TS : TD sur la forme exponentielle d’un nombre complexe
I
Écrire sous forme d’exponentielle complexe les nombres suivants : ieiθ;−3eiθ;−2ie−iθ
II
En utilisant la notation exponentielle, retrouver les formules de trigonométrie donnant les nombres suivants en fonction de cosθou sinθ.
a) cos³π 2+θ´
; sin³π 2+θ´ b) cos³π
2−θ´
; sin³π 2−θ´ c) cos(π−θ) ; sin(π−θ).
III
On posej= −1 2+i
p3 2 .
1. Donner la forme exponentielle dej. 2. En déduire j3puis la somme 1+j+j2. 3. Montrer que 1
j =j=j2.
4. Quelle est la nature du triangle ABC où A, B et C ont respectivement pour affixes les nombres 1,jetj2?
IV
Quelle est la forme algébrique de µ 1
p2+i 1 p2
¶2014
?
V
On donne les identités remarquables suivantes : (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
a) Rappeler pourquoi, pour toutxréel et tout entier natureln, on a : cos(nx)+isin(nx)=(cosx+isinx)n (formule de Moivre)
b) En déduire l’expression de cos(2x) et de sin(2x) en fonction de cosxet de sinx.
c) Trouver l’expression de cos(3x) et de sin(3x).
d) Exprimer cosxet sinxen fonction de eixet de e−ix.
e) En déduire l’expression de cos2xet de sin2xen fonction de cos 2x.
f) En déduire l’expression de cos3xen fonction de cos 3xet de cosxpuis sin3xen fonction de sinxet sin(3x).
VI Une somme de cosinus θest une nombre réel.
a) Montrer que 1−eiθ= −2sinθ
2ieiθ2 (il faut faire apparaître eiπ2 donc on factorisera par . . .) b) Montrer alors que :
ei11π +e3i11π +e5i11π +e7i11π +e9i11π = sin5π
11 sin π
11 ei5π11.
c) En déduire la valeur de :
cos π
11+cos3π
11+cos5π
11+cos7π
11+cos9π 11.
