DSN°6-1°STL-CH -ETUDE DES FONCTIONS-2009-2010AVEC CORRECTION

(1)

DS N° 6 MATHEMATIQUES FONCTIONS 1°STL-CH 2009 / 2010

Exercice n°1 :

Dans le graphique ci-dessous la courbe (C) représente, dans un repère orthogonal (O ;i,^^j ) une fonction f définie sur l'intervalle ^{[ 3;2,5]}^ . 1°.

a. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de^f⁽¹⁾ et de ^f^{( 1)}^ b. On suppose que f possède sur l'intervalle ^{[ 3;2,5]}^ une fonction dérivée que l'on désigne par f '.

Déterminer la valeur de ^f ^'(1) , ^f ^{'( 1)}^ , ^f ^'(0)et ^f ^'(2)

c. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

2 ° .On admet que, pour tout x de l'intervalle ^{[ 3;2,5]}^ , on a : f x( )a x³c x d où a, c et d sont des nombres réels.

a. Déterminer l'expression de ^{f x}^{'( )}en fonction de a, c et x.

b. En utilisant les résultats du l), déterminer les valeurs de a, c et d.

3°. On suppose que f x( ) x³3x7. Résoudre dans l'intervalle ^{[ 3;2 ]}^ , l'équation f(x) = 7.

4°.

a. Vérifier que  x³ 3x   2 (x 1) (² x2)

b. Résoudre dans l'intervalle ^{[ 3;2]}^ , l'équation f(x)= 5. En déduire les coordonnées des points d’intersection de la courbe (C) avec la droite d’équation : ^y^{ }⁵.

5°. Déterminer l’équation de (T0 ) tangente au point d’abscisse 0 de la courbeC.

C T₂

T₀

2 3

-1 -2

-3

4 6 8

-2 -4 -6 -8 -10 -12

0 1

2

x y

(2)

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur ^R^\

 

^¹ ^{par :} ( ) ² ⁴ ⁷ 1

x x

f x x

 

  et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( ; ; )O i j 

.

1. Calculer ^f⁽⁰⁾. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbeCf avec l'axe des ordonnées.

2. Déterminer les réels a, b et c tels que : ( )

1 f x ax b c

  x

 , pour tout ^x^^R^\

 

^¹

3. On considère la droite Dd'équation ^y^{ }^x ³.

Etudier la position relative de la courbeCf par rapport à la droite (D).

4. Déterminer les coordonnées des points A et B intersections deCf avec la droite d’équation ^y^³. A étant des deux points celui dont l’abscisse est la plus petite.

5. Calculer la dérivée ^f^'de ^f puis étudier son signe. En déduire le tableau de variation de ^f .

6. Déterminer les équations des droites (TA ) et (TB) tangentes respectives aux points A et B de la courbeCf . 7. Construire dans un même repère orthonormal ( ; ; )O i j 

d’unité graphique 2cm les droites (TA ) et (TB), la droite ( D) et la courbeCf dans l’intervalle ^]1;^^[.

Exercice 1

a) f (1) = 9 et f (1) = 5 .

b) la fonction f admet un maximum pour x = 1 et un minimum pour x = 1 donc ^f ^{'( 1)}^{ } ^f ^{'(1) 0}^ . D’après le graphique la fonction f est croissante sur l’intervalle



^^1;1



, donc pour tout réel^x^{ }



^1;1



^{f x}^{'( ) 0}^ , comme ⁰^{ }



^1;1



donc ^f ^{'(0) 0}^ .

2°) ( ) 3

f x a x c x d ; f x'( ) 3 a x²c ;

on a par lecture graphique ^f⁽⁰⁾^{ }⁷ et ^f ^{'( 1)}^{ } ^f ^{'(1) 0}^ (0) 7

f   d , donc d  7 ; de

( 1) 7 9

f       a c on obtient    a c 2 ou a c 2. De ^f⁽¹⁾^{    }^{a c} ⁷ ⁵ on obtient a c 2 de même ^f ^{'(1) 3}^ ^{a c}^{ }⁰

D’où le système suivant à résoudre 2

3 0

a c a c

  

  

 2

2 2

a c a

  

  

 x ^ -1 1 

'( )

f x  + 

( ) f x

 5

9 ^

2 -1

-2 -3

4 6 8 10 12 14

-2 -4 -6 -8

0 1

2

-7 11

-5

-9

1 1,73

-1,73

(3)

et on obtient a 1et c3 et enfin : f x( ) x³3x7.

3° ) Par lecture graphique la courbe ( C ) coupe la droite d ‘équation ^y^{ }⁷ en trois points Donc l’équation ^{f x}^{( )}^{ }⁷admet trois solutions :



1,73 ; 0 ;1,73



.

Par lecture graphique la courbe ( C ) coupe la droite d ‘équation ^y^{ }⁵ en deux points Donc l’équation ^{f x}^{( )}^{ }⁵admet deux solutions :



^^{2 ;1}



Exercice 2

2) (2 4)( 1) ( ² 4 7) 1 2 ² 2 4 4 ² 4 7 ² 2 3

'( ) ( 1)² ( 1)² ( 1)²

x x x x x x x x x x x

f x x x x

             

  

  

f’(x) est du signe de x²2x3car (x1)² 0 sur ^]1;^^[.Calculons les racines du polynôme

2 2 3

x  x

₁ 2 4 2 ₂ 2 4

( 2)² 4 1 ( 3) 4 12 16 0 ;donc 2 racines réelles : 1 3

2 2 2

x   et x 

                

Ce polynôme admet deux racines réelles –1 et 3 doncx²2x3est positif à l’extérieur de ces racines –1 et 3. on en déduit le signe de f’(x) puis les variations de f.

f admet un minimum en 3 qui est : ⁽³⁾ ^{3² 4 3 7} ^{9 12 7} ⁴ ²

3 1 2 2

f         



3) déterminons les équations réduites des tangentes (TA) et (TB) aux points d’abscisses 2 et 5 de la courbe : coefficient directeur de la tangente au point A : ^f^'⁽²⁾^ ²^²^₍₂²_^₁²_)²^³^ ⁴^₁⁴^³^^³

Equation de la tangente au point A : ^y^ ^f ^'(2)(^x^{ }²⁾ ^f⁽²⁾. y = 3(x  ) + 3. (TA) : y 3x + 9 coefficient directeur de la tangente au point B : ^f^'(5)^^{5² 2 5 3}^{  }_{(5 1)²}_ ^^{25 10 3 12}^₁₆ ^ ^₁₆^ ³₄ .

Equation de la tangente au point B : ^y^ ^f^'(5)(^x^{ }⁵⁾ ^f⁽⁵⁾.

3 3 15 12 3 3

( 5) 3 ( ) :

4 4 4 4 ^B 4 4

y x  y x  T y x

4 ( 3)( 1) 4 ² 3 3 4 ² 4 7 4

4) 3 ( ) donc 3

1 ( 1) 1 1 1 1

x x x x x x x

x f x f(x) x

x x x x x x

       

         

     

5°)Position de la courbe Cf par rapport à l’asymptote (D’) :

x 1 < 0 si et seulement si x < 1 ; x 1 > 0 si et seulement si x > 1

 

( ) ( 3) 4 0 sur ;1

f x x 1

   x   

 , Cf est strictement au dessous de la droite (D) d’équation y = x3 et ^{( ) (} ³⁾ ⁴ ^{0 sur 1}

 

f x x 1 ;

   x  

 , Cf est strictement au dessus de la droite (D)d’équation y = x3

x  1 1 3 

'( )

f x + 0   0 + ( )

f x 6

 

 

2

(4)

6) Construction de la courbe Cf et des droites (D), (TA), (TB).

7°) Etude de fonction

1 2

² 4 7

( ) 1

² 4 7

3 ² 4 7 3 3

1

² 7 10 0

49 4 1 10 9 0 donc 2 racines réelles :

7 3 7 3

2 5

2 2

x x

f x x

x x

x x x

x

x x

x et x

 

 

       



  

      

 

   

La droite d’équation y =3 coupe la courbe représentativede f en deux points d’abscisses 2 et 5. A(2 ; 3) et B(5 ;3) sont donc les deux points recherchés.

2 3 4 5 6 7 8

2 3 4 5

0 1

1

x y

A TA

TB

B



C