S’entraîner
Activités mentales
1 MÉTHODE 1 p. 195
Préciser la mesure de l’angle géométrique correspon- dant en degré.
x(rad) π
5 π
3 2π
5 4π
5 π 4π
3 x(degré)
2 Donner une mesure en radian des angles géomé- triques suivants.
x(degré) 30 45 75 90 135 150
x(rad)
3 Vrai ou Faux
Ces nombres ont le même point-image sur le cercle tri- gonométrique.
1)π
5 et−4π
5 3)−3π
5 et 7π 5 2)π
5 et 21π
5 4)−3π
5 et−18π 5 4 MÉTHODE 2 p. 196
Donner la mesure principale des angles suivants.
1)15π,−3π,−6π, 28πet−π 2) −3π
2 ,−7π 2 ,−π
2,8π 2 et 26π
2
5 Soit #»uet #»v deux vecteurs non nuls tels que : (#»u,#»v) =π
4. Donner une mesure de : 1)(#»v,#»u) 3)(−#»u,−#»v) 2)(#»u,−#»v) 4)(#»v,−#»u)
6 Soit A,B,C et Dquatre points du plan tels que # »
AB,CD# »
= 2π
3 . Donner une mesure de : 1)
# » BA,DC# »
3)
# » AB,DC# » 2)
# » CD,# »AB
4)
# » DC,# »AB 7 Soit #»u,#»v,w,#» #»r et#»t des vecteurs non nuls.
Compléter.
1) (#»u,#»v) + (#»v,w) =#» ...
2) (...,w) +#» ...,#»t
= #»v,#»t 3) #»t,w#»
+ ...,#»t
= (#»v,w)#»
8 Compléter.
1)
# » AB,# »AC
+
# » AC,AD# »
=...
2)
# » AB,BC# »
+
# » ...C,A...# »
=
# » AB,AD# » 3)
# » AB,CB# »
=
# » AB,A...# »
+
# » AC,...B# »
9 Compléter le tableau.
xen radian π
3 ... −π
4
7π
6 ...
cosx ... −1
2 ... 0 ... −
√2 2
sinx ... −
√3
2 ... −1 ...
√2 2
Repérage
10 Les pointsA,B,C,D,E,F,GetHsont placés sur le cercle trigonométrique ci-dessous.
A D I G
O J E C H I’
B
F J’
1)À l’aide d’un rapporteur, associer à chaque point (de AàF) le nombre réel de l’intervalle]−π; π]dont il est le point-image :
2π 3 ,−π
18,5π 6 ,−π
4,−5π 6 ,π
6,−6π 10 et9π
10. 2)Donner les nombres réels dont les points-images
sont les points précédents (deAàF), cette fois, dans l’intervalle[0 ; 2π[.
11 Donner plusieurs nombres réels qui ont même point-image que :
1)2π
3 3)−27π
4 2)−π
5 4)3π
10
12 Donner tous les nombres réels qui ont même point-image que :
1)π
3 2)−3π
5 13 Conversion
1)Convertir les mesures des angles orientés suivants en degré :
5π 6 ,3π
4 ,π 5,5π
8 et 2π 3 .
2)Placer sur le cercle trigonométrique les points- images des nombres réels précédents.
S’entraîner
14 Conversion
1)Convertir les mesures des angles orientés suivants en degré :
π 3,3π
10,2π 5 ,7π
8 et π 4.
2)Placer sur le cercle trigonométrique les points- images des nombres réels précédents.
15 Placer sur le cercle trigonométrique les points- images des nombres réels suivants :
−π 3,−π
2,11π 8 ,−5π
8 et 17π 6 . 16 SoitAle point-image deπ
3 etBle point-image de
−2π
3 . Déterminer l’ensemble des nombres réels com- pris dans]−π; π]dont les points-images forment l’arc rouge (extrémités comprises).
1)
I A
O J
I’
B J’
3)
O I J
I’
J’
A
B
2)
O I J
I’
J’
A 4)
O I J
I’
J’
A
B
17 Intervalles
Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique, orienté dans le sens direct, l’arc de cercle correspondant aux points-images des nombres réels compris dans :
1)h
−π 4 ; 0i
3) π
2 ; 5π 4
∪ 7π
4 ; 2π
2) π
2 ; 3π 4
4)
−2π 3 ;−π
6
∪ h0 ; π
2 i
Mesures d’un angle orienté
18 On considère les pointsA,B,C,DetE, respecti- vement point-images des nombres suivants :
π 4,2π
3 ,5π 6 ,−3π
4 et−π 4.
Donner une mesure des angles orientés suivants : 1)# »
OI,OA# »
4)# » OD,OB# » 2)# »
OA,OB# »
5)# » OC,OE# » 3)# »
OC,OA# »
6)# » OE,OD# » 19 ABCDest un carré de centreO.
Donner une mesure des angles orientés suivants : 1)# »
OA,OB# »
4)# » AO,AD# » 2)# »
OA,OC# »
5)# » CB,CD# » 3)# »
OB,OA# »
6)# » CA,CB# »
20 Déterminer la mesure principale des angles orien- tés suivants :
1)−7π
5 3)4π
3 2)18π
4 4)7π
10 21 MÉTHODE 2 p. 196
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
1)−21π
4 3)−2π
3 2)37π
7 4)23π
10
22 Soit#»uet#»v deux vecteurs non nuls tels que : (#»u,#»v) = π
6.
Donner la mesure principale des angles orientés sui- vants :
1)(−#»u,−#»v) 3)(−#»v,−#»v) 2)(#»v,#»u) 4)(−#»v,#»u)
23 SoitA,BetCtrois points tels que : AB,# » # »AC
=−π 5.
Donner la mesure principale des angles orientés sui- vants :
1)
# » BA,AC# »
3)
# » AC,AB# » 2)
# » AC,BA# »
4)
# » AB,CA# »
S’entraîner
24 Mesure principale ALGO
1) a)Expliquer pourquoi on peut distinguer trois cas quand on calcule la mesure principale d’un angle orienté.
b)Un de ces trois cas est très simple à gérer.
Pourquoi ?
2)Compléter l’algorithme ci-dessous.
1. Algorithme: Mesure principale 2. Liste des variables utilisées 3. x : nombre réel
4. Traitements 5. Demander x 6. Si x> ... alors 7. Tant que x>....
8. Donner à x la valeur ...
9. Fin Tant que 10. Sinon
11. Si x ≤... alors 12. Tant que x ≤ ...
13. Donner à x la valeur ...
14. Fin Tant que 15. Fin Si 16. Fin Si 17.Affichage
18. Afficher « la mesure principale est : » 19. Afficher x
20.Fin de l’Algorithme
3)En pratique, cet algorithme n’est pas facile à utili- ser car on connaît en général la mesure d’un angle orienté sous la formex= aπ
b .
Modifier l’algorithme précédent pour qu’il demande à l’utilisateur les deux nombresaetb, puis détermi- ner la mesure principale a0π
b0 .
25 Soit A, B, C et D des points du plan tels que AB,# » # »AC
= π 6 et
# » AC,AD# »
= π 3.
Démontrer que le triangleABDest rectangle enA.
26 A,B,CetDsont des points tels que : CB,# » CA# »
= π
3,BCAest rectangle enBet direct (c’est- à-dire)
# » BC,BA# »
= π 2 et
# » AD,AB# »
= 5π 6 . Montrer que les pointsA,CetDsont alignés.
27 SoitA,BetCtrois points d’un cercle (Γ) de centre O. SoitDle point diamétralement opposé àAsur (Γ).
B
C D
A
O (Г)
B C
D A
O (Г)
1) a)Montrer en utilisant la relation de Chasles que OB,# »OD# »
=π−
OA,# »OB# » .
b)Exprimer que la somme des angles du triangle AOBest égale àπ.
c) En déduire que# » OB,OD# »
=2# » AB,AO# »
. 2)On peut montrer de même que :
# » OD,OC# »
=2# » AO,# »AC
. En déduire que# »
OB,OC# »
=2# » AB,AC# »
. 3)Compléter l’énoncé du théorème :
« L’angle au ... est égal au double de l’angle inscrit interceptant le même ... »
28 ABCDEest la ligne brisée ci-dessous.
A B
C
D E
− π 2 π 4
− 3π 4
Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? 29 Problème de construction
SoitAetBdeux points du plan tels queAB= 4 cm.
1)Construire le point C tel que # » AB,AC# »
= π 4 et AB=AC.
2)Construire le point D tel queACDsoit un triangle équilatéral et
# » CA,CD# »
=−π 3. 3)Construire le point Etel que
# » DE,# »DC
= 11π 12 et DE=3 cm.
4)Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont paral- lèles.
5)Construire F tel que A, F et C soient alignés et BF,# »CD# »
= 5π 12.
6)Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpen- diculaires.
S’entraîner
Cosinus et sinus d’un nombre réel
30 Donner les coordonnées des points A, B et C points-images des nombres réels π
4, 13π
6 et −5π 3 sur le cercle trigonométrique.
31 Donner les coordonnées des points A, B et C points-images des nombres réels π
3,−3π
4 et−5π 6 sur le cercle trigonométrique.
32 MÉTHODE 3 p. 198
Soitxun nombre réel tel que cosx= 1 4et x∈
i
−π 2 ; 0h
. Calculer sinx.
33 Soitxun nombre réel tel que sinx= 1 5et x∈
iπ 2 ; πh
. Calculer cosx.
34 CALC
Un élève a obtenu les deux écrans suivants avec sa cal- culatrice.
1) a)Quelle équation a-t-il résolue dans l’écran de gauche ? Quelle solution de cette équation est donnée par la calculatrice ?
b)L’équation précédente a-t-elle d’autres solutions dans]−π; π]?
2)Pourquoi a-t-il obtenu une erreur dans l’écran de droite ?
35 CALC
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre réel xtel que :
1)sinx=−0, 8 etx∈ i
−π 2 ; 0h 2)sinx=1, 2 etx∈
i0 ; π 2 h
36 CALC
Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre réel xtel que :
1)cosx=2, 1 etx∈ i0 ; π
2 h
2)cosx=−
√3 3 etx∈
i
−π; −π 2 h
37 ALGO
Le but de l’algorithme est de déterminer l’angle orienté xquand on connaît son cosinuscet le cadrann (1≤n≤4) correspondant àx.
1)Compléter l’algorithme ci-dessous.
1. Algorithme: calcul du réel x 2. Liste des variables utilisées 3. c, x : nombres réels
4. n : nombre entier 5. Traitements 6. Demander c 7. Demander n 8. Si n=1
9. Donner à x la valeur cos−1(c) 10. Sinon si n=2
11. Donner à x la valeur ...
12. Sinon si n=3
13. Donner à x la valeur ...
14. Sinon si n=4
15. Donner à x la valeur ...
16. Fin Si 17.Affichage
18. Afficher « l’angle orienté est : » 19. Afficher x
20.Fin de l’algorithme
2)Modifier l’algorithme précédent pour qu’il donne l’angle orienté xen connaissant son sinus notéset le cadrann.
38 Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont nulles quel que soitxréel ?
1)cos(x+π)−cos(−x) 2)sinπ
2 −x
+cos(π−x) 3)sin(2π−x) +sin(π+x) 4)cosπ
2 −x
+sin(4π+x)
39 Calculer quel que soit x réel l’expression : (cosx+sinx)2+ (cosx−sinx)2.
40 Donner la symétrie qui transforme le point-image du nombre réelxen le point-image du nombre réely.
1)x= π
6 ety= 7π
6 3)x= π
3 ety=−π 3 2)x= π
4 ety=−π
4 4)x=−3π
8 ety=−5π 8
S’entraîner
41 MÉTHODE 4 p. 200 1)Calculer sin5π
4 , sin
−π 4
et sin5π 6 . 2)On sait que cos
2π 5
=
√5−1 4 . En déduire sinπ
10 .
42 En utilisant les angles associés, calculer la valeur exacte des coordonnées du point-imageMdes nombres réels suivants :
1)3π
4 3)13π
4 2)−π
6 4)−2π
3 43
1)Calculer π 3 −π
4. 2)En déduire cos π
12 =
√6+√ 2
4 .
44 On sait que cos π 12 =
√6+√ 2
4 .
En déduire : 1)cos11π
12 3)cos
−π 12
2)sin5π
12 4)cos13π
12 45 MÉTHODE 5 p. 201
Calculer cos(2x)dans les cas suivants.
1)cosx=−1
4 2)sinx=−
√3 3 46 Calculer sin 2xdans les cas suivants.
1)sinx= 1
3etx∈ iπ 2 ; πh 2)sinx=−
√3 3 etx∈
i
−π 2 ; 0h
47 Exprimer en fonction de cos(x)et sin(x).
1)cos x+ π
4
+sin x+ π
4
2)sinπ 3 +x
−sinπ 3 −x
48 Exprimer en fonction de cos(x)et sin(x).
1)sinh 2π
3 +xi
−cos(2π−x) 2)sin2(π+x)−cosh
2π 2 −xi 49 MÉTHODE 6 p. 201 On considère l’équation cosx=−
√2 2 .
1)Résoudre cette équation dans]−π; π]et placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants.
2)En déduire l’ensemble des solutions dansR. 50 MÉTHODE 7 p. 202 CALC
L’écran suivant obtenu avec la calculatrice correspond à la résolution d’une équation.
1) a)De quelle équation s’agit-il ? b)Quelle est la solution obtenue ?
2)Résoudre cette équation dans]−π; π]puis dansR.
51
1)Résoudre l’équation sinx=sin
−π 8
dansR. 2)Préciser les solutions contenues dans l’intervalle
]0 ; 4π]
52 Montrer que l’équation cos 2x= 1
2 a quatre solu- tions dans]−π; π]puis placer sur le cercle trigonomé- trique les quatre points correspondants.
53 On considère l’inéquation cosx≥ −1 2.
1)Représenter sur le cercle trigonométrique les solu- tions de cette inéquation dans]−π; π].
2)Résoudre cette inéquation dans]−π;π].
3)Vérifier le résultat obtenu en définissant comme fonction le booléen cosx ≥ −1
2 qui vaut 1 en xsi cosx≥ −1
2 et 0 sinon.
où 3.141592... correspond àπ et .52359877... corres- pond à π
6.
54 MÉTHODE 8 p. 202 On considère l’inéquation cosx>0.
1)Représenter sur le cercle trigonométrique les solu- tions de cette inéquation dans]−π; π].
2)Résoudre cette inéquation dans]−π;π].
55 On considère l’inéquation sinx≥
√2 2 .
1)Représenter sur le cercle trigonométrique les solu- tions de cette inéquation dans]−π; π].
2)Résoudre cette inéquation dans]−π;π].
56 On considère l’inéquation sinx<−
√3 2 .
1)Représenter sur le cercle trigonométrique les solu- tions de cette inéquation dans]−π; π].
2)Résoudre cette inéquation dans]−π;π].
Approfondir
57 Déterminer une équation dont les solutions dans ]−π;π]sont des nombres réels dont les points-images sont les pointsA,B,CetDde la figure ci-dessous.
O I J
I’
J’
A
D B
C
π 6
58 Résoudre dans]−π;π]le système d’inéquations suivant :
cosx≥ 1 2 sinx≤
√3 2
59 Résoudre dans]−π;π]le système d’inéquations suivant :
cosx≤0 sinx≥ −
√2 2
60 On souhaite résoudre l’équation suivante dansR: 4 cos2x−2(1+√
3)cosx+√
3=0 (1) 1)On effectue un changement de variable.
On poseX=cosxavecx∈[−1 ; 1].
a)Quelle équation du second degré est équivalente à (1) ?
b)Montrer que son discriminant peut s’écrire : 4(1−√
3)2.
c) Déterminer les solutions de cette équation du se- cond degré.
2)En déduire les solutions de l’équation (1) dans ]−π; π]puis dansR.
61 Résoudre dansRl’équation : (sin 2x+1)(2 cosx+√
2) =0.
62 Triangle magique
L’objectif est de résoudre le système d’équations dans ]−π; π].
cos 3x=1
sin 3x=0 (1)
1)Première méthode
a)Montrer que les solutions de l’équation cos 3x=1 dansRs’écrivent :
x= 2kπ 3 ,k∈Z.
b)Montrer que les solutions de l’équation sin 3x=0 dansRs’écrivent :
x= kπ 3 ,k∈Z.
c) En déduire l’ensemble des solutions du système d’équations (1) dansR.
d)Quelles sont les solutions du système d’équa- tions (1) dans]−π; π]?
2)Seconde méthode
a)En utilisant les formules d’addition, montrer les égalités suivantes, quel que soitxréel :
cos 3x=4 cos3x−3 cosx.
b)Montrer que l’équation cos 3x = 1 est équiva- lente à 4X3−3X−1 = 0 en posant X = cosx (X∈[−1 ; 1]).
c) Montrer que pour tout nombre réelX: 4X3−3X−1= (X−1)(4X2+4X+1).
d)En déduire les solutions de l’équation : 4X3−3X−1=0
et conclure sur les solutions de l’équation : cos 3x=1 dans]−π; π].
e)Vérifier que les solutions trouvées en 2)d) sont également solutions de sin 3x=0.
3)Représentation graphique
a)Placer sur le cercle trigonométrique les points- images des nombres réels solutions du système.
On les noteraI,AetB.
b)Quelle est la nature du triangleI AB? Justifier.
Approfondir
63 Pentagone régulier
SoitA1A2A3A4A5 le pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.
1
− 1
− 1 1
A1
A2
A3
A4
A5
O
On a donc (OA# »1,OA# »2) = (OA# »2,OA# »3) = . . . = (OA# »3,OA# »4) = (OA# »4,OA# »5) = (OA# »5,OA# »1) = 2π
5 . 1) a)Déterminer les coordonnées des points A1, A2,
A3,A4etA5dans le repère ci-dessus.
b)Calculer sin2π
5 +sin4π
5 +sin6π
5 +sin8π 5 . c) En déduire que le vecteur :
# »
OA1+OA# »2+OA# »3+OA# »4+OA# »5 a pour coordonnées
a 0
oùaest un nombre réel que l’on déterminera.
2)En fait, on peut montrer que :
# »
OA1+OA# »2+OA# »3+OA# »4+OA# »5 = #»0 et donca=0. On l’admettra ici.
a)En déduire que 1+2 cos2π
5 +2 cos4π 5 =0.
b)En déduire que 4 cos2π
5 +2 cos2π
5 −1=0.
c) cos2π
5 est donc une solution de l’équation du se- cond degré 4x2+2x−1=0.
En déduire la valeur exacte de cos2π 5 . 64 Portée maximale CALC
La portée d’un projectile correspond à la longueur entre la position d’où le projectile est lâché par le système lui donnant son impulsion, et la position du point de chute du projectile. La portée est donc la projection horizon- tale d’une trajectoire courbe.
À l’instant t = 0, l’objet est lancé depuis le sol et on note α l’angle initial du projectile avec l’horizontale
α∈ h0 ; π
2
i. On suppose que le projectile est lancé à la vitessev=10 m.s−1. On néglige les frottements de l’air et on suppose que l’accélération de la pesanteur est g=9, 8 m.s−2.
On peut montrer que la trajectoire du projectile est dé- crite par l’équationy= −0, 049
cos2α x2+ sinα
cos(α)xoùxety sont les coordonnées du projectile dans le repère choisi.
Exemple :Trajectoire pourα= π 6
+ + + + + + +
+ +
0 1
1 y
x
1)Quelle est la nature de cette courbe ?
2)On noteOP la distance obtenue quand le projectile retombe à terre.
a)Montrer que : OP= 1
0, 049×cosα×(sinα+
qsin2(α)).
b)En déduireOP= 1
0, 049×sin 2α.
c) Quel angle permet d’avoir une portée maximale ? 3)En fait, dans le cas général, on a :
y= −1
2acos2αx2+ sinα
cosαx+hoùa= v2 g.
Deux lanceurs du poids réalisent chacun un lancer dont les caractéristiques sont les suivantes :
α(deg) v(m.s−1) h(m)
Lanceur 1 43 13,7 2,62
Lanceur 2 41 13,8 2,45
À l’aide de la calculatrice, déterminer lequel a lancé le plus loin le poids.
Approfondir
65 Angle de tir maximal INFO
Lors d’un match de football, un joueur s’avance vers le but avec l’intention de tirer. Il est décalé de la distance d = BCmètres latéralement par rapport au poteau de but le plus procheCet se trouve àxmètres du bord du terrainBsur la ligne de corner. La largeur des buts est la distanceCD=7, 32 m.
A α
B d C 7,32
x
D
β γ
On souhaite déterminer à quelle distance le joueur aura l’angle de tirγ= (# »AD,# »AC)le plus grand pour réussir son tir.
1)Conjecture On fixed= 10 m.
a)Avec un logiciel de géométrie, réaliser la figure.
(On pourra créer le point A mobile sur la droite perpendiculaire à (CD) passant parB.)
b)Quelle est la valeur maximale pourγ?
c) À quelle distance cela correspond-il pour le ti- reur ?
2)Cas général
a)Montrer queαs’exprime en fonction dexetd.
b)Application numérique avecd=5 m.
c) Compléter la phrase suivante : « Dans l’intervalle h0 ; π
2
i, quandγaugmente, cosγ... ».
d)Réaliser une table de valeurs de la fonction qui à xassocie le cosinus de l’angleγpour 0≤x≤15.
e)Donner une mesure de l’angle de tir maximal à 0,1 degré près.
3)Pour aller plus loin
En considérant la fonctiongdéfinie par : g(d) = x2+ (d+7, 32)×d
px2+ (d+7, 32)2×√ d2+x2 peut-on justifier que l’angle de tir diminue quand on s’écarte latéralement du but, c’est-à-dire quandd augmente,xrestant fixe ?
66 Prendre la tangente CALC
Un navigateur passant devant le Cap Horn par temps calme décide de mesurer la hauteurSHde ce rocher.
A α
B C
S
β
On rappelle que tanx= sinx
cosx. Le navigateur a mesuré les angles géométriques, puisαetβainsi que la distance ABentre les deux points de mesure.
1)Expression deSHavec tan
a)Montrer queSH= (AB+BH)tanα.
b)En déduire queSH=ABtanα×tanβ tanβ−tanα. 2)Expression deSHavec sin
a)Montrer que tanβ−tanα= sin(β−α) cosαcosβ. b)En conclure queSH= ABsinα×sinβ
sin(β−α) . 3)Application numérique
En utilisant l’expression obtenue en2) b)calculer la hauteurSHavec les données suivantes :
AB=200 m,α=12, 9°,β=14, 4°.
