 14 éléments, car il ya 14 femmes médecins , d’où la probabilité de B ^{( )} ¹⁴ ¹ ^0,04

350 25

P B    .

Probabilité de C . C = " Il s'agit d'une femme ou d'un médecin " .

Soit C1l’événement « il s’agit d’une femme » . Soit C2l’événement : « il s’agit d ‘un médecin ».

C1comprend 280 éléments , d’où la probabilité de l’événement C1 : 1

280 4

( ) 0,8

350 5 P C    C2comprend 42 éléments , d’où la probabilité de l’événement C2 : ⁽ ₂⁾ ⁴² ³ ^0,12

350 25

P C   

Or C C 1ÈC2, car C est l’événement : " Il s'agit d'une femme ou d'un médecin ".

On a aussi : B C 1ÇC2, car B est l’événement : " Il s'agit d'une femme et c’est un médecin ".

On applique la formule : P C( )P C( 1ÈC2)P C( )1 P C( 2)P C( 1ÇC2) Soit P C( ) 0,8 0,12 0,04 0,88    .

Exercice 2

1.^z²^^iz¹^{  }ⁱ



¹ ³ⁱ



^{  }ⁱ ³

2.a)Calcul du module et d'un argument de z₁, z₂. On sait que si z a bi  alors z  a²b² .Donc

 

²

 

²

1 3 1 3 1 3 4 2

zA    i         ,comme z₂ iz₁, donc z₂  iz₁  i z₁   1 2 2

de plus, l'argument  d'un nombre complexe z a bi  est défini par

2 2

cos

sin

a a b

b a b



 

 



 

 

 Donc, si on note , et les arguments des complexes z₁et z₂ alors on a :

L’argument ₁est défini par

1

cos 1 2 sin 3

A 2



 



 



donc ₁ 4 3 2k

    et ₁ 4

2; 3 z  

  . Nombre d'hommes

Nombre de femmes

Total

Médecins 28 14 42

Personnel soignant 20 230 250

Personnel administratif et technique

22 36 58

Total 70 280 350

(5)

L’argument ₂est défini par

2

cos 3 2 sin 1

2



  



  



donc ₂ 2

6 k

     et ₂ 2;

z  6

3.a ^z¹^{  }



¹ ³ⁱ



^{, donc}²^z¹^^{2 1}



^{ } ³ⁱ



^{  }^{2 2 3}^{i z}^ Âêt^^zÂ^{   }



^{2 2 3}ⁱ



^{ }^{2 2 3}^{i z}^ ^B

c. z^ABz^Bz^A  ^{2 2 3}i   



^{2 2 3}i



 ^{4 4 3}i Donc on a : ^^AB



^{4; 4 3}^



z^BCz^C z^B  ⁸



^{2 2 3} i



 ^{6 2 3}i Donc on a : ^BC^



^{6;2 3}



zAC zCzA   ⁸



^{2 2 3}i



^{10 2 3} i . Donc on a : ^^AC



^{10; 2 3}^



Deux méthodes envisageables :

1. produit scalaire : 4 6 ( 4 3 2 3) 24 24 0

AB AC AB AC

AB AC x x   y y         

 

 ce qui montre

Que le triangle ABC est rectangle en B .

2. Réciproque du triangle Pythagore : ^AB^ ⁴²^{ }



^{4 3}



² ^ ^{16 48}^ ^ ^{64 8}^ ^cm^;

 

²

62 2 3 36 12 48 4 3

BC      cm. ^AC^ ¹⁰²^

 

^{2 3} ² ^ ^{100 12}^ ^ ^{112 4 7}^ ^cm^.

On constate que AB²BC² 64 48 112   et AC² 112 , d’après la réciproque du théorème de Pythagore Le triangle ABC est rectangle en B.

M₁

M₂ A

C

B

D

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

0 1

1

x y