DS N° 7 MATHEMATIQUES 1ère STL-CH 2009-2010
1
Exercice 1 :
Soit f la fonction définie sur [ 2; 2] par : f x( ) 2 x36x2. 1. Calculer f x'( )et vérifier que f x'( ) 6( x1)(x1).
2. En déduire le signe de f x'( )sur l’intervalle [ 2; 2] . 3. Dresser le tableau de variations de f .
4. Construire la courbe Cf pour x [ 2 ; 2].
5. à l’aide du calcul , donner un encadrement d’amplitude 0,01 de chacune des solutions de L’équation f x( ) 0 sur l’intervalle[ 2 ; 1] , sur l’intervalle[ 1;0] et sur l’intervalle[1;2]
( on notera , et les solutions à déterminer. En déduire le signe de f x( ).
6. a. Donner l’équation de la tangente ( )T à la courbe Cf au point A d’abscisse x0 0. b. Etudier les positions relatives de la courbeCf par rapport à la tangente( )T .
Exercice 2
Le plan est rapporté à un repère orthogonal ( ; ; )O i j
d’unité 1 cm sur l’axe des abscisses et 0, 5 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie A : Étude d’une fonction polynôme de degré 2
On noteCgla courbe représentative de la fonctiongdéfinie sur [−3, 4] par ( ) 3 2 1 g x 2x 1. Déterminer g', la fonction dérivée de g. Établir le tableau de variation degsur [−3; 4].
2. Déterminer une équation de T, la tangente à la courbe Cg au point d’abscisse −1.
3. Tracer la tangente T puis la courbeCgdans le repère ( ; ; )O i j Partie B : Étude d’une fonction polynôme de degré 3
On considère Cf , la courbe représentative de la fonction f définie sur [−3, 4] par 3 3 2
( ) 6 1
f x x 2x x 1. (a) Déterminer la fonction dérivée f '.
(b) Étudier le signe de f x'( ). En déduire le tableau de variation def sur [−3, 4].
(c) Combien l’équation f x( ) 0 admet-elle de(s) solution(s) sur [−3, 4] (Justifier).
On note la plus grande de ces solutions. Déterminer un encadrement de d’amplitude 102 . 2. Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d’intersection des courbes Cf et Cg.
3. Tracer la courbe Cf dans le repère orthogonal ( ; ; )O i j .
Exercice 3
Soit la fonction f définie sur R par f x( ) cos( ) cos ( ) x 2 x . On noteC sa courbe représentative 1. Démontrer que la fonction f est paire et périodique de période T 2
2. Calculer la fonction dérivée f' et l’écrire sous forme factorisée.
3. Résoudre dans[0; ] l’équation sin ( 2 cosx x 1) 0. Que peut-on dire du signe de sinx sur l’intervalle [0; ] ?
4. Résoudre en s’aidant du cercle trigonométrique , l’inéquation 2cosx 1 0.
En déduire le signe def x'( )sur l’intervalle [0; ] , puis établir le tableau de variation def sur [0; ] 5. Dans un repère orthonormal
O i j; ;
d’unité 2 cm , placer les points qui apparaissent dans le tableau de variation . Établir un tableau de valeurs sur [0; ] , puis sur l’intervalle [ 2 ;2 ] .Tracer la courbeC sur l’intervalle [ 2 ;2 ] . Exercice 1
Soit f la fonction définie sur [ 3;3] par : f x( ) 2 x36x2. 1. Calculer f x'( ) : f x'( ) 6 x2 6 6(x1)(x1)
2.et 3. En déduire le signe de f x'( )sur l’intervalle [ 3;3] . 4. Construire la courbe Cf pour x [ 2,1; 2, 2].
C
T
2 -1
-2
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x y
5. à l’aide du calcul , donner un encadrement d’amplitude 0,01 de chacune des solutions de L’équation f x( ) 0 sur l’intervalle[ 2 ; 1] , sur l’intervalle[ 1;0] et sur l’intervalle[1;2]
( on notera , et les solutions à déterminer. En déduire le signe de f x( ).
Sur l’intervalle [ 2 ; 1] la fonction f est continue, strictement croissante avec f( 2) 6 0 et f( 1) 2 0 , 0 [ ( 2); ( 1)] f f , donc d’après le théorème de valeurs intermédiaires l’équation f x( ) 0 admet donc une unique solution sur l’intervalle [ 2 ; 1] telle que f( ) 0 .à l’aide de la calculatrice on trouve f( 1,54) 0,0645 0 et f( 1,53) 0,1685 0 .donc 1,54 1,53 f est strictement décroissante sur l’intervalle [ 1;0] avec f( 1) 2 0 et f(0) 2 0. L’équation f x( ) 0 admet donc une unique solution sur l’intervalle [ 1;0] . 0 [ (0); ( 1)] f f f x( ) 0 admet donc une unique solution sur l’intervalle [ 1;0] telle que f( ) 0 . à l’aide de la calculatrice on trouve f( 0,35) 0,01425 0 et f( 0,34) 0,0386 0 .donc 0,35 0,34 Sur l’intervalle [1;2] la fonction f est continue, strictement croissante avec f(1) 6 0 et f(2) 2 0 , 0 [ (1); (2)] f f , donc d’après le théorème de valeurs intermédiaires l’équation f x( ) 0 admet donc une unique solutionsur l’intervalle [1;2] telle que f( ) 0 . à l’aide de la calculatrice on trouve f(1,87) 0,1416 0 et f(1,83) 0,0934 0 .donc 1,54 1,53
6. Donner l’équation de la tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse x0 0.
f '(0) 6 0 2 6 6 et f(0) 2 0 3 6 0 2 2 , donc y f'(0)(x 0) f(0) 6x 2 b.f x( ) y 2x3, donc le signe de f x( )y dépend du signe de x donc
si x0 , f x( ) y 0 f x( )y, la courbe Cf est en dessous de la tangente sur [ 2;0] . Exercice 2
x 2 1 1 2 '( )
f x + 0 0 var( )f
2 2
6 6
x 3 0 4 '( )
f x + 0 var( )f
1
12,5 23
a. g x'( ) 3x
b. on déduit le tableau de variations :
2. on a : 1
( 1) 2
g ; g'( 1) 3
D’où l’équation de la tangente est :y g '( 1)( x 1) f( 1) . y3(x 1) 1/ 2 3 x5 / 2 Partie B
1. (a) Le calcul de la fonction dérivée donne f x'( ) 3 x23x6.
(b) Pour déterminer le signe de f′(x), on calcule le discriminant _, ici égal à 81, ce qui nous donne les deux racines x12 et x2 1. Or, un polynôme du second degré est du signe de a (ici positif) sauf entre les racines d’où le tableau de variations de g :
x 3 -1 2 4 '( )
f x + 0 0 +
var( )f 9/2 17 43/ 2
9
(c) f est strictement croissante sur l’intervalle [ 3; 1] avec f( 3) 43 / 2 0 et f( 1) 9 / 2 0 . L’équation f x( ) 0 admet donc une unique solution sur l’intervalle [ 3; 1] .
f est strictement décroissante sur l’intervalle [ 1;2] avec f( 1) 9 / 2 0 et f(2) 9 0 . L’équation f x( ) 0 admet donc une unique solution sur l’intervalle [−1; 2].
f est strictement croissante sur l’intervalle [2;4] avec f(2) 9 0et f(4) 17 0 . L’équation f x( ) 0 admet donc une unique solution sur l’intervalle [2;4].
Conclusion : L’équation f x( ) 0 admet donc trois solutions sur l’intervalle [ 3;4] .
(d) appartient à l’intervalle [2; 4], de plus, f(3) 3,5 qui est négatif. On fait donc une table de valeurs avec la calculatrice avec des valeurs allant de 3 à 4 par pas de 0, 1. On trouve f(3, 2) 0,79 0 et f(3,3) 0,8 0 donc : 3, 2 3,3.On réitère le même procédé cette fois-ci sur l’intervalle [3, 2;3,3] par pas de 0, 01. On obtient f(3, 25) 0,02 0 et f(3, 26) 0,14 0
donc : 3, 25 3, 26.
2 3 4
-1 -2
-3
2 3 4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
0 1
1
x y
Exercice 3
1) DR Pour toutx D , x Det f( x) cos( x) cos (2 x) cos( ) cos ( )x 2 x f x( )car la fonction cosinus est paire ; doncf est paire.
2) Pour x D , x 2 Det f x( 2 ) cos(x 2 ) cos (2 x 2 ) cos( ) cos ( )x 2 x f x( ) car la fonction cosinus est périodique de période 2π ; doncf est périodique de période 2π .
3) f étant paire, l’étude sur[0; ] permet de connaître f sur [;0]: on obtient la courbe sur [;0] à partir de la courbe sur [0; ] par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
f étant périodique de période 2π , on obtient la courbe sur Rà partir de la courbe sur [ ; ] (intervalle d’amplitude une période) par des translations de vecteurs 2k i
où k est un entier relatif quelconque.
4) f est dérivable sur Rcomme composée de fonctions dérivables sur R : la fonction cosinus suivie de La fonction polynôme : xx2
Pour tout réel x, f x'( ) sinx2sin cosx x sin (2cosx x1) . (u²)' =2uu' et cos' = − sin Pour toutxde [0; ] f x'( ) 0 sinx0 ou 2cosx 1 0
x k ou cosx0,5 cos / 3 x / 3 2k donc sur [0; ] : x0 ou x ; x / 3 Pour tout xde [0; ] sinx0 . La fonction cosinus est strictement décroissante sur [0;π ] donc Pour tout xde [0; ] x / 3cos 1/ 2 .
x 0 / 3 sinx + + 2 cosx1 + 0
'( )
f x 0 + 0 0 ( )
f x 1/ 4
0 0
