a) Mettrez0 sous forme exponentielle

L1 MPI 2013/2014

S1 Math´ematiques

Examen du 13 Janvier 2014

Dur´ee: 2h30mn. Aucun document ni calculatrice autoris´e. T´el´ephones portables interdits!

Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 4+3+6+7.

Questions de cours.

a)Soit (u_n)_nune suite de nombres r´eels. Rappeler la d´efinition math´ematique de lim

n→+∞u_n= +∞. b)D´emontrer que “Toute suite croissante et non major´ee tend vers +∞”.

Exercice 1. Soit z₀=−4 +i4√ 3.

a) Mettrez0 sous forme exponentielle.

b) R´esoudre dans Cl’´equation z³ =z₀. On exprimera les solutions sous forme exponentielle.

Exercice 2. On consid`ere la fonction f : [−1,1]→R d´efinie par f(x) =





 1 x

p1 +x²−p 1−x²

si x6= 0,

0 si x= 0.

a) Montrer quef est continue sur [−1,1].

b) Justifier que f est d´erivable sur ]−1,0[∪]0,1[ et calculer f⁰(x).

c) Montrer quef est d´erivable en 0 et que f⁰(0) = 1. En d´eduire que f⁰ est continue sur ]−1,1[.

d) D´eterminer l’ensemble des x ∈]−1,1[ tels que f⁰(x) = 0. En d´eduire que f est strictement croissante.

e) Montrer que f est bijective de [−1,1] dans son ensemble image f([−1,1]) et d´eterminer ce dernier.

f )On notef⁻¹la fonction r´eciproque def. Justifier quef⁻¹ est d´erivable en 0 et calculer (f⁻¹)⁰(0).

(On ne cherchera pas `a calculer la fonctionf⁻¹.)

Exercice 3. On se propose de montrer que la suite (u_n)_n∈N∗ d´efinie par un=

Xn k=0

1 k!= 1

0! + 1

1!+· · ·+ 1 n!

converge et de calculer sa limite. On rappelle que 0! = 0⁰ = 1.

1. Convergence de la suite (u_n)_n.

a) Pour toutn∈Ncalculerun+1−un. En d´eduire que la suite (un)n est strictement croissante.

TSVP

Soit (v_n)_n∈N∗ la suite d´efinie par v_n=u_n+_n×¹_n!.

b) Montrer que la suite (v_n)_n est strictement d´ecroissante.

c) Montrer que lim

n→+∞vn−un= 0 et en d´eduire que la suite (un)n converge.

2. Calcul de la limite.

Etant donn´´ en∈N, on d´efinit la fonctionf_n: [0,1]→R par f_n(x) = e^−x

Xn k=0

x^k k!. a) Que vautf_n(0)? Exprimerf_n(1) en fonction deu_n.

b) Justifier que f_n est d´erivable et montrer que f_n⁰(x) =−e^{−x x}_n!ⁿ. c) Enoncer le th´´ eor`eme des accroissements finis.

d) En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction f_n sur [0,1] en d´eduire que

n→lim+∞un= e.