TS : correction du TD sur la fonction exponentielle (2)

TS : correction du TD sur la fonction exponentielle (2)

I

Simplifier les expressions suivantes : A= e^xe^−x=e^x−x=e⁰= 1

B= ee^x=e¹×e^x= e^x+1 C= (e^−x)²= e^−2x D= D= e^2x

e^2−x =e^2x−(2−x)=e^3x−2 E= (e^x)³

e^2x =e^3x−2x= e^x

II

Résoudre les équations suivantes : 1. e^−x= −1

Pas de solution, puisque l’exponentielle d’un nombre est un nombre strictement positif : S _{= ; .} 2. e^3x+1=p

e⇔e^3x+1=e¹² ⇔3x+1=1

2⇔x= −1

6: S ₌

½

−1 6

¾

III

Résoudre les inéquations suivantes : e^x2−2É 1

e^x ⇔e^x2−2Ée^−x⇔x²−2É −x⇔x²+x−2É0⇔(x−1)(x+2)É0.

S _{=]−2 ; 1[}

IV

On appelle f la fonction définie surRpar

f(x)=2e^−x+2x−4.

On noteC sa courbe représentative.

1. Déterminer les limites de f en−∞et en+∞.

• Limite en−∞: on a une forme indéterminée.

f(x)=e^−x£

2+2xe^x−4e^x¤ .

x→−∞lim e^−x= +∞; lim

x→−∞xe^x=0 (croissances comparées) et lim

x→−∞e^x=0 d’où lim

x→−∞f(x)= +∞

• Limite en+∞: lim

x→+∞e^−x= lim

x→+∞

µ 1 e^x

¶

=0 d’où lim

x→+∞f(x)= +∞. 2. ∀x∈R, f(x)−[2x−4]=2e^−x donc lim

x→+∞[f(x)−(2x−4)]=0.

∆est donc asymptote àC au voisinage de+∞. f(x)−[2x−4]=2e^−x>0 doncC est au-dessus de∆.

3. f^′(x)=2ס

−e^−x¢

+2=2¡

1−e^−x¢ . f^′(x)=0⇔x=0.

f^′(x)>0⇔1−e^−x>0⇔1>e^−x⇔e⁰>e^−x⇔0> −x⇔0<x Tableau de variation :

x −∞ 0 +∞

f^′(x) − 0 + f(x)

+∞❅

❅❘❅

−2

✒+∞

4. Courbe :

−1

−2

−3

−4 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

C

∆

V

Soit la fonctionf définie sur [0 ; +∞[ par

f(x)=xe^−2x+x−1.

1. Calcul de f^′(x) :

f =uv+w avecu(x)=x,v(x)=e^−2x,w(x)=x−1.

f^′=u^′v+uv^′+w^′avecu^′(x)=1,v^′(x)= −2e^−xetw^′(x)=1 f^′(x)=e^−2x+xס

−2e^−2x¢

+1= (1−2x)e^−2x+1 2. (a) f^′(x)>1⇔(1−2x)e^−2x>0⇔1−2x>0⇔ x<1

2 (car e^−2x >0)

(b) Pour étudier le sens de variation de f^′, on étudie le signe def^′′.

f^′′(x)= −2e^−2x−2(1−2x)e^−2x=(−2−2(1−2x))e^−2x =(4x−4)e^−2x=4(x−1)e^−2x. f^′′(x)=0 pourx=1 etf^′′(x)>0 pourx>1.

f^′est donc décroissante pour sur]− ∞; 1] puis croissante sur [1 ; = ∞[.

x −∞ 1 +∞

f^′′(x) − 0 +

f^′(x) ^❅_❅

❅

❘1−e⁻²

✒

. (c) f^′(1)=1−e⁻²≈0; 8>0 donc f^′(x)>0 pour toutx.

3. On en déduit que f est croissante surR.

• f est continue surR.

• f(0)= −1<0

• f(2)=1+2e⁻⁴≈1, 04>0

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationf(x)=0 admet une solution dans l’intervalle [0 ; 2] ; celle-ci est unique puisque f est croissante sur cet intervalle.

Notonsαcette solution.

On trouve α≈0, 84