Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE

Blaise Pascal

septembre 2016

« Ses cheveux coupés à la mode formaient des ondulations charmantes. »

La défense Loujine - Vladimir Nabokov

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

Soit(O;I, J)un repère orthonormé du plan etC le cercle trigonométrique (rayon 1 et orienté dans le sens giratoire).

À tout réelx, on associe un point M du cercleC tel quexsoit une mesure en radians de l’angle orienté−→

OI;−−→

OM .

Par définition,cos(x)etsin(x)sont l’abscisse et l’ordonnée deM.

C

x sinx

cosx

O I

J

M

Propriété 1

Pour tout réelxet pour tout entierk, on a : cos²x+ sin²x= 1(relation fondamentale)

−16cosx61 et −16sinx61

cos(x+ 2kπ) = cosx et sin(x+ 2kπ) = sinx

(Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques¹de période2π.)

Propriété 1

Pour tout réelxet pour tout entierk, on a : cos²x+ sin²x= 1(relation fondamentale)

−16cosx61 et −16sinx61

cos(x+ 2kπ) = cosx et sin(x+ 2kπ) = sinx

(Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques¹de période2π.)

Propriété 1

Pour tout réelxet pour tout entierk, on a : cos²x+ sin²x= 1(relation fondamentale)

−16cosx61 et −16sinx61

cos(x+ 2kπ) = cosx et sin(x+ 2kπ) = sinx

(Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques¹de période2π.)

1. On dit quef est périodique de périodeT lorsque pour tout réelx, on af(x+T) =f(x).

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Angles remarquables :

Angle en radians 0 π 6

π 4

π 3

π 2

Cosinus 1

√3 2

√2 2

1

2 0

Sinus 0 1

2

√2 2

√3

2 1

0 π 6 π 4 π 3 π

2

1 2

√ 2 2

√ 3 2 1

2

√ 2 2

√3

2

Exercice 1 (Pour utiliser la relation fondamentale)

Déterminercosxsachant quesinx=1

3 etx∈hπ 2 ;πi

.

Exercice 2 (Pour utiliser la relation fondamentale)

SoitA(x) = (cosx+ sinx)²+ (cosx−sinx)².

1.

CalculerAπ 4

etAπ 3

.

2.

Que peut-on conjecturer ? Le prouver.

Exercice 1 (Pour utiliser la relation fondamentale)

Déterminercosxsachant quesinx=1

3 etx∈hπ 2 ;πi

.

Exercice 2 (Pour utiliser la relation fondamentale)

SoitA(x) = (cosx+ sinx)²+ (cosx−sinx)².

1.

CalculerAπ 4

etAπ 3

.

2.

Que peut-on conjecturer ? Le prouver.

Exercice 3 (Fonction périodique)

Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de périodeT.

1.

f(x) = cos(4x)−5 T =π 2

2.

g(x) = sin(πx) T = 2

Exercice 4 (Des équations trigonométriques)

Résoudre dansRles équations suivantes :

1.

cos(2x) =−

√2 2

2.

2 sin²x−3 sinx−2 = 0

Exercice 3 (Fonction périodique)

Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de périodeT.

1.

f(x) = cos(4x)−5 T =π 2

2.

g(x) = sin(πx) T = 2

Exercice 4 (Des équations trigonométriques)

Résoudre dansRles équations suivantes :

1.

cos(2x) =−

√2 2

2.

2 sin²x−3 sinx−2 = 0

Exercice 5 (Signe de fonction trigonométrique)

Soitf la fonction définie sur 0 ; 2π

parf(x) = cosx+1 2.







f(x)>0⇐⇒cosx > . . . f(x) = 0⇐⇒cosx=. . . f(x)<0⇐⇒cosx < . . .

x

Signe def(x)

0 2π

C

x=15.

O I

J

Exercice 6 (Signe de fonction trigonométrique, encore)

Soitgla fonction définie sur −π

2 ; π 2

parf(x) = cos 2x−π

3

. Compléter :

Lorsquexdécrit −π

2 ; π 2

,2x−π

3 décrit. . . x

Angle 2x−π

3 Signe de g(x)

−π 2

π

2

C

2x−π 3 =-240.

O I

J

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) =cosx

sin(−x) =−sinx

π−x x

(cos(π−x) =−cosx sin(π−x) =sinx

x

π+x

(cos(π+x) =−cosx sin(π+x) =−sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

=sinx sin ^π₂ −x

=cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) =−sinx

π−x x

(cos(π−x) =−cosx sin(π−x) =sinx

x

π+x

(cos(π+x) =−cosx sin(π+x) =−sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

=sinx sin ^π₂ −x

=cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) =−cosx sin(π−x) =sinx

x

π+x

(cos(π+x) =−cosx sin(π+x) =−sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

=sinx sin ^π₂ −x

=cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) = −cosx sin(π−x) =sinx

x

π+x

(cos(π+x) =−cosx sin(π+x) =−sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

=sinx sin ^π₂ −x

=cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) = −cosx sin(π−x) = sinx

x

π+x

(cos(π+x) =−cosx sin(π+x) =−sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

=sinx sin ^π₂ −x

=cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) = −cosx sin(π−x) = sinx

x

π+x

(cos(π+x) = −cosx sin(π+x) =−sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

=sinx sin ^π₂ −x

=cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) = −cosx sin(π−x) = sinx

x

π+x

(cos(π+x) = −cosx sin(π+x) = −sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

=sinx sin ^π₂ −x

=cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) = −cosx sin(π−x) = sinx

x

π+x

(cos(π+x) = −cosx sin(π+x) = −sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

= sinx sin ^π₂ −x

=cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) = −cosx sin(π−x) = sinx

x

π+x

(cos(π+x) = −cosx sin(π+x) = −sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

= sinx sin ^π₂ −x

= cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

=−sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) = −cosx sin(π−x) = sinx

x

π+x

(cos(π+x) = −cosx sin(π+x) = −sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

= sinx sin ^π₂ −x

= cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

= −sinx sin ^π₂ +x

=cosx

Théorème 1 (Les angles associés)

x

−x (cos(−x) = cosx

sin(−x) = −sinx

π−x x

(cos(π−x) = −cosx sin(π−x) = sinx

x

π+x

(cos(π+x) = −cosx sin(π+x) = −sinx

x π

2 −x

(cos ^π₂ −x

= sinx sin ^π₂ −x

= cosx

x π

2+x

(cos ^π₂ +x

= −sinx sin ^π₂ +x

= cosx

Remarques

la fonction cosinus est une fonction paire car pour toutx∈R, cos(−x) = cosx.

la fonction sinus est une fonction impaire car pour toutx∈R, sin(−x) =−sinx.

Remarques

la fonction cosinus est une fonction paire car pour toutx∈R, cos(−x) = cosx.

la fonction sinus est une fonction impaire car pour toutx∈R, sin(−x) =−sinx.

Exercice 7 (Paire ? Périodique ?)

Soitf la fonction définie surRparf(x) = cosx+ sinx.

1.

Démontrer quef(−π) =f(π).

2.

La fonctionf est-elle paire ?

3.

Démontrer quef est périodique de période2π.

Exercice 8 (Équations et angles associés)

Résoudre dansRles équations suivantes :

1.

cosx 2 +π

3

=−cosx

2.

cosx= sinx

Exercice 7 (Paire ? Périodique ?)

Soitf la fonction définie surRparf(x) = cosx+ sinx.

1.

Démontrer quef(−π) =f(π).

2.

La fonctionf est-elle paire ?

3.

Démontrer quef est périodique de période2π.

Exercice 8 (Équations et angles associés)

Résoudre dansRles équations suivantes :

1.

cosx 2 +π

3

=−cosx

2.

cosx= sinx

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

Théorème 2 (Les formules d’addition)

Soientaetbdeux réels.

cos(a+b) =cosacosb−sinasinb cos(a−b) =cosacosb+ sinasinb sin(a+b) =sinacosb+ cosasinb sin(a−b) =sinacosb−cosasinb

Théorème 2 (Les formules d’addition)

Soientaetbdeux réels.

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) =cosacosb+ sinasinb sin(a+b) =sinacosb+ cosasinb sin(a−b) =sinacosb−cosasinb

Théorème 2 (Les formules d’addition)

Soientaetbdeux réels.

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) =sinacosb+ cosasinb sin(a−b) =sinacosb−cosasinb

Théorème 2 (Les formules d’addition)

Soientaetbdeux réels.

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb sin(a−b) =sinacosb−cosasinb

Théorème 2 (Les formules d’addition)

Soientaetbdeux réels.

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb sin(a−b) = sinacosb−cosasinb

En prenanta=b, nous obtenons les formules suivantes :

Théorème 3 (Les formules de duplication)

Soitaun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) =2 sinacosa

Théorème 4

Soitaun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2

En prenanta=b, nous obtenons les formules suivantes :

Théorème 3 (Les formules de duplication)

Soitaun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) =2 sinacosa

Théorème 4

Soitaun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2

En prenanta=b, nous obtenons les formules suivantes :

Théorème 3 (Les formules de duplication)

Soitaun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) =2 sinacosa

Théorème 4

Soitaun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2

En prenanta=b, nous obtenons les formules suivantes :

Théorème 3 (Les formules de duplication)

Soitaun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) =2 sinacosa

Théorème 4

Soitaun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2

En prenanta=b, nous obtenons les formules suivantes :

Théorème 3 (Les formules de duplication)

Soitaun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) = 2 sinacosa

Théorème 4

Soitaun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2

En prenanta=b, nous obtenons les formules suivantes :

Théorème 3 (Les formules de duplication)

Soitaun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) = 2 sinacosa

Théorème 4

Soitaun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2

En prenanta=b, nous obtenons les formules suivantes :

Théorème 3 (Les formules de duplication)

Soitaun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) = 2 sinacosa

Théorème 4

Soitaun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2

En prenanta=b, nous obtenons les formules suivantes :

Théorème 3 (Les formules de duplication)

Soitaun réel.

cos (2a) =







cos²a−sin²a 2 cos²a−1 1−2 sin²a

et sin (2a) = 2 sinacosa

Théorème 4

Soitaun réel.

cos²a= 1 + cos(2a)

2 et sin²a= 1−cos(2a)

2

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues surR.

Propriété 2

x→0lim sinx

x =1 et lim

x→0

cosx−1 x =0

On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues surR.

Propriété 2

x→0lim sinx

x = 1 et lim

x→0

cosx−1 x =0

On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues surR.

Propriété 2

x→0lim sinx

x = 1 et lim

x→0

cosx−1 x = 0

Démonstration

Indication pour la première limite : Dans le repère(O;I, J),C est le cercle

trigonométrique de centreO et de rayonOI = 1.

Le pointM est sur l’arc de cercle

_

IJ.

Le projeté orthogonal deM sur[OI]est le point C et la droite∆ est la perpendiculaire à(OI) passant parI.

T est le point d’intersection de(OM)et∆.

A1 l’aire du triangleOIM;

A2 l’aire du secteur angulaireOIM; A3 l’aire du triangleOIT;

xune mesure de l’angle −→

OI;−−→

OM . On admet queA16A26A3.

x

C

C

O I

J

M T

∆

Démonstration

1.

ExprimerA1,A2 etA3en fonction de x.

2.

Démontrer que pour toutx∈i 0 ; π

2 h

, sinx6x6 sinx

cosx.

3.

En déduire un encadrement de sinx x .

4.

Prouver que lim

x→0x>0

sinx

x = 1. ^x

C

C

O I

J

M T

∆

Démonstration 5.

Soitx∈i

−π 2 ; 0h

.

1 À quel intervalle appartient−x?

2 Déduire de l’encadrement de la question 3., un encadrement de sinx

x pour x∈i

−π 2; 0

h .

3 Prouver que lim

x→0 x<0

sinx x = 1.

6.

Conclure.

Indication pour la deuxième limite :

Utiliser le théorème 4 pour prouver que, pour tout réelx, cosx−1 =−2 sin²x

2 et utiliser la limite précédente.

x

C

C

O I

J

M T

∆

Exercice 9

Déterminer les limites suivantes :

1.

lim

x→0

sin(2x) x

2.

lim

x→0

sin(3x) sin(2x)

3.

lim

x→+∞xsin 1

x

Remarque

Ces résultats prouvent que les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 : sin⁰(0) = 1 et cos⁰(0) = 0

Exercice 9

Déterminer les limites suivantes :

1.

lim

x→0

sin(2x) x

2.

lim

x→0

sin(3x) sin(2x)

3.

lim

x→+∞xsin 1

x

Remarque

Ces résultats prouvent que les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 : sin⁰(0) = 1 et cos⁰(0) = 0

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

Théorème 5

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables surRet on :

cos⁰(x) =−sinx et sin⁰(x) =cosx

Démonstration

Indication pour la fonction cosinus : Soita∈Rethun réel non nul.

Démontrer que le taux d’accroissement decosenaest τ(h) = cos(a+h)−cos(a)

h = cosacosh−1

h −sinasinh h .

Puis conclure en utilisant la proposition 2.

Réitérer la même démarche pour la fonction sinus.

Théorème 5

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables surRet on :

cos⁰(x) = −sinx et sin⁰(x) =cosx

Démonstration

Indication pour la fonction cosinus : Soita∈Rethun réel non nul.

Démontrer que le taux d’accroissement decosenaest τ(h) = cos(a+h)−cos(a)

h = cosacosh−1

h −sinasinh h .

Puis conclure en utilisant la proposition 2.

Réitérer la même démarche pour la fonction sinus.

Théorème 5

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables surRet on :

cos⁰(x) = −sinx et sin⁰(x) = cosx

Démonstration

Indication pour la fonction cosinus : Soita∈Rethun réel non nul.

Démontrer que le taux d’accroissement decosenaest τ(h) = cos(a+h)−cos(a)

h = cosacosh−1

h −sinasinh h .

Puis conclure en utilisant la proposition 2.

Réitérer la même démarche pour la fonction sinus.

Théorème 5

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables surRet on :

cos⁰(x) = −sinx et sin⁰(x) = cosx

Démonstration

Indication pour la fonction cosinus : Soita∈Rethun réel non nul.

Démontrer que le taux d’accroissement decosenaest τ(h) = cos(a+h)−cos(a)

h = cosacosh−1

h −sinasinh h .

Puis conclure en utilisant la proposition 2.

Réitérer la même démarche pour la fonction sinus.

Exercice 10

SoientCf etCg les courbes représentatives des fonctions définies surRpar f(x) = cosxetg(x) = sinx.

Les tangentes àCf au point d’abscisse π

4 et àCg au point d’abscisse 3π sont-elles parallèles ? 4

Exercice 11

Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l’intervalle donné.

1.

f(x) =xcosx surR

2.

g(x) = sin²x surR

3.

h(x) = tanx suri

−π 2 ; π

2 h

4.

k(x) = cosx

x sur

0 ; +∞

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

Propriété 3

Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI. Alors on a : cos⁰(u) =−u⁰sinu et sin⁰(u) =u⁰cosu

Propriété 3

Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI. Alors on a : cos⁰(u) = −u⁰sinu et sin⁰(u) =u⁰cosu

Propriété 3

Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI. Alors on a : cos⁰(u) = −u⁰sinu et sin⁰(u) =u⁰cosu

Exercice 12

Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l’intervalle donné.

1.

f(x) = cos

10x+π 3

surR

2.

g(x) = sinx

2 +π 3

2

surR

3.

h(x) = r

1−sin²x

2 sur

−π 2 ; π

2

4.

k(x) = sin 2x

cos 2x sur

−π 4 ; π

4

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

On a vu précédemment que la fonction cosinus est périodique de période2π.

On peut donc restreindre l’étude de la fonction cosinus à un intervalle d’amplitude 2π,

−π; π

par exemple.

On sait, de plus que la fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.

On peut finalement restreindre l’étude à l’intervalle 0 ;π

.

La courbe complète de la fonction cosinus s’obtiendra en effectuant une symétrie axiale d’axe(Oy)puis des translations de vecteurs2kπ−→

i (k∈Z).

x

cos⁰(x)

cosx

0 π

0 − 0

1 1

−1

−1

Courbe de la fonction cosinus :

x y

π

2 π 3π

2 2π

−π

−π 2

−3π

−2π 2

Ccos

0 ^π₂

1

Exercice 13

Soitf la fonction définie sur 0 ; 2π

parf(x) =√

3 cos(2x)−sin(2x).

1.

Démontrer que, pour tout réelx∈ 0 ; 2π

,f(x) = 2 cos 2x+π

6

.

2.

Dresser le tableau de variation def.

3.

Résoudre dansRl’équationf(x) =−√ 3.

Exercice 14

Résoudre graphiquement, dans −7π

2 ; 7π 2

, l’inéquationcosx < −1 2

x y

π

2 π 3π

2 2π ^5π

2 3π ^7π

2

−π

−π 2

−3π

−2π 2

−5π

−3π 2

−7π 2

Ccos

0 ^π

2

1

Exercice 13

Soitf la fonction définie sur 0 ; 2π

parf(x) =√

3 cos(2x)−sin(2x).

1.

Démontrer que, pour tout réelx∈ 0 ; 2π

,f(x) = 2 cos 2x+π

6

.

2.

Dresser le tableau de variation def.

3.

Résoudre dansRl’équationf(x) =−√ 3.

Exercice 14

Résoudre graphiquement, dans −7π

2 ; 7π 2

, l’inéquationcosx < −1 2

x y

π

2 π 3π

2 2π ^5π

2 3π ^7π

2

−π

−π 2

−3π

−2π 2

−5π

−3π 2

−7π 2

Ccos

0 ^π₂

1

Sommaire

1. Rappels de première

1.1 Définition et premières propriétés 1.2 Angles associés

1.3 Les formules d’addition et de duplication

2. Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus 2.1 Dérivabilité en 0

2.2 Fonction dérivée 2.3 Composition

3. Étude des fonctions cosinus et sinus 3.1 Étude de la fonction cosinus 3.2 Étude de la fonction sinus

On a vu précédemment que la fonction sinus est périodique de période2π.

On peut donc restreindre l’étude de la fonction sinus à un intervalle d’amplitude 2π,

−π; π

par exemple.

On sait, de plus que la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l’origineO du repère.

On peut finalement restreindre l’étude à l’intervalle 0 ;π

.

La courbe complète de la fonction sinus s’obtiendra en effectuant une symétrie centrale de centreO puis des translations de vecteurs2kπ−→

i (k∈Z).

x

sin⁰(x)

sinx

0 π

2 π

+ 0 −

0 0

1 1

0 0

Courbe de la fonction sinus :

x y

π

2 π 3π

2 2π

−π

−π 2

−3π

−2π 2

Csin

0 ^π₂

1

Exercice 15

Soitf la fonction définie surRparf(x) = 2 sinx+ sin(2x).

1.

Démontrer quef est périodique de période2π.

2.

Étudier la parité def.

3.

Déduire des questions précédentes le domaine d’étude def.

4.

Dresser le tableau de variation def sur son domaine d’étude.

5.

ReprésenterCf dans un repère(O;I, J)orthogonal.

FIN