Fonctions trigonométriques

Chapitre 3

Fonctions trigonométriques

Les savoir-faire

220. Placer un point sur le cercle trigonométrique.

221. Déterminer sur le cercle trigonométrique, pour des valeurs remarquables dex, les cosinus et sinus d’angles associés àx.

222. Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques.

223. Lier la représentation graphique des fonctions sinus et cosinus au cercle trigonométrique.

I. Repérage sur le cercle trigonométrique. Radian

1. Cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé (O ; ~ı , ~), le cercleC de centre O et de rayon 1 est appelé cercle trigonométrique.

• le sens direct ou trigonométrique est le sens contraire des aiguilles d’une montre ;

• le sens indirect ou anti-trigonométrique est le sens horaire.

Définition : cercle trigonométrique

−1 1

−1 1

0

C

~ı

~

+

O

I J

2. Enroulement de la droite des réels

Par enroulement de la droite numérique autour du cercle trigonométrique, on peut associer à tout réel un unique point du cercle.M est le point-image de xsur le cercleC. On note M(x).

Réciproquement, à tout point M du cercle trigono- métrique correspondent une infinité de valeurs.

Sixest une de ces valeurs, les autres sont de la forme x+ 2π, x+ 4π,x−2π, ....

−1 1

−1 1 2

0

C

~ı

~

+

1

π

2

x

1 radian

I

J A

B M

Axe des réels

d

On définit 1 radian comme la mesure de l’angle qui intercepte le cercleC en un arc de mesure 1.

L’angleIOB a pour mesure 1 radian. La longueur de l’arc‘

⌢

IB est égale à 1 et l’angleIOM a pour mesure‘ xradians.

Exemples :

a. On enroule la droite orientée des réels sur le cercle trigonométrique. Placer le pointP associé à π

2 et le point Rassocié à 9π

4 . Vidéo

b. On considère la figure suivante, où C est le cercle trigonométrique et la droited, tangente à C en A, est munie du repère (A, I). Vidéo

Reproduire la figure, puis indiquer en quels points de cercleC se retrouvent après enroulement les points de la droitedsuivant :

M1

π 2

;M2

3π

2

; M3

−π 2

;M4(5π) ; M5

−3π 4

;M6

5π

4

; M7

−13π 4

.

1 1

2

0

C +

1

π

2

A C

B

D

I M1

d

3. Conversion radians - degrés

Les mesures en radians sont proportionnelles aux mesures en degrés. D’où le tableau de proportionnalité : mesures en 0^◦ 30^◦ 45^◦ 60^◦ 90^◦ 180^◦ 360^◦ ≃

Exemples :

1.Donner la mesure en radians d’un angle de 33^◦. 2.Donner la mesure en degré d’un angle de 3π

8 rad. Vidéo

II. Cosinus et sinus d’un nombre réel

1. Définitions et propriétés

Soitxun réel etM son image sur le cercle trigonométrique :

• Le cosinus de x, noté cos(x), est l’abscisse du point M ;

• Lesinus dex, noté sin(x), estl’ordonnéedu point

M. ^{−1 1}

−1 1

0

C

cos(x) x sin(x)

I J

M(x)

Définitions : cosinus et sinus d’un nombre réel

Pour tout réelxetk∈Z:

• −16sin(x)61 et−16cos(x)61;

• cos²(x) + sin²(x) =1;

• cos(x+ 2kπ) =cos(x)et sin(x+ 2kπ) =sin(x).

Propriétés

2. Cosinus et sinus des angles remarquables

x cos(x) sin(x)

0 1 0

π 6

√3 2

1 2 π

4

√2 2

√2 2 π

3 1

2

√3 2 π

2 0 1

π −1 0

Explications et exemples :

1. Lire sur le cercle trigonométrique. Vidéo 2. Calculer la valeur exacte de cos5π

6 et sin4π 3 .Vidéo

III. La fonction cosinus

1. Définition et propriétés

La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à toutx∈Rassocie le réel cos(x).

Définition

La fonction cos est :

— paire : pour toutx∈R, cos(−x) = cos(x). Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

— 2π-périodique : pour tout x ∈ R, cos(x+ 2π) = cos(x) Sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2π~ı.

Propriétés

Variations :

On déduit les variations de la fonction cos sur Rde ses variations sur [0 ; π]. En effet, elle est 2π-périodiques et elle est paire.

x

cos(x)

0 π

1 1

-1 -1 π

2 0

IV. La fonction sinus

La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à toutx∈Rassocie le réel sin(x).

Définition et propriétés

La fonction sin est :

— impaire : pour toutx∈ R, sin(−x) =−sin(x). Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère ;

— 2π-périodique : pour tout x ∈ R, sin(x+ 2π) = sin(x). Sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2π~ı.

Propriétés

Variations :

On déduit les variations de la fonction sin surRde ses variations sur [0 ; π]. En effet, elle est 2π-périodiques et elle est impaire.

x

sin(x)

0 π

2 π

0 0

11

00

V. Les représentations graphiques

0

y= cos(x)

π

− 2 π 2

−π π

− 3π

2

3π 2 1

−1 2π

2π

y= sin(x)

VI. Etude d’une fonction trigonométrique

Exemple :

Démontrer que la fonctionf définie surRpar :f(x) = sin(x)−sin(2x) est impaire. Vidéo Exemple :

On considère la fonctionf définie surRpar :

f(x) = cos(2x)−1 2 Etudier la parité def. Vidéo

Démontrer quef est périodique de périodeπ.Vidéo Représenter graphiquement la fonctionf.Vidéo