Relations entre les fonctions trigonométriques

(1)

Formulaire Mathoo

Trigonométrie circulaire

Ensembles de définition

Fonction Ensemble de définition

sin »

cos _»

tan sin

=cos ,

2 k k

π π

 

− + ∈ 

 

» »

cotan cos

= sin ^»⁻{^k^π^,^k^∈^»}

Valeurs prises pour des angles simples

Angle

(radians) 0 ^π 6

π 4

π 3

π

2 π ^3π

2

Angle (degrés) 0 30 45 60 90 180 270

sin 0 ¹

2

1 2

3

2 1 0 -1

cos 1 ³

2

1 2

1

2 -1 0 1

tan 0 1

3 1 3 ND 0 ND

cotan ND 3 1 1

3 0 ND 0

Dans le tableau ci-dessus, « ND » signifie « Non Définie ».

Périodicité

Le sinus et le cosinus sont 2π - périodiques La tangente et la cotangente sont π - périodiques

(2)

Relations entre les fonctions trigonométriques

Relation fondamentale

( ) ( )

2 2

cos x +sin x =1

Relations entre le sinus et le cosinus

Les relations suivantes sont valables ∀ ∈x » :

( )

sin cos

2 x x

π − =

 

 

( )

sin cos

2 x x

π + =

 

 

( )

cos sin

2 x x

π − =

 

 

( )

cos sin

2 x x

π + = −

 

 

Relations entre la tangente et la cotangente

La relation suivante est valable ,

x kπ2 k 

∀ ∈ − ∈ 

 

» » :

( ) ( )

tan x cotan x =1

Les relations suivantes sont valables

{ ^, }

x kπ k

∀ ∈ −» ∈» :

Les relations suivantes sont valables 2 ,

x π kπ k 

∀ ∈ − + ∈ 

 

» » :

( )

tan cotan

2 x x

π − =

 

  ^cotan^^π₂ ⁻^x^⁼^tan( )^x ( )

tan cotan

2 x x

π + = −

 

  ^cotan^^π₂ ⁺^x^^{= −}^tan( )^x

(3)

Relation entre le cosinus et la tangente

La relation suivante est valable ,

x π2 kπ k 

∀ ∈ − + ∈ 

 

» » :

( )

2

cos 1

1 tan ( )

x = x

+

Relation entre le sinus et la cotangente

La relation suivante est valable ^{∀ ∈ −}^x ^» {^k^π^,^k^∈^»}^: ( )

2

sin 1

1 cotan ( )

x = x

+

Symétries

Les relations suivantes sont valables ∀ ∈x » :

( ) ( )

sin − = −x sin x

( ) ( )

sin π − =x sin x

( ) ( )

sin π +x = −sin x

( ) ( )

cos − =x cos x

( ) ( )

cos π − = −x cos x

( ) ( )

cos π +x = −cos x

Les relations suivantes sont valables ,

x π2 kπ k 

∀ ∈ − + ∈ 

 

» » :

( ) ( )

tan − = −x tan x

( ) ( )

tan π − = −x tan x

( ) ( )

tan π+ =x tan x

(4)

Les relations suivantes sont valables ^{∀ ∈ −}^x ^» {^k^π^,^k^∈^»}^:

( ) ( )

cotan − = −x cotan x

( ) ( )

cotan π − = −x cotan x

( ) ( )

cotan π +x =cotan x

Argument somme ou différence de deux angles

Les relations suivantes sont valables ^∀( )^{x y}^, ^∈^»²^:

( ) ( )

sin x+y =sin( ) cosx y +cos( ) sin( )x y

( ) ( )

sin x−y =sin( ) cosx y −cos( ) sin( )x y

( ) ( )

cos x+y =cos x cos( ) sin( ) sin( )y − x y

( ) ( )

cos x−y =cos( ) cosx y +sin( ) sin( )x y

Les relations suivantes sont valables ( )

2

, ,

x y  π2 kπ k 

∀ ∈»− + ∈» et tels que :

1. ,

x+ ∈ −y π2 +kπ k∈ 

 

» »

( ) ^{tan( )} ^{tan( )}

tan 1 tan( ) tan( )

x y

+ = +

−

2. ,

x− ∈ −y π2+kπ k∈ 

 

» »

( ) tan( ) tan( ) tan 1 tan( ) tan( )

x y

− = − +

Les relations suivantes sont valables ^∀( )^{x y}^, ^∈

(

^»⁻{^k^π^,^k^∈^»}

)

²et tels que : 1. ^x^{+ ∈ −}^y ^» {^k^π^,^k^∈^»}

( ) cotan( )cotan( ) 1x y −

(5)

2. ^x^{− ∈ −}^y ^» {^k^π^,^k^∈^»}

( ) cotan( )cotan( ) 1 cotan

cotan( ) cotan( )

x y

− = − +

−

Cas particulier : angle double : 1. Les relations suivantes sont valables ∀ ∈x » :

( ) ( )

sin 2x =2sin( ) cosx x

( ) ²( ) ² ²( ) ²

cos 2x =cos x −sin ( )x =2 cos x − = −1 1 2sin ( )x

2. La relation suivante est valable ,

4 2

x π kπ k 

∀ ∈ − + ∈ 

 

» » :

( ) ^{2 tan( )}²

tan 2

1 tan ( ) x x

= x

− 3. La relation suivante est valable ,

x kπ2 k 

∀ ∈ − ∈ 

 

» » :

( ) cotan ( ) 1² cotan 2

2cotan( ) x x

x

= −

Formule de MOIVRE et généralisation

( )

cos(nx)+isin(nx)= cos( )x +isin( )x ⁿ

De la formule de MOIVRE on tire, pour tout entier n non nul donné : 1. Les relations suivantes sont valables ∀ ∈x » :

( ) ( ) ² ² ² ⁴ ⁴ ⁴

cos nx =cosⁿ x −C cos_n ⁿ⁻ ( ) sin ( ) C cosx x + _n ⁿ⁻ ( ) sin ( ) ...x x −

( ) ¹ ¹ ³ ³ ³

sin nx =C cos_n ⁿ⁻ ( ) sin( ) C cosx x − _n ⁿ⁻ ( ) sin ( ) ...x x +

(6)

2. La relation suivante est valable , ,

2 2

x k k k k

n n

π π π π

   

∀ ∈ −\  + ∈]  ∪ + ∈] :

( ) C tan( ) C tan ( ) ...¹² ² ³ ⁴ ³ ⁴ tan 1 C tan ( ) C tan ( ) ...

n n

x x

nx x x

− +

= − + −

3. La relation suivante est valable ^{∀ ∈ −}^x » ^{^k^π^,^k^∈»}^∪^^k^π_n^,^k^∈»^^ :

( ) 1 C cotan ( ) C cotan ( ) ...¹² ² ³ ⁴ ³ ⁴ cotan

C cotan( ) C cotan ( ) ...

n n

x x

nx x x

− + −

= − +

Transformation des sommes

sin( ) sin( ) 2 sin cos

2 2

x y x y

x + y =  +   − 

sin( ) sin( ) 2 sin cos

2 2

x y x y

x − y =  −   + 

cos( ) cos( ) 2 cos cos

2 2

x y x y

x + y =  +   − 

cos( ) cos( ) 2 sin sin

2 2

x y x y

x − y = −  +   − 

sin( ) cos( ) 2 sin cos

4 2 4 2

x y x y

x + y = π + −  π − + 

sin( ) cos( ) 2 sin cos

4 2 4 2

x y x y

x − y = − π − +  π + − 

Les relations suivantes sont valables ( )

2

, ,

x y  π2 kπ k 

∀ ∈»− + ∈» :

sin( ) tan( ) tan( )

cos( ) cos( ) x y

x y

+ = +

sin( ) tan( ) tan( )

cos( ) cos( ) x y

x y

− = −

(7)

Les relations suivantes sont valables ^∀( )^{x y}^, ^∈

(

^»⁻{^k^π^,^k^∈^»}

)

²^:

sin( ) cotan( ) cotan( )

sin( ) sin( ) x y

x y

+ = +

sin( ) cotan( ) cotan( )

sin( ) sin( ) x y

x y

− = − −

Les relations suivantes sont valables ^∀( )^{x y}^, ^{∈ −}^^π₂⁺^k^π^,^k^∈ ^^{× −}{^k^π^,^k^∈ }

 

» » » » :

cos( ) tan( ) cotan( )

cos( ) sin( ) x y

x y

+ = −

cos( ) tan( ) cotan( )

cos( ) sin( ) x y

x y

− = − +

Transformation des produits

( )

sin( ) sin( ) 1 cos( ) cos( ) x y = 2 x− −y x+y

( )

cos( ) cos( ) 1 cos( ) cos( ) x y =2 x+ +y x−y

( )

sin( ) cos( ) 1 sin( ) sin( ) x y = 2 x+ +y x−y

La relation suivante est valable ( )

2

, ,

x y  π2 kπ k 

∀ ∈»− + ∈» :

cos( ) cos( )

tan( ) tan( )

cos( ) cos( )

x y x y

x y

x y x y

− − +

= − + +

La relation suivante est valable ^∀( )^{x y}^, ^∈

(

^»⁻{^k^π^,^k^∈^»}

)

²^:

cos( ) cos( )

cotan( )cotan( )

cos( ) cos( )

x y x y

x y

x y x y

− + +

= − − +

(8)

Expressions en fonction de l’angle moitié

Avec la simplification d’écriture : tan 2

t =    x , on a :

Les relations suivantes sont valables ^{∀ ∈ −}^x ^» {^π⁺²^k^π^,^k^∈^»}^: ( ) ¹ ²²

cos 1

x t

t

= − +

( ) ² ²

sin 1

x t

= t +

La relation suivante est valable ^{∀ ∈ −}^x » ^{^π ⁺²^k^π^,^k^∈»}^∪^^π₂⁺^k^π^,^k^∈»^^ :

( ) ² ²

tan 1

x t

= t

−

La relation suivante est valable ^{∀ ∈ −}^x ^» {^k^π^,^k^∈^»}^: ( ) ¹ ² ^{1 1}

cotan

2 2

x t t

t t

−  

= =  − 

Sommes de cosinus et de sinus dont les arguments suivent une progression arithmétique

Pour tout α différent de 2kπ , tout x réel et tout entier naturel n non nul :

( ) ( )

(

( )

)

⁽ ⁾

( ) ( )

(

( )

)

⁽ ⁾

sin 2 1

cos cos cos 2 ... cos 1 cos

sin 2 2

sin 2 1

sin sin sin 2 ... sin 1 sin

sin 2 2 n

x x x x n x n

n

x x x x n x n

α α

α α α

α

α α

α α α

α

 

   − 

 

+ + + + + + + − =      + 

 

   − 

 

+ + + + + + + − =      + 