Chapitre 13
Fonctions trigonométriques
Les savoir-faire
130. Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique.
131. Connaître et utiliser la courbe et les propriétés de ces fonctions (parité, périodicité, ...) 132. Etudier des fonctions simples définies à partir de fonctions trigonométriques.
I. La fonction cosinus
1. Définition et propriétés
La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à toutx∈Rassocie le réel cos(x).
Définition
La fonction cos est :
— dérivable surR: pour toutx∈R, cos′(x) =−sin(x).
— paire : pour toutx∈R, cos(−x) = cos(x). Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
— 2π-périodique : pour tout x ∈ R, cos(x+ 2π) = cos(x) Sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2π~ı.
Propriétés
2. Variations
On déduit les variations de la fonction cos sur Rde ses variations sur [0 ; π]. En effet, elle est 2π-périodiques et elle est paire.
x cos′(x)
cos(x)
0 π
−
1 1
-1 -1 π
2
0
II. La fonction sinus
1. Définition et propriétés
La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à toutx∈Rassocie le réel sin(x).
Définition
1
La fonction sin est :
— dérivable surR: pour toutx∈R, sin′(x) = cos(x).
— impaire : pour toutx∈ R, sin(−x) =−sin(x). Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère ;
— 2π-périodique : pour tout x ∈ R, sin(x+ 2π) = sin(x). Sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2π~ı.
Propriétés
2. Variations
On déduit les variations de la fonction sin surRde ses variations sur [0 ; π]. En effet, elle est 2π-périodiques et elle est impaire.
x sin′(x)
sin(x)
0 π
2 π
+ 0 −
0 0
1 1
0 0
III. Les représentations graphiques
0
y= cos(x)
π
− 2 π 2
−π π
− 3π
2
3π 2 1
−1 2π
2π
y= sin(x)
IV. Compléments sur la dérivation
Soit une fonctionudérivable sur un intervalleIdeR.
— La fonctionf définie parf(x) = cos(u(x)) est dérivable surI et :f′(x) =−u′sin(u(x)).
— La fonctiongdéfinie parg(x) = sin(u(x)) est dérivable surIet :f′(x) =u′cos(u(x)).
Propriétés
2
V. Equations trigonométriques
1. Equation cos x = cos a
L’équation cosx = cosa a pour solutions les nombres réels :
x=a+ 2kπet x=−a+ 2kπoùk∈Z.
C
cos(a)
a
−a
O
M
M′
2. Equation sin x = sin a
L’équation sinx = sina a pour solutions les nombres réels :
x=a+ 2kπet x=π−a+ 2kπ oùk∈Z.
sin(a)
a π−a
O
M′ M
Exemples :
1.Résoudre dansRl’équation sinx=−0,5. Vidéo 1 2.Résoudre dansRl’équation sin 3x= 1. Vidéo 2
VI. Etude d’une fonction trigonométrique
On considère la fonctionf définie surRpar :
f(x) = cos(2x)−1 2 Etudier la parité def. Vidéo
Démontrer quef est périodique de périodeπ.Vidéo Etudier les variations def. Vidéo
Représenter graphiquement la fonctionf.Vidéo
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