TS : Correction du TD (fonction exponentielle)
I Croissance du maïs
La croissance est modélisée par une fonction du type : h:t7→ a
1+be−0,04t.
oùaetbsont des constantes réelles positives,test le temps (en jours) eth(t) la hauteur (en mètres) du plant.
• Le plant mis en terre mesure 0,1 m, donch(0)=0,1⇔ a
1+b =0,1.
• La hauteur plafonne à deux mètres, donc lim
t→+∞h(t)=2.
t→+∞lim (−0,04t)= −∞donc lim
t→+∞e−0,04t = lim
X→−∞eX =0 d’où lim
x→+∞h(t)=a.
On en déduit que a=2. Alors a
1+b =0,1⇔ 2
1+b =0,1⇔1+b= 2
0,1=20 d’où b=19.
• Conclusion : h(t)= 2
1+19e−0,04t .
II Distribution de Maxwell-Boltzmann
Les molécules d’un gaz enfermé dans un récipient à la températureT sont animées d’une vitesse dev centimètres par seconde.
Cet état d’équilibre est caractérisé par la fonction de distribution de vitesse de Maxwell-BoltzmannF définie par la formule :
F(v)=cv2e−mv
2
2kT
oùcetksont des constantes positives,T est la température en °K (degrés Kelvin),mla masse d’une molécule.
F(v) donne pour une vitessev donnée la probabilité que la vitesse d’une particule soit égale àv. On étudie les variations de cette fonction.
F=cαβavec
(α(v)=v2
β(v)=e−2kTm v2 AlorsF′=(cαβ)′=c(αβ)′=c(α′β+αβ′).
On aα′(v)=2vetβ′(v)= −2 m
2kTve−2kTm v2= −m
kTve−2kTm v2. Alors :F′(v)=ch
2ve−2kTm v2+v2×
³
−m kTv´
e−2kTm v2i
=cve−2kTm v2
·
2−mv2 kT
¸ . vÊ0 (car c’est la vitesse d’une particule).
F′(v) s’annule pourv =0 et pourv0=
s2kT m . Tableau de signes et de variation :
v 0 v0 +∞
v + +
2−mv2
kT + 0 −
F′(v) + 0 −
F(v) 0
✒ F(v0)
❅❅
❅
❘
Le maximum est F(v0)=2ckT m e−1
III D’après Pondichéry avril 2008
On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’année.
Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret
Soitunle nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’annéen. On posen=0 en 2005,u0=1 et, pour toutnÊ0,
un+1= 1
10un(20−un).
1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par
f(x)= 1
10x(20−x).
(a) F est une fonction polynôme du second degré; le coefficient de x2est− 1
10<0, donc la fonction est croissante puis décroissante. Pour f(x)=ax2+bx+c, l’abscisse du sommet est− b
2a =10 et f(10)=10.
x 0 10 20
f(x) 0
✒10
❅❅
❅
❘0 Sinon,f′(x)=10−x
5 .
(b) D’après le tableau de variation,f(x)∈[0 ; 10] pourx∈[0 ; 10].
(c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
−1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
u0 u1 u2 u3 u4
2. Initialisation: On au1=f (u0)=f(1)=2−0,1=1,9 On a bien 0Éu0Éu1É10.
Hérédité: Supposons qu(il existe une valeurnpour laquelle 0ÉunÉun+1É10.
On a vu que sur l’intervalle [0 ; 10], le fonction f est croissante, donc ÉunÉun+1⇒ f (un)Éf (un+1) ⇐⇒ un+1Éun+2.
De plus d’après la question 1. b. quel que soit un nombre dans l’intervalle [0 ; 20] et a fortioridans l’intervalle [0 ; 10], son image parf et elle aussi dans l’intervalle [0 : 10]. on a donc bien
0Éun+1Éun+2É10. La démonstration par récurrence est terminée.
3. On vient en fait de démontrer que la suite (un)nÊ0 est croissante. Comme elle majorée par 10, elle converge vers une limiteℓinférieure ou égale à 10.
Comme la fonctionf est continue on obtient par passage à la limite : ℓ=2ℓ−ℓ2
10 ⇐⇒ ℓ=ℓ2
10 ⇐⇒ 1= ℓ
10 ⇐⇒ ℓ=10.
Donc lim
n→+∞un=10.
Partie B : un modèle continu Soitg(x)= 10
9e−12x+1le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’annéex.
1. Étudier les variations deg sur [0 ; +∞[.
g=10×1
u avecu(x)=9e−12x+1.
g′=10×
−u′
u2 doncg′(x)= −10×
−9
2e−12x
³9e−12x+1´2=45 e−12x
³9e−12x+1´2>0 doncg est croissante 2. On a lim
x→+∞e−x2 =0, donc lim
x→+∞g(x)=10.
Ceci signifie qu’à long terme le nombre de foyers équipés de téléviseurs à écran plat va se rapprocher de 10 millions.
3. Il faut résoudre l’inéquationg(x)>5 ⇐⇒ 10
9e−x2+1>5 ⇐⇒ 2>9e−x2 +1 ⇐⇒ 1>9e−x2
⇐⇒ 1
9>e−x2 ⇐⇒ −ln9> −x
2 ⇐⇒ x
2 >ln9 ⇐⇒ x>2 ln9 soit environ 4,3 ans ou en 5 ans à 1 an près soit en 2010.
