FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Première − Chapitre 06

Table des matières

I

1) Définition . . . 2 2) Parité des fonctions cosinus et sinus. . . 2 3) Périodicité des fonctions cosinus et sinus . . . 3

II

1) Dérivée . . . 4 2) Sens de variation . . . 4 3) Courbe représentative . . . 4

III

1) Dérivée . . . 5 2) Sens de variation . . . 5 3) Courbe représentative . . . 5

I Fonction sinus et fonction cosinus

1) Définition

Le plan est muni d’un repère orthonormé(O;⃗ı,⃗).

A tout réel t, on associe un unique point M du cercle trigonométrique de centre O tel que t= (⃗ı,ÐÐ→

OM) (mesure de l’angle orienté en radians).

Le pointM a pour coordonnées (cost; sint).

Remarque :∀t∈R,1⩽cost⩽1 et−1⩽sint⩽1.

● La fonction qui a tout réel x fait correspondre l’abscisse cosx du point M est appelée la fonction cosinus et est notée cos.

● La fonction qui a tout réel x fait correspondre l’ordonnée sinx du point M est appelée la fonction sinus et est notéesin.

DÉFINITION

Ces deux fonctions sont définies sur R.

REMARQUE

2) Parité des fonctions cosinus et sinus

Soit f une fonction définie surR.

●On dit que f est paire surR si et seulement si pour tout réelx,f(−x) =f(x).

●On dit que f est impaire sur Rsi et seulement si pour tout réel x,f(−x) = −f(x).

DÉFINITIONS

● Montrer que la fonctionf définie sur Rparf(x) =3x²+1 est paire surR:

∀x∈R,f(−x) =3(−x)²+1=3x²+1=f(x) doncf est paire surR.

● Montrer que la fonctiong définie sur Rparg(x) =x³ est impaire surR :

∀x∈R,g(−x) = (−x)³= −x³= −g(x) donc g est impaire surR.

● Étudier la parité de la fonctionk définie sur Rpark(x) =5−2x : k(1) =5−2×1=5−2=3 etk(−1) =5−2× (−1) =5+2=7.

k(−1) ≠k(1)donc k n’est pas paire.

k(−1) ≠ −k(1) donc kn’est pas impaire.

EXEMPLES

Interprétation graphique :

Le plan est muni d’un repère orthonormal(O;⃗ı,⃗).

●Les points M(x; cosx) et M^′(−x; cos(−x))sont symétriques par rap- port à l’axe (O;⃗). La courbe représentative de la fonction cosinus est doncsymétrique par rapport à l’axe (O;⃗).

●Les pointsM(x; sinx)etM^′(−x; sin(−x))sont symétriques par rapport à l’origineO du repère. La courbe représentative de la fonction sinus est doncsymétrique par rapport à l’origine O du repère.

3) Périodicité des fonctions cosinus et sinus

Soit f une fonction définie surRetT un réel.

On dit que f est périodique de périodeT si et seulement si, pour tout réelx,f(x+T) =f(x).

DÉFINITION

Les fonctions cosetsinsont périodiques de période 2π.

Autrement dit, pour tout réel x,cos(x+2π) =cos(x)etsin(x+2π) =sin(x).

PROPRIÉTÉ

● Montrer que la fonctionf définie sur Rparf(x) =5+3 cos(x)est périodique de période2π :

∀x∈R,f(x+2π) =5+3 cos(x+2π) =5+3 cos(x) =f(x) donc f est périodique de période2π.

● Montrer que la fonctiong définie sur Rparg(x) =sin(2x) est périodique de périodeπ :

∀x∈R,g(x+π) =sin(2(x+π)) =sin(2x+2π) =sin(2x) =g(x)donc g est périodique de périodeπ.

EXEMPLES

Conséquences graphiques :

M(x; cosx) etM^′(x+2π; cos(x+2π))sont tels queÐÐÐ→ M M^′=2π⃗ı.

N(x; sinx)etN^′(x+2π; sin(x+2π))sont tels queÐÐ→

N N^′=2π⃗ı.

Il suffit donc d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur un inter- valle de longueur 2π. Mais de plus, les fonctions sin et cos étant respectivement impaires et paires sur R, par symétrie, on peut restreindre leur étude sur un intervalle de longueurπ.

II Étude de la fonction cosinus

1) Dérivée

La fonction cosinus est définie et dérivable sur Ret∀x∈R,cos^′x= −sinx.

PROPRIÉTÉ

2) Sens de variation

D’après ce qui précède, il suffit d’étudier la fonction cosinus sur l’intervalle[0 ;π] :

x cos^′x =

−sinx cos

0 π

0 − 0

1 1

−1

−1

On en déduit alors le sens de variations de la fonction cosinus sur[−π;π] par symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées :

x

cos

−π 0 π

−1

−1

1 1

−1

−1

3) Courbe représentative

x 0 π

6 π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6 cosx 1

√ 3 2

√ 2 2

1

2 0 −

1 2 −

√ 2

2 −

√ 3 2

III Étude de la fonction sinus

1) Dérivée

La fonction sinus est définie et dérivable surR et∀x∈R,sin^′x=cosx.

PROPRIÉTÉ

2) Sens de variation

D’après ce qui précède, il suffit d’étudier la fonction sinus sur l’intervalle[0 ;π] :

x sin^′x =

cosx

sin

0 π

2 π

+ 0 −

0 0

1 1

0 0

On en déduit alors le sens de variations de la fonction sinus sur[−π;π] par symétrie centrale par rapport à O : x

sin

−π −π

2

π

2 π

0 0

−1

−1

1 1

0 0

3) Courbe représentative

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6 sinx 0 1

2

√ 2 2

√ 3

2 1

√ 3 2

√ 2 2

1 2