Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques

I- Les fonctions sinus et cosinus

a) Définition

Soit x un réel et M le point associé sur le cercle trigonométrique.

Dans le repère orthonormal ( O ; i , j ) :

• le cosinus de x est l'abscisse du point M

• le sinus de x est l'ordonnée du point M

On définit la fonction sinus qui à tout réel x associe sin x et la fonction cosinus qui à tous réel x associe cos x

x 0 ^

6

 4

 3

 2

cos x 1 ³

2 ²

2

1

2 0

sin x 0 ¹₂ ²

2 ³

2 1

b) Propriétés des fonctions sinus et cosinus Périodicité :

Pour tout réel x, les points du cercle trigonométrique associés aux réels x et x+2π sont confondus. Ainsi on a : cos(x)=cos(x+2π) et sin(x)=sin(x+2π)

On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π Parité :

Pour tout réel x, les points M associés à x et les points M' associés à –x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ainsi, on a : sin(−x)=–sin(x) et cos(−x)=cos(x)

On dit que la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire

Remarques :

• On peut généraliser les propriétés précédentes :

Périodicité : Une fonction f est dite périodique de période T si :

pour tout réel x∈ ^D_f , x+T ∈ ^D_f et si f(x+T)=f(x)

Parité : Une fonction f est dite paire si pour tout x ∈ D_f , ₋x ∈ D_f et si f (−x)=f(x) Une fonction f est dite impaire si pour tout x ∈ D_f , ₋x ∈ D_f et si

f(−x)=−f(x)

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• Si une fonction est périodique, la connaissance de la courbe représentative de cette fonction sur une période permet d’obtenir la courbe complète par translation

• La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère

Représentation graphique : les sinusoïdes

Retrouver les courbes représentant la fonction sinus et la fonction cosinus puis dresser le tableau de variations de la fonction sinus sur _[–; ] et celui de la fonction cosinus sur

[0; ]

c) Dérivabilité

Propriété : Les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables sur ℝ et on a : sin x'= cos x et cos x' = – sin x

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