+ FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

En bleu : ce qui aurait pu être dit à l oral. Ce n est pas rigoureux !

En violet : ce qui est un peu plus compliqué, ce n est pas grave si vous ne le comprenez pas.

En orange, les numéros des exercices. Certains seront dans le plan de travail. D autres, parfois plus difficiles ne sont que pour les volontaires. Ce sont les ex du chapitre 7 du livre.

I. Enroulement de la droite numérique.

Une unité de longueur étant choisie dans le plan, O est un point du plan et est le cercle de centre O et de rayon 1. [ I I ] et [JJ ] sont deux diamètres perpendiculaires de .

1. Longueur d un arc de cercle.

La longueur de l arc IM est proportionnelle à la mesure de l angle en degrés de IOM . Si l angle IOM mesure 360° (un tour complet), alors l arc IM a pour longueur le périmètre du cercle, c'est-à-dire 2 1 2 (car le rayon du cercle est 1)

On peut alors compléter le tableau de proportionnalité suivant où M est un point du cercle .

Mesure de l angle 360° 180° 90° 45° 180

6 30° 0°

Longueur de l arc IM 2

2 4

/6 0

2. Enroulement de la droite numérique.

Les flèches ci-contre indiquent les deux sens de parcours possibles sur le cercle.

On convient de dire que le sens indiqué par la flèche marquée d un + est le sens direct et le sens indiqué par la flèche marquée d un ‒ est le sens indirect

Définition : Dans un plan muni d une unité, on appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 muni d un sens direct : le sens inverse des aiguilles d une montre.

est donc un cercle trigonométrique de centre O. (O ,I,J ) est un repère orthonormal direct (sur le cercle , on se déplace de I vers J selon le trajet le plus court dans le sens direct). K est le point de coordonnées (1 ; 1) dans ce repère. On gradue la droite (IK ) : 0 sur I ; 1 sur K…

Sur cette droite graduée on a donc tous les nombres réels. On l appelle la droite réelle

On enroule cette droite autour du cercle. Ainsi, à chaque nombre réel x de la droite correspond un point M du cercle. On dit que M est le point image du réel x.

Lorsqu on enroule la droite autour du cercle, le point qui correspond au nombre x va se retrouver sur le point M : le segment bleu et l arc de cercle bleu ont la même longueur.

+

Rappel : le périmètre du cercle trigonométrique est 2 (car le rayon est 1).

Exemples :

Le nombre 0 a pour point image le point I.

Le nombre a pour point image le point I car on enroule un segment de longueur autour du cercle donc on recouvre la moitié du cercle (car le périmètre du cercle est 2 ).

Cherchez seuls la suite des exemples avant de regarder la correction.

Donner les points images de

2 , 2 ,

2 ; 3

2 , , 2 et 6 . Correction des exemples :

Le point image de

2 est J car l arc IJ mesure 1/4 du cercle donc 2

4 soit 2 .

Le point image de 2 est I car 2 est le périmètre du cercle donc, quand on arrive au nombre 2 , on a fait un tour complet du cercle et on retombe sur I.

Le point image de

2 est J

On fait un quart de tour dans le sens indirect (vers le bas).

Le point image de 3

2 est J aussi mais en enroulant dans le sens direct (par le haut).

Le point image de est I car on a fait un demi-tour dans le sens indirect (par le bas) Le point image de 2 est I car on a fait un tour complet dans le sens indirect (par le bas) Le point image de 6 est I car on a fait trois tours complets dans le sens direct (par le haut) Propriété : Les réels x et x 2 ont le même point image.

On dit que x et x 2 sont des mesures en radians de l angle IOM.

En effet, quand on ajoute ou enlève des "paquets de 2 ", on ajoute ou on enlève des tours et on arrive sur le même point.

Le radian est une nouvelle unité de mesure d angle, beaucoup plus utilisée que le degré.

Deux nombres sont associés au même point si leur différence est un multiple de 2 (un nombre entiers de tours).

On a le tableau de conversion suivant :

Les mesures en degrés et les mesures en radians entre 0 et d’un même angle sont proportionnelles.

Lorsqu on a une mesure en radian, on peut en trouver d autres en ajoutant ou enlevant des "paquets" de 2 . 3. Enroulement et angle.

Cherchez seuls les exemples avant de regarder la correction.

Exemple 1. On note A le point associé au réel 4 . 1) Déterminer une mesure en degré de l angle IOA.

2) Placer le point A sur un cercle.

3) Déterminer deux autres réels associés au point A.

Exemple 2. On note B le point associé au réel 3 . 1) Déterminer une mesure en degré de l angle IOB.

2) En déduire la nature du triangle IOB . 3) Placer le point B sur un cercle.

4) Déterminer deux autres réels associés au point B.

Correction des exemples :

Exemple 1. On note A le point associé au réel 4 . 1) Déterminer une mesure en degré de l angle IOA.

4 correspond à un angle de 180°

4 45° donc IOA 45°

2) C est la moitié d un angle droit donc on trace la bissectrice de l angle IOJ . Elle passe par le milieu de [ IJ]. A est le point d intersection de cette

médiatrice et du cercle :

3) Pour trouver d autres réels associés à A, on ajoute ou on enlève des paquets de 2 à

4 . Les réels

4 2 9

4 ;

4 2 7

4 ;

4 4 17

4 sont d autres réels associés à A.

Remarque : on dit que 4 , 9

4 et ‒ 7

4 sont des mesures en radians de l angle IOA

Angle nul droit plat

Mesure en Radian

0 ou

2 6 4



3



2

2 3

3 4

 5

6

 

Mesure en

Degré 0 30 45 60 90 120 135 150 180

Exemple 2. On note B le point associé au réel 3 . 1) 3 correspond à un angle de 180°

3 60° donc IOB 60°

2) OI OB 1 (rayon du cercle) donc OIB est isocèle. De plus, IOB 60° donc IOB est équilatéral.

3) Pour placer B, on utilise le compas pour construire le triangle équilatéral IOB .

4) Les réels

3 2 7

3 ;

3 2 5

3 ;

3 30 91

3 sont d autres réels associés à B.

2, 3, 4 page 213, 32, 39, 40, 60 et exercices 1 et 2 de la fiche

II. Cosinus et sinus d un réel.

1. Définitions.

Définition : Soit un point M image d un réel x. Dans le repère ( O, I, J) : on appelle cosinus de x et on note cos x ou cos(x ) l abscisse de M.

on appelle sinus de x et on note sin x ou sin(x ) l ordonnée de M.

Ainsi les coordonnées de M sont : M(cos( x) sin( x)) Exemples :

Cherchez seuls les exemples avant de regarder la correction.

Déterminer à l aide du cercle cos(0) ; sin(0) ; cos  

 

2 ; sin  

 

2 ; cos( ) ; sin( ) ; cos  

 

2 ; sin  

 

2 cos  

 

3 2 et sin  

 

3 2 .

Correction des exemples :

Attention : sur la figure ci-dessous, I est noté K et J est noté L.

Le point correspondant à 0 est I. Dans le repère (O I J ), I(1 0) donc cos(0) 1 et sin(0) 0

Le point correspondant à

2 est J. Dans le repère (O I J), J (0 1) donc cos  

 

2 0 et sin  

 

2 1

Le point correspondant à est I . Dans le repère (O I J ), I ( 1 0 ) donc cos(π) 1 et sin(π) 0

Le point correspondant à

2 est J . Dans le repère ( O I J), J ( 0 1) donc cos  

 

2 0 et sin  

 

2 1

Le point correspondant à 3

2 est aussi J (en enroulant la droite dans le sens direct, vers le haut) donc cos  

 

3

2 0 et sin  

 

3

2 1

10, 11 page 217, 47, 48, 49 page 223, 64, 65 page 225, 81 page 226

Propriétés : Pour tout réel x :

 (cos(x )) ² (sin( x)) ² 1 que l on écrit aussi cos²( x ) sin²(x ) 1

 1 cos(x ) 1  1 sin(x ) 1

 cos( x 2k ) cos( x)  sin(x 2k ) sin(x ) Démonstration :

 on ne prouvera ici le premier point que pour x compris entre 0 et /2 (donc M est dans le quart de cercle en haut à droite du cercle).

On a cos( x) OA et sin( x) OB AM.

On utilise le th de Pythagore dans le triangle OMA rectangle en A : OA ² AM ² OM ². Or OM 1 (rayon du cercle)

donc (cos(x ))² (sin(x))² 1² donc (cos(x )) ² (sin( x )) ² 1

 M se déplace sur le cercle.

Au minimum, cos( x) 1 (quand M est sur I ) et au maximum cos( x) 1 (quand M est sur I) donc 1 cos(x ) 1. De même, 1 sin(x ) 1

 Les points images de x+2k et de x sont confondus donc cos( x 2 k ) cos(x ) et sin(x 2 k ) sin( x).

car x 2kπ et x correspondent au même point (on rajoute k tours pour passer de x à x 2k ).

62, 68 page 225, 72 page 226

2. Lien avec les cosinus et sinus d un angle aigu vus au collège :

Au collège, vous avez vu des formules permettant de calculer le cosinus et le sinus d angles dans un triangle rectangle, donc d angles entre 0 et 90°, c'est-à-dire entre 0 et

2 radians.

Si x est un nombre de l intervalle

 

 

0 2 , le point M image de x est dans le quart en haut à gauche du cercle.

Avec la définition de cette année : cos( x) OA et sin( x) OB.

Avec les définitions du collège, dans le triangle OAM rectangle en A : cos( x) adjacent

hypot énuse

OA OM

OA

1 OA

sin(x ) opposé hypot énuse

AM OM

AM

1 AM OB

On retrouve bi en l a mêm e chose avec les deux défi nitions.

La définition de cette année prolonge la définition de collège et l étend à tous les nombres réels : elle est la même que celle du collège pour les nombres entre 0 et

2 et elle définit aussi le cos et le sin de n importe quel réel.

3. Exemples de calcul de sinus et cosinus.

Cherchez seuls les exemples avant de regarder la correction.

Exemple 1 : Calcul de cos

 

  4 et sin

 

  4 .

On a vu que le point image de

4 était M tel que ( OM) soit la bissectrice de l angle droit IOJ

On a donc OA AM par symétrie.

Calculer alors cos

 

  4 et sin

 

 

4 .

Exemple 2 : Calcul de cos

 

  3 et sin

 

  3 .

On a vu que le point image de

3 était M tel que OIM est équilatéral.

1) Déterminer OA . 2) Déterminer MA . 3) Donner alors cos

 

  3 et sin

 

  3 .

Exemple 3 : Calcul de cos

 

  6 et sin

 

 

6 . (plus difficile) Soit M le point image de

6 .

1) Donner une mesure en degrés de l angle MOJ.

2) En déduire la nature du triangle MOJ .

3) En procédant comme dans l exemple 2, déterminer cos

 

  6 et sin

 

  6 .

Correction des exemples : Exemple 1 : Calcul de cos

 

  4 et sin

 

  4 . On a OA AM.

Dans le triangle OAM rectangle en M, on a OA² AM ² OM ²

OA² OA² 1² car AM OA et OM 1 OA² 1

2

OA ¹

2 1 2

1 2

1 2

2 2

2 2 A retenir : 1

2 2 2 On a donc cos

 

 

4 OA 2

2 et sin

 

 

4 OB AM OA 2

2 . Exemple 2 : Calcul de cos

 

  3 et sin

 

  3 . OIM est équilatéral.

1 ) OIM est équilatéral donc A est le milieu de [ OI ] donc OA 1 2 : 2) Dans le triangle OAM rectangle en M, on a :

OA ² AM ² OM ²

 

  1 2

2

AM ² 1² car AM 1

2 et OM 1 AM ² 1 1

4 3 4

AM ³

4 3 4

3

2

3) cos

 

 

3 OA 1

2 et sin  





3 OB AM 3

2 .

Exemple 3 : Calcul de cos

 

  6 et sin

 

  6 . 1) 6 radian correspond à 30°

IOM =30° donc MOJ 90° 30° 60°

2) MO OJ 1 (rayon du cercle) donc OMJ est isocèle. De plus il a un angle de 60° donc OMJ est équilatéral.

3) B est donc le milieu de [OJ ] donc cos

 

 

6 OB 1

2 .

En appliquant le théorème de Pythagore dans OBM , on obtient BM 3

2 . Alors sin

 

 

6 OB B M 3

2 . 4. Valeurs remarquables.

A RETENIR :

x 0

6 4 3

π 2

cos(x ) 1 3

2

2 2

1 2

0

sin(x ) 0 1

2

2 2

3 2

1 41 page 223, exercices 3 et 4 de la fiche, 43, 44 page 223, 77 page 226

III. Fonctions sinus et cosinus.

1. Définition et représentation graphique.

Soit M un point du cercle trigonométrique associée au réel x.

La fonction cosinus, notée cos est définie sur par x  cos( x) La fonction sinus, notée sin est définie sur par x  sin(x)

Courbe de la fonction cosinus : Courbe de la fonction sinus :

2. Fonctions paires et impaires.

Définitions : Soit f une fonction définie sur un ensemble D.

f est paire si pour tout x de D, − x appartient à D et f(− x) f ( x).

f est impaire si pour tout x de D, − x appartient à D et f(− x) f (x).

Cherchez seuls l exemple avant de regarder la correction.

Exemple : Soit f la fonction définie sur par f( x) 3 x² 5 et g la fonction définie sur par g( x) x ³ 2x. Montrer que f est paire et g impaire.

Correction de l 'exemple :

 f est définie sur . Si x , x . Soit x un réel.

f( x) 3 x)² 5 3x ² 5 f (x ) Alors f est paire.

 g est définie sur . Si x , x . Soit x un réel.

g( x) ( x) ³ 2 ( x ) x ³ 2 x ( ^{x 3 2x} ) ^{g( x).}

Alors g est impaire.

Propriété :

Si f est paire, alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Si f est impaire, alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine.

fonction paire fonction impaire f (−x ) f (x) donc les points d abscisses x

et x sont "à la même hauteur"

f ( x ) f( x) donc les points d abscisses x et x sont symétriques par rapport à O.

3. Propriétés des fonctions sinus et cosinus.

Pour tout réel x, cos( x) cos(x) et sin( x) sin On a donc :

La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.

Interprétation graphique :

La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l axe des ordonnées.

La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l origine.

Variations sur ]− π π] :

x /2 /2 x

cos (x) 1

0 0

1

sin(x) 1 1 1 On peut alors représenter graphiquement les fonctions :

 On trace la courbe sur [0 ; ]

 On trace la courbe sur [ ; 0] par symétrie (par rapport à l axe des ordonnées pour a fonction cosinus et par rapport à l origine pour la fonction sinus.

 On trace la courbe sur par translations de vecteurs 2 i .

On a vu que les points images de x et x+2 sont confondus. On a donc :

Pour tout réel x, cos( x 2 ) cos( x) et sin( x 2 ) sin(x ). On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2 ou 2 -périodiques.

Interprétation graphique :

Les courbes des fonctions cosinus et sinus "se répètent tous les 2 ".

Courbe de la fonction cosinus : la partie rouge se répète tous les 2 .

Courbe de la fonction sinus : la partie rouge se répète tous les 2 .

83, 86, 87, 88 page 227

Pour approfondir : 92, 94, 95, 106, 107,109, bilan 3