Nom : Classe : 2nde
Devoir surveillé n°7
le 01/06/2017
Note :
… / 20
Exercice 1 : est la fonction définie par = – . … / 4,5
1. Déterminer l'ensemble de définition d de .
2. Justifier que, pour tout réel de d on a : = . 3. a) Dresser le tableau des signes de .
b) En déduire les solutions ≥ 2 dans R.
Exercice 2 : … / 9,5
1. On donne : = ° et = °. Convertir les mesures de et en radians.
2. Déterminer les mesures principales de = , = et ε = .
3. Les réels suivants sont-ils associés au même point sur le cercle trigonométrique ? Justifier.
a) et b) et c) et
4. a) Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C, D, E et F respectivement associés aux réels
, , , , et .
b) Placer les points G et H tels que = et = où et sont définies à la question 1.
c) Placer les points K, L et M respectivement associés aux réels , et ε définis à la question 2.
Exercice 3 : … / 6
1. Compléter le tableau ci-dessous et faire apparaître les valeurs sur la figure.
0 cos
sin
2. En déduire : (aucune justification n'est demandée) a) cos ( ) = … et sin ( ) = …
b) cos ( ) = … et sin ( ) = …
3. On donne sin ( ) = . Calculer la valeur exacte de cos ( ).
f f(x) 3x5 ¡6
¡2x 2 f
x f(x) 162x¡7x
¡5 f(x)
3x¡6 5¡2x
® ¯ ® ¯
° 13¼3 ± 27¼4 31¼6
¼ 4
17¼ 4
27¼ 2 -3¼
2
-8¼ 5
-7¼ 5
7¼ 16¼ 2¼
3 5¼
2
11¼ 6
5¼ 4
IOGd ® IOHd ¯ ® ¯
° ±
x ¼
6
¼ 4
¼ 3
¼
2 ¼ 2¼
x x
-1 2 2¼
3
2¼ -¼3
4 -¼
4
-5¼ 6
-5¼ 6
72 105
Correction du DS n°7 Exercice 1 : est la fonction définie par = – .
1. Déterminer l'ensemble de définition d de .
est défini si et seulement si : ≠ 0 ⇔ ≠ 5 ⇔ ≠ L'ensemble de définition de est donc : d = R \{ }
2. Justifier que, pour tout réel de d on a : = .
∀ ∈ R \{ }, = – = – = – =
= = =
3. a) Dresser le tableau des signes de .
∀ ∈ R \{ }, =
> 0 ⇔ > ⇔ <
> 0 ⇔ > 5 ⇔ >
On en déduit le tableau de signes ci-contre :
-∞ +∞
+ – –
– – +
= – + –
b) En déduire les solutions ≥ 2 dans R.
≥ 2 ⇔ – ≥ 0 ⇔ ≥ 0 ⇔ ∈ [ ; [ Exercice 2 :
1. On donne : = ° et = °. Convertir les mesures de et en radians.
= × rad = rad = × rad = rad
2. Déterminer les mesures principales de = , = et ε = . = = + = + = + avec = et ∈]- ; ].
Donc, la mesure principale de est .
= = + = + = + avec = et ∈]- ; ].
Donc, la mesure principale de est .
ε = = – = + = + avec = et ∈]- ; ].
Donc, la mesure principale de ε est .
3. Les réels suivants sont-ils associés au même point sur le cercle trigonométrique ? Justifier.
a) et
– = = = avec =
Donc et sont associés au même point sur le cercle trigonométrique.
b) et
– = + = = ≠ avec ∈ Z
Donc et ne sont pas associés au même point sur le cercle trigonométrique.
3x¡6 5¡2x
f f(x) 3x5 ¡6
¡2x 2 f
x f(x) 162x¡7x
¡5
f(x)
f(x) 5¡2x 2x x 5
2
f 52
5
x 2 f(x) 3x5 ¡6
¡2x 2 3x5 ¡6
¡2x
2(5¡2x) 5¡2x
3x¡6 5¡2x
10¡4x 5¡2x
3x¡6¡10+4x 5¡2x f(x) 7x5 ¡16
¡2x
-(16¡7x) -(2x¡5)
16¡7x 2x¡5
x 5
2 f(x) 16¡7x 2x¡5
16¡7x 16 7x x 167
2x¡5 2x x 52
x 16¡7x
2x¡5 f(x) 162x¡7x
¡5
16 7
5 2
O O
O
3x¡6 5¡2x
3x¡6
5¡2x 2 f(x) x 167 52
® ¯ ® ¯
° 13¼3 ± 27¼4 31¼6
® 72 2¼5
72 105
¯ 105
¼ 180
¼ 180
7¼ 12
° 13¼ 3
12¼ 3
¼ 3
¼
3 4¼ ¼
3 2k¼ k 2 ¼
3 ¼ ¼
° ¼3
2k¼ k ¼ ¼
2k¼ k ¼ ¼
± 27¼4 3¼4 24¼4 3¼4 6¼ 3¼4 3 3¼4 3¼
± 4 31¼
6
36¼ 6
5¼ 6
-5¼
6 6¼ -5¼6 3 -5¼6
-5¼ 6
¼ 4
17¼ 4
¼ 4
17¼ 4 17¼
4
¼ 4
16¼
4 4¼ 2k¼ k 2
-3¼ 2
27¼ 2
2k¼ k 27¼
2
-3¼ 2
27¼ 2
3¼ 2
30¼ 2 15¼ -3¼
2
27¼ 2
c) et
– = + = ≠ avec ∈ Z
Donc et ne sont pas associés au même point sur le cercle trigonométrique.
4. a) Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C, D, E et F respectivement associés aux réels
, , , , et .
b) Placer les points G et H tels que = et = où et sont définies à la question 1.
c) Placer les points K, L et M respectivement associés aux réels , et ε définis à la question 2.
Exercice 3 :
1. Compléter le tableau ci-dessous et faire apparaître les valeurs sur la figure.
0
cos 1 0 -1 1
sin 0 1 0 0
2. En déduire : (aucune justification n'est demandée) a) cos ( ) = et sin ( ) =
b) cos ( ) = et sin ( ) =
3. On donne sin ( ) = . Calculer la valeur exacte de cos ( ).
On sait que : cos ( ) + sin ( ) = 1 Et que : sin ( ) = Donc : cos ( ) + ( ) = 1
cos ( ) + = 1 Donc : cos ( ) = 1 – =
Donc : cos ( ) = = ou : cos ( ) = - Or : ∈ ]- ; - [ Donc : cos ( ) < 0
On en déduit : cos ( ) = -
° ± 5¼
2 2¼
3 11¼
6 5¼
4 7¼ 16¼
IOGd ® IOHd ¯ ® ¯ -8¼
5
-7¼ 5
2k¼ k -8¼
5
-7¼ 5
-8¼ 5
7¼ 5
-¼ 5 -8¼
5
-7¼ 5
x ¼
6
¼ 4
¼ 3
¼
2 ¼ 2¼
x x
2¼ 3
2¼ 3 -¼
4
-¼ 4
-5¼ 6 p3
2
p2 2
1 2 1
2
p2 2
p3 2
-1 2
p3 p 2
2 2
-p 2 2
-5¼ 6
2 2 -5¼
6
2 -5¼ 6
-1 2
2 2 -5¼
6 1 4
2 -5¼ 6
1 4
3 4 -5¼
6
-1 2
-5¼ 6
-1 2
-5¼ 6
q
3 4p3 2
-5¼ 6
p3 2 -5¼
6 ¼ ¼2 -5¼6
-5¼ 6
p3 2
