DS n°4 : Fonctions / Fonctions trigonométriques

(1)

Nom :

Classe : T S DS n°4

le 15/12/2015 Note :

… / 37

Avis de l’élève Avis du professeur

Compétences évaluées Oui Non Oui Non

Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.

Déterminer les limites d'une fonction et les asymptotes éventuelles de sa courbe.

Dériver une fonction.

Etudier le signe d'une fonction.

Etudier les variations d'une fonction.

Construire dans un repère une courbe à partir de points, de tangentes et d'asymptotes.

Etudier la parité / la périodicité d'une fonction trigonométrique.

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires / Encadrer la solution d'une équation.

Résoudre une équation du 2^nd degré.

Exercice 1 : On considère la fonction f : x a … / 9

On note cf sa courbe représentative dans un repère.

1) Détermine l'ensemble de définition df de la fonction f. (1 point)

2) Ecris f comme la composée de deux fonctions g et h à définir. (1 point) 3) Etudie les limites de f aux bornes de df. Déduis-en les équations des asymptotes à cf. (3 points) 4) a) Justifie que, pour tout réel x dans df ^*on a : ^{f '}⁽^x⁾⁼^{- 15}

√

⁴^x⁻⁵

2(4x−5)²

√

³^x^. (1,5 point)

b) Déduis-en les variations de la fonction f. (1 point)

5) Trace dans le repère ci-dessous les asymptotes puis la courbe cf. (1,5 point)

Exercice 2 : f est la fonction définie sur R par f (x) = cos (3x) + 1. … / 11

1) a) Etudie la parité de la fonction f. (1 point)

b) Démontre que f (1 point)

c) Déduis-en que l'étude de f peut être restreinte sur l'intervalle [0 (1 point) d) Complète le tableau de valeurs suivant, en indiquant les calculs sur ta copie : (2 point)

(2)

2) a) Etudie le sens de variation de f sur [0 (3 points)

b) Déduis-en le tableau de variations de f sur [-π ; π]. (1,5 point)

c) Construis la courbe représentative cf dans le repère suivant. (1,5 point)

Exercice 3 : f est la fonction définie sur R\{3} par f(x)=x²+x−11

x−3 . … / 17

1) Détermine les réels a, b et c tels que, pour tout x de R\{3}, f (x)=ax+b+ c

x−3. (1 point)

2) Détermine les limites de f à gauche et à droite de 3. Que peut-on en déduire. (1,5 point) 3) a) Utilise la définition qui suit pour justifier que la droite (∆) d'équation y = x + 4 est asymptote oblique à cf

en -∞ et en +∞. (1,5 point)

Définition : Lorsque ^lim

x→+∞[f (x)−(ax+b)]=0 ou ^lim

x→-∞[f (x)−(ax+b)]=0 on dit que la droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe cf en +∞ ou en -∞.

b) Etudie la position relative de cf et de (∆). (1 point)

4) a) Dresse le tableau de variations complet de la fonction f. (5 points) b) Justifie que cf admet deux tangentes horizontales. Précise leurs équations. (1,5 point) 5) a) Justifie que l'équation f (x) = 0 admet deux solutions α et β sur [-4 ; 3[. (1,5 point) b) Utilise la calculatrice pour déterminer les encadrements de α et β au 100^ème près. (1,5 point)

c) Calcule les valeurs exactes simplifiées de α et β. (1,5 point)

6) Trace dans le repère suivant les asymptotes en rouge, les tangentes en vert puis la courbe cf.(1 point)

π 1

0

(3)

Correction du DS n°4

Exercice 1 : On considère la fonction f : x a

1) Détermine l'ensemble de définition df de la fonction f.

4x – 5 ≥ 0 ⇔ 4x ≥ 5 ⇔ x ≥ 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

f (x ≥ 0 et 4x – 5 ≠ 0.

Donc f est définie sur ]-∞;0] ∪ ;+∞[.

2) Ecris f comme la composée de deux fonctions g et h à définir.

∀ x∈ ]-∞;0] ∪ ;+∞[, f (x) = g [h (x)] avec :

h : x a g : X

lim

x→5 4 x>5 4

3x=3×5 4=15

4 >0 et lim

x→5 4 x>5 4

4x−5=0⁺ donc, par quotient de limites, lim

x→5 4 x>5 4

f(x)=+∞

On en déduit que la droite d'équation x cf .

4) a) Justifie que, pour tout réel x dans df ^*on a : ^{f '}⁽^x⁾⁼^{- 15}

√

⁴^x⁻⁵

2(4x−5)²

√

³^x^.

f est dérivable sur df ^*= ]-∞;0[ ∪ ;+∞[ car :

◦ d'une part, la fonction rationnelle h est définie, dérivable et strictement positive sur df ^*.

◦ d'autre part, la fonction racine carrée g est dérivable sur R^+*. ∀ x∈ df ^*, f ' (x) = h ' (x) × g ' [h (x)]

et

{

^u'^{v '}⁽⁽^x^x⁾⁼⁾⁼³⁴

D'autre part : g(X)=

√

^X^donc^{g '}⁽^X⁾⁼₂

√

¹^X

Finalement : f '(x)= - 15

(4x−5)²× 1

2

√

⁴³^x⁻^x⁵⁼^{- 15}⁽⁴^x⁻⁵⁾²^×

^√

²⁴

^√

¹^x³⁻^x⁵⁼^{- 15}⁽⁴^x⁻⁵⁾²^×

^√

²⁴

^√

^x³⁻⁵^x ⁼^{- 15}²⁽⁴^x−5)

^√

⁴^x⁻⁵²

^√

³^x

(4)

b) Déduis-en les variations de la fonction f.

∀ x∈ df ^*,

√

⁴^x⁻⁵^>^0,⁽⁴^x⁻⁵⁾²^>^{0 et}

√

³^x^>⁰

2 > 0 et -15 < 0 donc : ∀ x∈ df ^*, f ' (x) < 0.

On en déduit que f est strictement décroissante sur ]-∞;0[ ;+∞[.

5) Trace dans le repère ci-dessous les asymptotes puis la courbe cf.

Exercice 2 : f est la fonction définie sur R par f (x) = cos (3x) + 1.

1) a) Etudie la parité de la fonction f.

∀ x∈ R, -x∈ R et f (-x) = cos (-3x) + 1 = cos (3x) + 1 = f (x).

Donc f est paire sur R.

b) Démontre que f

∀ x∈ R, x ∈ R et f (x x x + 2π) + 1 = cos (3x) + 1 = f (x).

Donc f R.

c) Déduis-en que l'étude de f peut être restreinte sur l'intervalle [0

Puisque f R

;

Puisque f est paire sur R, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

On peut donc restreindre l'étude de f sur l'intervalle [0

d) Complète le tableau de valeurs suivant, en indiquant les calculs sur ta copie :

f (0) = cos (0) + 1 = 1 + 1 = 2 f

f 0,29 f

cf

(5)

2) a) Etudie le sens de variation de f sur [0; ∀ x∈ [0; f (x) = cos (3x) + 1

f ' (x) = -3 sin (3x)

f ' (x) = 0 ⇔ -3 sin (3x) = 0 ⇔ sin (3x) = 0 ⇔ sin (3x) = sin 0 ⇔

{

^ou³³^x^x^=π+⁼⁰⁺²²^k^k

avec k ∈ Z et k ' ∈ Z. L'ensemble des solutions de f ' (x) = 0 sur l'intervalle [0 Remarque

0 ≤ x ⇔ 0 ≤ 3x ≤ π

Or, la fonction sinus est positive sur [0;π]. Donc : ∀ x∈ [0; x) ≥ 0 et -3 sin (3x) ≤ 0.

On en déduit que f ' est négative sur [0; f est décroissante sur [0; b) Déduis-en le tableau de variations de f sur [-π ; π].

On a vu précédemment que cf était symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (car f est paire).

On en déduit que si f est décroissante sur [0; f ;0].

f étant R, ses variations sont les mêmes sur [-π; ; ;π].

D'où le tableau suivant :

c) Construis la courbe représentative cf dans le repère suivant.

(6)

Exercice 3 : f est la fonction définie sur R\{3} par f (x)=x²+x−11 x−3 . On note cf sa courbe représentative dans un repère.

1) Détermine les réels a, b et c tels que, pour tout x de R\{3}, f (x)=ax+b+ c x−3. ∀ x∈ R\{3}, f (x)=ax+b+ c

x−3=(ax+b)(x−3)+c

x−3 =a x²+(b−3a)x−3b+c x−3

Or : f (x)=x²+x−11 x−3 .

On en déduit que a, b et c sont les solutions du système suivant :

{

^a^b^{- 3}⁼¹^−3a^b+c=-11⁼¹

{

^a^b^{- 3}⁼¹⁻³⁼¹^b⁺^c⁼^-11

{

^a=1^b=4^{- 3b}⁺^c⁼^-11

{

^a=1^b=4^{- 12}⁺^c⁼^-11

{

^a^b^c⁼⁼¹⁼⁴¹

Finalement : ∀ x∈ R\{3}, f (x)=x+4+ 1 x−3

2) Détermine les limites de f à gauche et à droite de 3. Que peut-on en déduire.

∀ x∈ R\{3}, _f₍_x₎₌^x²⁺^x⁻¹¹ x−3 . On a : ^lim

x→3(x²+x−11)=3²+3−11=9−8=1>0 De plus : ^limx→3

x<3

(x−3)=0^-

et : ^limx→3 x>3

(x−3)=0⁺ On en déduit, par quotient de limites : ^limx→3

x<3

f(x)=-∞

et : ^limx→3 x>3

f(x)=+∞

On en déduit que la droite d'équation x = 3 est asymptote verticale à cf .

3) a) Utilise la définition qui suit pour justifier que la droite (∆) d'équation y = x + 4 est asymptote oblique à cf en -∞ et en +∞.

Définition : Lorsque ^lim

x→+∞[f (x)−(ax+b)]=0 ou ^lim

x→-∞[f (x)−(ax+b)]=0 on dit que la droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe cf en +∞ ou en -∞.

∀ x∈ R\{3}, f (x)=x+4+ 1

x−3 Donc : f (x)−(x+4)= 1

x−3 Or : lim

x→-∞( 1

x−3)=0 et : lim

x→+∞( 1 x−3)=0

Donc : _x^lim_→-_∞^[ ^f⁽^x⁾⁻⁽^x⁺⁴^)]=⁰ et : _x^lim_→+∞^[^f ⁽^x⁾⁻⁽^x⁺⁴^)]=⁰

On en déduit que la droite (∆) d'équation y = x + 4 est asymptote oblique à la courbe cf en +∞ et en -∞.

b) Etudie la position relative de cf et de (∆).

∀ x∈ R\{3}, f (x)−(x+4)= 1

x−3

On dresse le tableau des signes de f (x)−(x+4) qui ne dépend que du signe de (x−3) car 1 > 0.

x -∞ 3 +∞

x – 3 – +

f (x)−(x+4) – +

∀ x∈ ]-∞ ; 3[, f (x) – (x + 4) < 0. Soit : f (x) < x + 4. Donc cf est en dessous de (∆) sur ]-∞ ; 3[.

∀ x∈ ]3 ; +∞[, f (x) – (x + 4) > 0. Soit : f (x) > x + 4. Donc cf est au dessus de (∆) sur ]3 ; +∞[.

O

(7)

4) a) Etudie les variations de la fonction f.

∀ x∈ R\{3}, f (x)=x+4+ 1

x−3=x+4+ 1 u(x)

f '(x)=1− u '(x)

(u(x))² avec : u(x)=x−3 et u '(x)=1 f '(x)=1− 1

(x−3)²=(x−3)²−1

(x−3)² =x²−6x+9−1

(x−3)² =x²−6x+8 (x−3)² On cherche les racines éventuelles du numérateur x² – 6x + 8.

∆ = b² – 4ac = 36 – 4×8 = 36 – 32 = 4 > 0.

x² – 6x + 8 admet donc deux racines distinctes : x1=-b−^√Δ

2a =6−

√

⁴

2 =6−2 2 =4

2=2 et x2=-b+^√Δ

2a =6+2 2 =8

2=4

x² – 6x + 8 est du signe contraire de a = 1 entre les racines et : ∀ x∈ R\{3}, (x – 3)² > 0.

Donc le signe de f ' (x) est le même que celui de x² – 6x + 8 sur R\{3}.

On en déduit le tableau de variations suivant :

x -∞ 2 3 4 +∞

f ' (x) + – – +

f (x) 5

-∞ -∞ +∞ +∞

9 Calcul des résultats de la dernière ligne du tableau :

D'après le résultat de la question 3b) on a : ∀ x∈ ]-∞ ; 3[, f (x) < x + 4.

Or : ^lim

x→ -∞ x+4=-∞ Donc, d'après le théorème de comparaison : ^lim

x→ -∞ f (x)=-∞

∀ x∈ ]3 ; +∞[, f (x) > x + 4.

Or : ^lim

x→+∞x+4=+∞ Donc, d'après le théorème de comparaison : ^lim

x→+∞ f(x)=+∞

f (2)=2+4+ 1

2−3=6−1=5 f (4)=4+4+ 1

4−3=8+1=9

b) Justifie que cf admet deux tangentes horizontales. Précise leurs équations.

cf admet deux tangentes horizontales car f ' s'annule en x = 2 et en x = 4.

La tangente à cf au point d'abscisse x = 2 a pour équation y = f (2) c'est-à-dire y = 5.

La tangente à cf au point d'abscisse x = 4 a pour équation y = 9.

5) a) Justifie que l'équation f (x) = 0 admet deux solutions α et β sur [-4 ; 3[.

f est continue, strictement croissante et change de signe sur [-4 ; 2].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur [-4 ; 2].

f est continue, strictement décroissante et change de signe sur [2 ; 3[.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x) = 0 admet une unique solution β sur [2 ; 3[.

Finalement, l'équation f (x) = 0 admet deux solutions α et β sur [-4 ; 3[.

b) Utilise la calculatrice pour déterminer les encadrements de α et β au 100^ème près.

En réglant le tableur de la calculatrice avec un pas de 1 entre -4 et 2 on obtient : f (-4) ≈ -0,14 < 0 et f (-3) ≈ 0,83 > 0 donc -4 < α < -3.

En changeant le pas pour 0,1 entre -4 et -3 on obtient :

f (-3,9) ≈ -0,04 < 0 et f (-3,8) ≈ 0,05 > 0 donc -3,9 < α < -3,8.

En changeant le pas pour 0,01 entre –3,9 et –3,8 on obtient :

f (-3,86) ≈ -0,006 < 0 et f (-3,85) ≈ 0,004 > 0 donc -3,86 < α < -3,85.

De même, on montre que : 2,85 < β < 2,86.

O O

(8)

c) Calcule les valeurs exactes simplifiées de α et β.

f (x) = 0 ⇔ ^x²⁺^x⁻¹¹

x−3 =0 ⇔ x²+x−11=0 α et β sont les racines de x² + x – 11.

∆ = b² – 4ac = 1 + 4 × 11 = 1 + 44 = 45 > 0.

α=-b−^√Δ

2a =-1−

√

⁴⁵

2 =- 1−

√

⁹

√

⁵

2 =-1−3

√

⁵

2 et β=-b+^√Δ

2a =-1+3

√

⁵

2

6) Trace dans le repère suivant les asymptotes en rouge, les tangentes en vert puis la courbe cf.

y = 9

y = 5

x = 3

y = x + 4 cf