DS-N°5-1°STL-CH-2009-2010

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DS N° …… MATHEMATIQUES SUITES 1°STL-CH 2009 / 2010

Exercice n°1.

(un) est une suite arithmétique de raison ^r.

1) On sait que u02 et u210.Calculer r et u1, u5 2) On sait que u515 etu10 10.Calculer r et ^u₀, u1

3) Sachant queu20 52 etu51 145, calculer ^r etun

Exercice n°2.

(vn) est une suite géométrique de raison b.

1) On sait que v11/ 25 et ^b⁵. Calculer v0,v5, v20. 2) On sait que v01 et v11/ 3. Calculer b , v2 et v5 3) On sait que v03 et v212. Calculer b , v1 et v5

4) Indiquer si les suites suivantes sont arithmétiques ? géométriques ? Préciser le premier terme et la raison.

* 1 ; 5 ; 9 ; 14

* 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162

* 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 Exercice n°3

Albert place un capital initial C0 = 3000 € à un taux annuel de 6%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts composés).

On note Cn le capital d’Albert au bout de n années, capital exprimé en euros.

1) Montrer que, pour tout entier n , C_n_1C_n180. Qu’en déduit-on?

2) Pour tout entier n, exprimer Cn en fonction de n.

3) De quel capital Albert dispose-t-il au bout de 10 ans ? 4) Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé?

5) Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il 10000 € ? Exercice n° 4

Durant l'année 2004, le nombre de familles qui ont loué un emplacement au "camping de la plage" est 500.

Le directeur prévoit pour l'avenir une augmentation annuelle de 5%.

On désigne par :

u0 le nombre de familles reçues au camping en 2004 (^u₀ ^⁵⁰⁰ ), u1 le nombre de familles reçues au camping en 2005,

u2 le nombre de familles reçues au camping en 2006,

………

un le nombre de familles reçues au camping en 2004 + n.

1. Calculer u₁ et u₂.

2. Exprimer û_n₁ en fonction de û_n. Quelle est la nature de la suite (û_n) ? Préciser sa raison.

3. En supposant que la tendance se poursuive, combien de familles le directeur peut-il espérer pour l'année2011 ?

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Exercice 1

1) Puisque u2 u0 2 r, on en déduit que 1 2 0 10 2 8

( ) 4

2 2 2

r u u 

     , et ainsi pour tout entier n , û_n ^û₀^^nr^{ }^{2 4}ⁿ ce qui nous permet de calculer u₁  2 4 6 et û₅ ^û₀^^nr^{   }^{2 4 5 22} 2) Puisqueu₁₀ u₅ 5 r, on en déduit que 1 10 5 10 15 5

( ) 1

5 5 5

r u u  

      , et ainsi pour

tout entier n , u_n u5   (n 5) r 15 ( 1)(  n 5) 15    n 5 n 20 ce qui nous permet de calculer u0 20 etu₁19 .

3) Puisque^u₅₁^^u₂₀^^{(51 20)}^ ^^r, on en déduit que 1 ( 51 20) 145 52 93 3

31 31 31

r u u      , et ainsi pour tout

entier n , u_n u20 (n 20)    r 52 ( 3)(n20)  52 3n60  3n 8. Exercice 2

1) Puisque v1v0b, on déduit 0 ¹ 1/ 25 1 5 125 v v

 b   , et à partir de la formule v_n v₀bⁿ on a :

1 5 125

n n

v   ,

on déduit ₅ ⁵⁵ 5² 25

v 125  , ₇ ⁵⁷ 625

v 125 et ₂₀ ⁵²⁰ ⁵²⁰₃ 5¹⁷ 125 5

v   

2) Puisque v₁v₀b, on déduit ¹

0

1/ 3 1

1 3

r v

v   , et à partir de la formule ₀ ¹

3

n n

vn v b      , on déduit successivement ₂ ¹ ² ¹

3 9

v    

  et ₅ ¹ ⁵ ¹

3 243

v      3) Puisque ^v₁^^v₀^^b, on déduit ² ²

0

12 4 3 b v

v   , ce qui nous fournit deux solutions : b = 2 ou b = 2.

Sib2, à partir de la formule v_n v₀bⁿ  3 2ⁿ, on déduit successivement v₁6 et v₅ 96 . Si b 2, à partir de la formule^v_n ^v₀ ^bⁿ  ³

 

² ⁿ, on déduit successivementv₁ 6 et v5  96 Exercice n°3

1) Le montant des intérêts qui s’ajoutent au capital d’une année Cn est égal à 3% de 3000 €, c’est-à-dire à3000 ⁶ 180

100 . Ainsi C_n_1C_n180. La suite Cn est donc une suite arithmétique de raison 180 et de premier terme C0180€

2) Pour tout n , C_n_1C0nr C 0180n

3) Au bout de 10 ans, Albert disposera deC10 C010r3000 180 10 4800€   4) On résout ^C_n^²^C₀^^{3000 180}^ ⁿ^⁶⁰⁰⁰^{ }ⁿ ^3000/180 . Comme n ,n17. Le capital d’Albert aura donc doublé au bout de 17 ans

5) On résout ¹⁰⁰⁰⁰ ^{3000 180} ¹⁰⁰⁰⁰ ⁷⁰⁰⁰

n 180

C    n  n . Comme n , n39.

Le capital d’Albert aura donc atteint 10000 € au bout de 39 ans.

Exercice 4

1. Nombre de familles reçues au camping en 2005 : v₁500 500 0,05 1,05 500 1,05     v₀525 Nombre de familles reçues au camping en 2006 :

2 5 1 2

525 525 1,05 525 1,05 (1,05) 500 551

v   100   v  

2. ₁ ⁵ ^1,05

n n n 100 n

v _ v v   v (vn) est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme v0500. Donc : v_n1,05v_nv0bⁿ500 1,05

 

ⁿ.

3. Pour l'année 2011 : 2 011 = 2 004 + 7 .Donc : v71,05v7v0b⁷500 1,05

 

⁷703 Si la tendance se poursuit, le directeur peut espérer accueillir 703 familles dans son camping.

(3)

I. Sonia décide de commencer une collection de BD. En 2009 elle en achète 8 puis tous les ans elle en achète 2 de plus que l’année précédente. On note u1le nombre de BD achetées la première année donc en 2009, puis u2,u3.. le nombre de BD achetées les années suivantes.

1) Combien de BD va-t-elle acheter en 2010 ? en 2011 ? 2) Ecrire une relation entre un et un_1.

En déduire la nature de la suite

 

un puis exprimer un en fonction de n. 3) Combien Sonia achètera-t-elle de BD en 2020 ?

4) Combien en possédera-t-elle à la fin de 2020 ?