Examen de m´ethodes variationnelles 20 d´ecembre 2012
Exercice 1:
Le vecteur x de IRn ´etant donn´e, on lui associe l’application Tx = T de IRn dans IR telle que, pour tout y ∈ IRn, T y=Pn
1xiyi.
1) Montrer queT est lin´eaire et continue
2)Montrer quekTxk∞, norme deTx associ´ee `a la normek.k∞dans IRn v´erifiekTxk∞≤ kxk1. D´eterminer cette norme.
3) Montrer quekTxk2, norme deTx associ´ee `a la normek.k2dans IRn v´erifiekTxk∞≤ kxk2. D´eterminer cette norme.
Exercice 2:
SoitE=C([0,1]). On munitE de la norme|f|∞= supx∈[0,1]|f(x)|.
SoitT d´efinie surE par
T(f)(x) = 2f(0) + Z x
0
f(t)dt
1) Montrer queT est lin´eaire.
2) Montrer queT(f) est continue, et que|T(f)|∞≤3|f|∞.
3) En d´eduire queT est continue et montrer que sa norme dans L(E) est exactement ´egale `a 3.
4) Montrer queT est injective.
5) Remarquer que l’image deT est dans l’espace des fonctions continument d´erivables. T est elle surjective?
Exercice 3:
On consid`ere la courbe dans IR2(x, y)7→log(1 +x2y2)−arctan(x+y)
Montrer qu’au voisinage de (0,0) la courbe peut s’´ecrirex=ϕ(y). Calculer la d´eriv´ee deϕ.
Exercice 4:Sur l’espace C1([0,1]), on d´efinitϕpar pourf ∈ C1([0,1]),
ϕ(f)(x) =f3(x) + 2f0(x)
Montrer que ϕest continue de C1([0,1]) , muni de la norme |f|C∞ = supx∈[0,1]|f(x)|+ supx∈[0,1]|f0(x)| dans C([0,1]), muni de la norme|f|C = supx∈[0,1]|f(x)|.
Montrer que ϕ est diff´erentiable. Montrer que Dϕ(0) est un hom´eomorphisme de C1([0,1]) sur C([0,1]). En d´eduire l’existence deδ >0 tel que si|f|∞≤δ, il existe h∈ C1([0,1]) tel queh3+ 2h0=f.
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