FONCTIONS-TRIGONOMETRIQUES-1°STCH-2009-2010

(1)

Exercice 1

Soit la fonction^f définie sur R par f x( ) 2cos ( ) 4cos( ) ² x  x . On noteC sa courbe représentative 1. Démontrer que la fonction ^f est paire et périodique de période T  2

2. Calculer la fonction dérivée ^f^' et l’écrire sous forme factorisée.

3. Résoudre dans^{[0; ]}^ l’équation ^{4sin ( cos}^x ^ ^x^{ }^{1) 0}. Que peut-on dire du signe de sinx sur l’intervalle ^{[0; ]}^ ?

4. Résoudre en s’aidant du cercle trigonométrique , l’inéquation cosx 1 0.

En déduire le signe de^{f x}^{'( )}sur l’intervalle ^{[0; ]}^ , puis établir le tableau de variation de^f sur ^{[0; ]}^ . 5. Résoudre dans^{[0; ]}^ l’équation 2 cos ( ) 4 cos( ) 0² x  x  .En déduire le signe de ^{f x}^{( )}dans ^[^{ }^{; ]}. Exercice 4

Soit la fonction^f définie sur [- / 2; / 2]  par f x( ) 1 cos ( )  ² x . On noteC sa courbe représentative 1. Démontrer que la fonction ^f est paire et périodique de période T  .

2. Calculer la fonction dérivée ^f^'. Étudier son signe et en déduire le sens de variation de ^f . Dresser le tableau de variation de ^f .

3. Compléter le tableau de valeurs suivant : ( donner les valeurs exactes )

x / 2 / 3 / 4 / 6 0 / 6 / 4 / 3 / 2 cosx

( ) f x

4. Tracer la courbeC représentative de la fonction ^f dans un repère orthogonal



^{O i j}^{; ;}^{ }



( sur l’axe des abscisses, prendra 6 cm pour la valeur ^ et 4 cm pour unité sur l’axe des ordonnées ).

Exercice 3

On considère la fonction ^f définie sur l’intervalle ^{[0; 2 ]}^ par ( ) cos( ) cos ( )² ¹ f x  x  x 2 1. Démontrer que la fonction ^f est paire et périodique de période T  2

2. a. Déterminer la fonction dérivée ^f^'de la fonction^f .

b. Montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 2π], f x^{'( )} sin( )[1 2cos( )]x  x . 3. Résoudre dans l’intervalle [0; 2 ] , l’équation produit : sin( )[1 2cos( )] 0x  x  .

4. a. En s’appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée f ′ donnée en annexe, dresser le tableau de signes de ^{f x}^{'( )}sur l’intervalle ^{[0; 2 ]}^ .

b. Déduire des questions 2. et 3. a. le tableau de variations de la fonction^f sur l’intervalle ^{[0; 2 ]}^ . Préciser les ordonnées des points dont l’abscisse x vérifie ^{f x}^{'( ) 0}^ .

5. Tracer la courbe représentative de^f sur l’intervalle [0 ; 2π] dans le repère de l’annexe (où ^f ^'est déjà représentée).

2 3 4 5 6

2

-1

-2

0 1

1 y

(2)

Soit la fonction^f définie sur R par f x( ) cos( ) cos ( ) 2 x  ² x  . On noteC sa courbe représentative 1. Démontrer que la fonction ^f est paire et périodique de période T  2

2. Calculer la fonction dérivée ^f^' et l’écrire sous forme factorisée.

3. Résoudre dans[0; ] l’équation sin (2 cosx x 1) 0. Que peut-on dire du signe de sinx sur l’intervalle [0; ] ?

4. Résoudre en s’aidant du cercle trigonométrique , l’inéquation 2cosx 1 0.

En déduire le signe de^{f x}^{'( )}sur l’intervalle ^{[0; ]}^ , puis établir le tableau de variation de^f sur ^{[0; ]}^ 5. Dans un repère orthonormal



^{O i j}^{; ;}^{ }



d’unité 2 cm , placer les points qui apparaissent dans le tableau de variation . Établir un tableau de valeurs sur ^{[0; ]}^ , puis sur l’intervalle ^{[ 2 ;2 ]}^{  } .

Tracer la courbeC sur l’intervalle ^{[ 2 ;2 ]}^{  } .