L1 MPI 2011/2012
S1 Math´ematiques
Examen du 20 Janvier 2012
Dur´ee: 2h30mn. Aucun document ni calculatrice autoris´e. T´el´ephones portables interdits!
Exercice 1. Soit z0 =−4√ 3 + 4i.
a) Mettre z0 sous forme exponentielle.
b) R´esoudre dansCl’´equationz3 =z0. On exprimera les solutions sous forme exponentielle.
Exercice 2. Soitf :R→Retl ∈R. Donner la d´efinition math´ematique de lim
x→+∞f(x) =l.
Exercice 3.
a) Rappeler (sans justification) les limites suivantes : lim
x→0
sin(x)
x et lim
x→0
ln(1 +x)
x .
b) Etudier la limite suivante : lim´
x→0
ln(1 +x) sin(2x) . Exercice 4. Soit f la fonction d´efinie par f(x) =
√x+ 4−2
x .
a) Montrer que f est d´efinie et continue sur [−4,0[∪]0,+∞[.
b) Montrer f est d´erivable sur ]−4,0[∪]0,+∞[. Calculer f0(x).
c) Montrer que l’on peut prolongerf par continuit´e en 0. Par quelle valeur?
Exercice 5. Soit (un)n∈N∗ la suite d´efinie par r´ecurrence par u1 = 1 et, pour tout n ∈ N∗, un+1 = un+ 1
n+ 1, et soient (vn)n∈N∗ et (wn)n∈N∗ les suites d´efinies par vn = un−ln(n) et wn=un−ln(n+ 1).
a) Enoncer le th´´ eor`eme des accroissements finis. Application : soit n ∈ N∗, montrer que 1
n+ 1 <ln(n+ 1)−ln(n)< 1 n.
b) En d´eduire que, pour tout n∈N∗, ln(n+ 2)−ln(n+ 1)< 1 n+ 1.
c) Montrer que, pour tout n ∈ N∗, ln(n+ 1) < un. (On pourra faire un raisonnement par r´ecurrence.)
d) D´eterminer la limite quand n→+∞de la suite (un)n.
e) Montrer que la suite (vn)n est strictement d´ecroissante. Indication : utiliser a).
f ) Montrer que, pour tout n ∈ N∗, vn > 0. En d´eduire que (vn)n converge. On note γ sa limite.
g) En s’inspirant des questions e) et f), montrer que la suite (wn)n converge. Quelle est sa limite?
h) Donner un encadrement de γ `a 10−1 pr`es.
