Nom :
Prénom : DS n°4
le 16/12/2019 Classe :
T S …
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Réussir convenablement des exercices travaillés en classe.
Déterminer des limites.
Dériver.
Etudier les variations d'une fonction.
Justifier qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle et arrondir cette solution.
Construire la courbe représentative d'une fonction et ses asymptotes dans un repère orthonormé.
Construire les premiers termes d'une suite définie par récurrence dans un repère orthonormé.
Conjecturer le comportement d'une suite.
Démontrer par récurrence.
Justifier qu'une suite est convergente / Déterminer la limite d'une suite.
Les exercices seront traités dans l'ordre de votre choix. La présentation et le soin apportés à la présentation de votre copie rentreront pour une part importante dans sa notation.
Exercice 1 : (EC) … / 5,5
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Calculer , et :
a) = b) = c) =
2. Déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction définie par =
3. Etudier les variations de la fonction définie par = sur l'intervalle ] ; +∞[.
4. Soit la fonction définie sur R \{ } par = . a) Montrer qu'il existe trois réels , et tels que :
=
b) Démontrer que la droite ∆ d'équation = est une asymptote oblique à c en +∞.
c) Justifier les positions relatives de ∆ et c sur R \{ }.
Exercice 2 : … / 8,5
1. On considère la fonction définie sur R par = . a) Déterminer les limites de en -∞ et en +∞.
b) Dresser le tableau de variations de .
c) Montrer que l'équation = admet une unique solution sur R et en donner une valeur approchée à près.
2. Soit la fonction définie sur R \{- }par = .
On note c la courbe représentative de dans un repère orthonormé.
a) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition.
En déduire les asymptotes éventuelles.
b) Démontrer que pour tout réel distinct de - on a = .
c) De la question 1.c déduire le signe de puis le tableau de variations de sur R \{- }.
d) Déterminer l'équation de la tangente T à c au point d'abscisse .
e) Construire la courbe c ainsi que ses asymptotes dans un repère orthonormé.
f
f f(x) x
2¡5x+10 x¡2 a b c
f(x) ax+b+ c x¡2
y x¡3 f
(3x2¡4x+ 2)-5 h(x) (2 1
¡8x)3 g(x)
1 4 f(x) p
5¡3x g(x) (3x2¡4x+ 2)-5 h(x) 2x+3-2 f0(x) g0(x) h0(x)
2x3¡3x2¡1 g(x)
g
g g
g(x) 0 ®
0,01
f 1 f(x) 1¡x
x3+ 1
1
x f0(x) g(x)
(x3+ 1)2
f0(x) f 1
f
2
2
f
0
Exercice 3 : Téléviseurs à écran plat. … / 6 On cherche à modéliser l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat en fonction de l'année. Soit le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année . On pose = et pour tout entier naturel :
= Soit la fonction définie sur [ ; ] par :
= 1. a) Etudier les variations de sur [ ; ].
b) En déduire que pour tout réel de [ ; ], appartient à l'intervalle [ ; ].
2. a) Tracer dans le repère orthonormé ci-dessous l'arc de parabole représentant sur [ ; ] et la droite
∆ d'équation = puis construction les cinq premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.
b) Quelles conjectures peut-on faire sur le comportement de cette suite ? 3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel :
≤ ≤ ≤
4. En déduire que la suite ( ) converge et déterminer sa limite.
1
10un(20¡un) un+1
un u0
2005 +n n
f(x) 0
1
20 f
1
10x(20¡x) 0 20
0 20 f(x) 0
x 10
0 20 f
y x
un+1
0 un 10
n
un
f
Correction du DS n°3
Exercice 1 : (EC) Voir les corrections des exercices n°2, 4, 5 et 11 du cours.
Exercice 2 :
1. On considère la fonction définie sur R par = . a) Déterminer les limites de en -∞ et en +∞.
La limite en l'infini d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
Donc : = = -∞ et : = = +∞
b) Dresser le tableau de variations de .
∀ ∈ R, =
En tant que fonction polynôme, est dérivable sur R
∀ ∈ R, = = =
= ⇔ = ⇔ = ou = ⇔ = ou = De plus, = est du signe de = sauf entre ses racines.
On en déduit le tableau suivant :
-∞ +∞
+ – +
+∞ -∞
= =
= = =
c) Montrer que l'équation = admet une unique solution sur R et en donner une valeur approchée à près.
On sait que la fonction est strictement négative sur ]-∞ ; ]. On en déduit que l'équation = n'admet aucune solution sur cet intervalle. De plus, sur [ ; +∞[ :
• est continue et strictement croissante.
• ∀ ∈ [ ; +∞[, ∈ [ ; +∞[
• ∈ [ ; +∞[
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une unique solution sur cet intervalle et par conséquent sur R. En utilisant l'algorithme de balayage (par exemple), on obtient ≈ .
2. Soit la fonction définie sur R \{- }par = .
On note c la courbe représentative de dans un repère orthonormé.
a) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition.
En déduire les asymptotes éventuelles.
• Etude des limites en -∞ et en +∞ :
La limite en l'infini d'une fonction rationnelle est celle du quotient du terme de plus haut degré de son numérateur par celui de son dénominateur.
Donc : = = = et : = = =
On en déduit que l'axe des abscisses (la droite d'équation = ) est asymptote horizontale à c en -∞ et en +∞.
• Etude des limites à gauche et à droite de - :
> ⇔ > ⇔ > - ⇔ > - On en déduit : = et =
De plus : = =
On en déduit, par quotient : = -∞ et = +∞ Ainsi, la droite d'équation = - est asymptote verticale à c.
g g(x) 2x3¡3x2¡1 g
g
g(x) 0 ®
0,01
f 1 f(x) 1¡x
x3+ 1 f
f
x!lim+1 lim
x!+1
2x3¡3x2¡1 2x3 2x3¡3x2¡1 lim 2x3
x!-1 x!lim-1
2x3 ¡3x2¡1 g(x)
x
g
g0(x) 2£3x2¡3£2x 6x2¡6x
x 6x(x¡1)
g0(x) 0 6x(x¡1) 0 6x 0 x¡1 0 x 0 x 1 g0(x) 6x2¡6x a 6
x g0(x)
g(x)
0 1
g(0) 2£03¡3£02 ¡1 -1 -1
g(1) 2£13¡3£12 ¡1 2¡3¡1 -2 -2
g 1 g(x) 0
1 g
x 1 g(x) -2
-2 0
g(x) 0 ®
® 1,68
x!lim-1 lim
x!-1 lim
x!+1
1¡x x3+ 1
-x
x3 lim
x!-1
-1 x2
1¡x x3+ 1
-x x3
-1 x2
x!lim+1 lim
x!+1
0¡ 0¡
y 0
xlim!-11¡x 1¡(-1) 2 1¡x x3+ 1
xlim!-1 x<-1
1¡x x3+ 1
xlim!-1 x>-1
1
x3 + 1 0 x3 0 x3 1 x 1 lim
x!-1 x<-1
x3+ 1 0¡ lim
x!-1 x>-1
x3+ 1 0+
1 x
b) Démontrer que pour tout réel distinct de - on a = .
∀ ∈ R \{- }, = = avec = et =
Donc : = = =
Donc : = =
c) De la question 1.c déduire le signe de puis le tableau de variations de sur R \{- }.
A la question 1.c on a justifié que ≈ était l'unique solution de l'équation = . Le tableau de variation de permet d'en déduire le tableau de signe suivant :
-∞ +∞
– +
Or : ∀ ∈ R \{- }, = et >
On en déduit que et sont de même signe. D'où le tableau de variations suivant : -∞ - +∞
– – +
+∞ -∞
Avec ≈ ≈
d) Déterminer l'équation de la tangente T à c au point d'abscisse . La tangente T à c au point d'abscisse a pour équation =
Or : = = = -
Et : = = =
On en déduit l'équation : = ⇔ =
e) Construire la courbe c ainsi que ses asymptotes dans un repère orthonormé.
x 1 f0(x) g(x)
(x3+ 1)2
f0(x) f 1
0 x 1 f(x) 1¡x
x3+ 1
u(x)
v(x) u(x) 1¡x v(x) x3+ 1 f0(x) u0(x)v(x)¡v0(x)u(x)
(v(x))2
-1 (x3+ 1)¡3x2(1¡x) (x3+ 1)2
-x3¡1¡3x2+ 3x3 (x3+ 1)2 f0(x) 2x3 ¡3x2¡1
(x3+ 1)2
g(x) (x3 + 1)2
® 1,68 g(x) 0
g
x g(x)
®
x 1 f0(x) g(x)
(x3+ 1)2 (x3 + 1)2 0 f0(x) g(x)
x ®
f0(x) f(x)
1
0¡
f(®)
0¡ f(®) f(1,68) -0,12
0 y f0(0) (x¡0) +f(0) f0(0) 2£03¡3£02¡1
(03+ 1)2
-1 12 1 f(0) 1¡0
03+ 1 1 1 1
y -1 (x¡0) + 1 y -x+ 1
c
Exercice 3 : Téléviseurs à écran plat.
On cherche à modéliser l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat en fonction de l'année. Soit le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année . On pose = et pour tout entier naturel :
= Soit la fonction définie sur [ ; ] par :
= 1. a) Etudier les variations de sur [ ; ].
∀ ∈ [ ; ], = = =
Donc =
> ⇔ > ⇔ > ⇔ < ⇔ <
= = =
= = =
= = =
On en déduit le tableau de variations suivant :
+ –
b) En déduire que pour tout réel de [ ; ], appartient à l'intervalle [ ; ].
Le minimum de sur [ ; ] est tandis que le maximum est . On en déduit : ∀ ∈ [ ; ], ∈ [ ; ]
2. a) Tracer dans le repère orthonormé ci-dessous l'arc de parabole représentant sur [ ; ] et la droite
∆ d'équation = puis construction les cinq premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.
un
2005 +n u0 1 n
un+1
1
10un(20¡un)
f 0 20
f(x) 1
10x(20¡x) f 0 20
x 0 20 f(x) 0 10
f 0 20 y x
x 0 20 f(x) 1
10x(20¡x) 20
10 x¡ 1
10x2 2x¡0,1x2 f0(x) 2¡0,2x
0 0 x
f0(x) 2¡0,2x 2 0,2x 2
0,2 x 10
x f0(x)
f(x)
10
0 20
x 0 20 f(x) 0 10
0 20 0 10
f f(20) 1
10 £20 (20¡20) 2£0 0 f(0) 1
10 £0 (20¡0) 0£20 0 f(10) 1
10 £10 (20¡10) 1£10 10
0 0
10
∆ : y = x
cf
b) Quelles conjectures peut-on faire sur le comportement de cette suite ?
En observant la construction précédente, il semblerait que ( ) soit croissante et qu'elle converge vers . 3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel :
≤ ≤ ≤
∀ ∈ N, on pose p( ) : ≤ ≤ ≤
Démontrons par récurrence que p( ) est vraie pour tout entier naturel .
• Initialisation : Si = On a : =
Et = = = =
Ainsi : ≤ ≤ ≤ . Donc p( ) est vraie.
• Hérédité :
Soit un entier naturel. ≥ .
Supposons que p( ) soit vraie. Alors : ≤ ≤ ≤
On a démontré à la question précédente que la fonction était strictement croissante sur [ ; ].
On en déduit : ≤ ≤ ≤
Or : ∀ ∈ N, = =
Donc : ≤ ≤ ≤ Ainsi p( ) est vraie.
• Conclusion :
p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, ≤ ≤ ≤ 4. En déduire que la suite ( ) converge et déterminer sa limite.
∀ ∈ N, ≤ ≤ ≤
Cela signifie que la suite ( ) est croissante et majorée par . On en déduit qu'elle converge vers un réel ≤ .
Si = alors :
• D'une part : =
• D'autre part : =
On en déduit que est solution de l'équation : = qui équivaut successivement à : =
= = =
= ou = = ou =
La suite ( ) étant croissante à partir de = , on en déduit que sa seule limite possible est = . n
0 un un+1 10
un
un 10
n n
n n
n n
n
k k
k
k+ 1
0 un un+1 10
0 u0 1
u1
1
10u0(20¡u0) 1
10 (20¡1) 19 1,9 10
0 u0 u1 10 0
0
0 uk uk+1 10
f 0 10
f(0) f(uk) f(uk+1) f(10) n un+1
1
10un(20¡un) f(un) 0 uk+1 uk+2 10
0 0 un un+1 10
n 0 un un+1 10
un 10
10 un
n!lim+1
n!lim+1un+1
1
10un(20¡un)
n!lim+1
1
10L(20¡L) L
L
L
L 1
10L(20¡L) L 10L
L(20¡L) 10L 20L¡L2
L2¡10L 0 0 L(L¡10)
L 0 L¡10 0
L 0 L 10
un u0 1 L 10
