Examen de M´ethodes Variationnelles : corrig´e

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L3 Math´ematiques 16 d´ecembre 2013

Examen de M´ethodes Variationnelles : corrig´e

Question de cours. Voir polycopi´e

Exercice 1. On considère l’espaceE =M2(R)des matrices2×2 à coefficients réels. On munit E de la normeN définie par, siM =

m₁₁ m₁₂ m₂₁ m₂₂

,

N(M) = max{|m₁₁|,|m₁₂|,|m₂₁|,|m₂₂|}. SoitA =

2 −1 3 4

, on consid`ere l’applicationϕ_A:E →Ed´efinie par ϕ_A(M) =AM.

a)Justifier queϕ_Aest une application lin´eaire continue.

SoientM, M⁰ ∈E etλ∈R, on a

ϕ_A(M+λM⁰) = A×(M+λM⁰) = AM +λAM⁰ =ϕ_A(M) +λϕ_A(M⁰),

doncϕ_Aest lin´eaire. CommeE =M₂(R)est de dimension finie (dim(E) = 4),ϕ_Aest continue.

b)Rappeler la d´efinition de|||ϕ_A|||et montrer que|||ϕ_A|||= 7.

Par d´efinition,|||ϕ_A|||= sup

M6=0

N(ϕ_A(M))

N(M) = sup

N(M)≤1

N(ϕ_A(M)) = sup

N(M)=1

N(ϕ_A(M)).

SoitM ∈E, on calcule

ϕ_A(M) =AM =

2m₁₁−m₂₁ 2m₁₂−m₂₂ 3m₁₁+ 4m₂₁ 3m₁₂+ 4m₂₂

,

et donc

N(AM) = max{|2m₁₁−m₂₁|,|2m₁₂−m₂₂|,|3m₁₁+ 4m₂₁|,|3m₁₂+ 4m₂₂|}

≤ max{2|m₁₁|+|m₂₁|,2|m₁₂|+|m₂₂|,3|m₁₁|+ 4|m₂₁|,3|m₁₂|+ 4|m₂₂|}

≤ max{3N(M),3N(M),7N(M),7N(M)}

= 7N(M).

On en d´eduit que |||ϕ_A||| ≤ 7. Par ailleurs, si on prend M =

1 1 1 1

on a N(M) = 1 et

AM =

1 1 7 7

d’o`uN(AM) = 7et donc|||ϕ_A||| ≥7. Finalement,|||ϕ_A|||= 7.

(2)

On rappelle qu’une normeN surM2(R)est dite matricielle s’il existe une normek · ksurR²telle que pour toutM ∈ M2(R)

N(M) = sup

X∈R²,kXk≤1

kM Xk.

c)Montrer que siN ´etait une norme matricielle on aurait|||ϕA||| ≤N(A).

SiN est une norme matricielle, elle v´erifieN(AM)≤N(A)N(M)pour tousA, M ∈M₂(R). Et donc

|||ϕ_A|||= sup

N(M)≤1

N(ϕ_A(M)) = sup

N(M)≤1

N(AM)≤ sup

N(M)≤1

N(A)N(M) = N(A).

d)En d´eduire queN n’est pas une norme matricielle.

On a vu au b) que|||ϕ_A||| = 7. Mais on aN(A) = 4. D’apr`es c),N ne peut pas ˆetre une norme matricielle puisque|||ϕ_A|||> N(A).

Exercice 2. Soient f et g d´efinies par f(x, y) = x² +y² et g(x, y) = x⁴ +y⁴ −1. On note Γ ={(x, y)∈R²|g(x, y) = 0}.

a)Montrer queΓ⊂ {(x, y)∈R²| |x| ≤1et|y| ≤1}.

Soit(x, y)∈Γ. On ax⁴+y⁴ = 1. Commey⁴ ≥0on ax⁴ ≤1et donc|x| ≤1. De mˆemex⁴ ≥0 doncy⁴ ≤1et ainsi|y| ≤1.

b)Justifier quef poss`ede un minimum global et un maximum global surΓ.

D’après a) l’ensemble Γ est borné. De plus la fonction g : R² → R est continue et {0} est fermé dansRdoncΓ =g⁻¹({0})est fermé. L’ensembleΓest fermé et borné dansR² qui est de dimension finie doncΓest compact.

La fonctionf est continue etΓest compact, doncfposs`ede un minimum global et un maximum global surΓ.

c)Déterminer le minimum et le maximum defsurΓ. (On pourra être amené à résoudre un système ayant8solutions.)

On va chercher à appliquer le théorème des extrema liés. Les fonctionsf etg sont définies surR² qui est bien un ouvert deR² et la fonctionf est de classeC¹. Il faut encore vérifier queΓest une contrainte régulière:

• La fonctiongest bien de classeC¹.

• La jacobienneJ g_(x,y) = 4x³ 4y³

deg est de rang1si et seulement si(x, y) 6= (0,0).

Comme(0,0)∈/ Γ,J g_(x,y)est de rang1pour tout(x, y)∈Γ.

Le théorème des extrema liés permet d’affirmer que si(x, y)est un extremum defsurΓil existe λ∈Rtel que





∂f

∂x(x, y) = λ^∂g_∂x(x, y)

∂f

∂y(x, y) = λ^∂g_∂y(x, y) g(x, y) = 0

⇐⇒





2x = λ4x³ 2y = λ4y³ x⁴+y⁴ = 1

⇐⇒





x(1−2λx²) = 0 y(1−2λy²) = 0 x⁴+y⁴ = 1 La première équation donne x = 0ou2λx² = 1 et la deuxième y = 0 ou2λy² = 1. Six = 0, avec la contrainte on trouvey = ±1et donc avec la deuxième équation λ = 1/2. Si y = 0, de même avec la contrainte on trouvex=±1et avec la première équation on aλ= 1/2. Finalement

(3)

si 2λx² = 2λy² = 1, on obtient x² = y² = _2λ¹ , en particulier λ > 0. On remplace dans la contrainte et on obtientλ² = 1/2et donc (λ > 0) on aλ= 1/√

2. Ainsix² =y² = 1/√

2et donc x=±2⁻^1/4ety=±2⁻^1/4.

On a ainsi8solutions:(1,0),(−1,0),(0,1),(0,−1),(2⁻^1/4,2⁻^1/4),(2⁻^1/4,−2⁻^1/4),(−2⁻^1/4,2⁻^1/4) et(−2⁻^1/4,−2⁻^1/4).

Pour d´eterminer le maximum et le minimum def, on calcule la valeur def en chacun de ces8 points. On trouve que

f(1,0) =f(−1,0) = f(0,1) =f(0,−1) = 1

et

f(2⁻^1/4,2⁻^1/4) =f(2⁻^1/4,−2⁻^1/4) = f(−2⁻^1/4,2⁻^1/4) =f(−2⁻^1/4,−2⁻^1/4) = √ 2.

Le minimum def surΓest donc1et son maximum√ 2.

d)L’ensembleΓest une courbe dans le plan. Que représentent géométriquement le minimum et le maximum trouvés à la question b).

f(x, y) =x²+y² représente le carré de la distance du point(x, y)au pointO(0,0). Le minimum def surΓest donc le carré de la distance minimum entreOetΓet le maximum def surΓle carré de la distance maximum entreOetΓ.

Exercice 3. On consid`ere l’espaceE = C⁰([0,1]) des fonctions continues sur [0,1]muni de la normekfk∞ = sup

x∈[0,1]

|f(x)|. On rappelle que(E,k · k∞)est un espace de Banach. On considère l’applicationϕ :E →E définie parϕ(f) = cos◦f, i.e.ϕ(f)est la fonction définie par

(ϕ(f))(x) = cos(f(x)).

a)Montrer que pour tousaettdansRon a

|cos(a+t)−cos(a) +tsin(a)| ≤ t² 2.

On applique la formule de Taylor-Lagrange à la fonctioncosentreaeta+t à l’ordre2: la dérivée decosest−sinet sa dérivée seconde est−cosdonc il existeαentreaeta+ttel que

cos(a+t) = cos(a)−tsin(a)− t²

2 cos(α).

On en d´eduit que

|cos(a+t)−cos(a) +tsin(a)|= t²

2|cos(α)| ≤ t² 2.

b)Soitf ∈ E. Montrer queϕ est différentiable enf de différentielle l’applicationL :h 7→L(h) où, pour touth∈E,L(h) :R→Rest la fonction donnée par

L(h) :x7→ −h(x) sin (f(x)).

Il faut montrer queLest une application lin´eaire continue et queϕ(f+h)−ϕ(f)−L(h) =o(h).

(4)

• On vérifie aisément queLest linéaire. Par ailleurs, pour touth∈E et pour toutx∈[0,1]

on a

|L(h)(x)|=|h(x)| × |sin(f(x))| ≤ |h(x)|, et donckL(h)k∞≤ khk∞. AinsiLest bien continue (et|||L||| ≤1).

• Soit maintenanth∈E etx∈[0,1]. On applique a) aveca=f(x)ett =h(x). On obtient

|ϕ(f+h)(x)−ϕ(f)(x)−L(h)(x)|=|cos(f(x) +h(x))−cos(f(x)) +h(x) sin(f(x))| ≤ h(x)² 2 , et donc

kϕ(f +h)−ϕ(f)−L(h)k∞≤ khk²_∞ 2 . d’o`u kϕ(f+h)−ϕ(f)−L(h)k∞

khk∞

h→0

−→0.

c)Montrer queϕest de classeC¹. Indication: on pourra appliquer l’inégalité des accroissements finis à la fonctionsin.

On sait queϕest diff´erentiable, il reste `a montrer queDϕest continue. Soientf, g ∈E, on a

|||Dϕ(f)−Dϕ(g)||| = sup

khk∞≤1

kDϕ(f)(h)−Dϕ(g)(h)k∞

= sup

khk∞≤1

sup

x∈[0,1]

|−h(x) sin(f(x)) +h(x) sin(g(x))|

!

≤ sup

khk∞≤1





 sup

x∈[0,1]

|h(x)|

| {z }

=khk∞

× sup

x∈[0,1]

|sin(f(x))−sin(g(x))|







≤ sup

x∈[0,1]

|sin(f(x))−sin(g(x))|.

|||Dϕ(f)−Dϕ(g)||| ≤ sup

x∈[0,1]

|f(x)−g(x)|=kf −gk∞.

Etant donné´ > 0, si kf −gk∞ < on a |||Dϕ(f)−Dϕ(g)||| < , ce qui prouve que Dϕest continue (et même uniformément continue surE).

d)Soitf₀ ∈E d´efinie parf₀(x) = 1 +x.

i) Montrer queDϕ(f₀)est bijective deEdansE.

Si h ∈ E, Dϕ(f₀)(h) : x 7→ −h(x) sin(1 +x). ´Etant donn´eek ∈ E on cherche donc h ∈E tel queDϕ(f₀)(h) = k, c’est-`a-dire−h(x) sin(1 +x) =k(x)pour toutx∈[0,1].

Comme la fonctionsin(1 +x)ne s’annule pas sur[0,1],

−h(x) sin(1 +x) =k(x) ⇐⇒ h(x) = − k(x) sin(1 +x).

Cette dernière est bien une fonction continue sur[0,1]donckadmet un unique antécédent parDϕ(f₀). AnsiDϕ(f₀)est bien bijective deE dansE.

(5)

ii) Montrer queϕest localement inversible au voisinage def₀.

On cherche à appliquer le Théorème d’inversion locale àϕenf₀:Eest bien un Banach (cf

énoncé) etϕest de classeC¹ (cf c)). Par ailleursDϕ(f0)est bijective d’après la question i). Il reste à montrer que(Dϕ(f₀))⁻¹ est continue. Sik ∈ E on a, cf i),(Dϕ(f₀))⁻¹(k) : x 7→ − k(x)

sin(1 +x) et donc k(Dϕ(f₀))⁻¹(k)k∞ ≤ 1

sin(1 +x)

∞

× kkk∞ (la fonction x 7→ _sin(1+x)¹ est bien dans E puisque sin(1 +x) ne s’annule pas). D’où (Dϕ(f₀))⁻¹ est continue (de norme inférieure ou égale

1 sin(1 +x)

∞

). On peut donc appliquer le théorème d’inversion locale àϕenf₀.

e) Soitf₁ ∈ E définie par f₁(x) = x. Peut-on appliquer le théorème d’inversion locale en f₁? Justifiez votre réponse.

Pour pouvoir appliquer le théorème en f₁ il faut en particulier que Dϕ(f₁) soit bijective de E dans E. On remarque que f₁(0) = 0 et donc en particulier sin(f₁(0)) = 0. Ainsi, quelque soit h∈E, on a(Dϕ(f1)(h))(0) =−h(0) sin(f1(0)) = 0. L’image de n’importe quelle fonctionhest une fonction qui s’annule en 0. Dϕ(f1)n’est donc pas surjective deE dansE (les fonctions ne s’annulant pas en 0n’ont pas d’antécédent) et donc pas bijective. On ne pourra pas appliquer le théorème enf₁.

f)Etant donnée´ f ∈ E, donner une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir appliquer le théorème d’inversion locale enf.

On va montrer qu’on peut appliquer le th´eor`eme enf si et seulement si la fonctionsin(f(x))ne s’annule pas sur[0,1], i.e. f(x)∈/ πZpour toutx∈[0,1].

• Si sin(f(x))s’annule en x₀ ∈ [0,1], par le même raisonnement qu’au e) on montre que pour touth∈Eon aurait(Dϕ(f)(h))(x₀) = 0et doncDϕ(f)ne pourra pas être surjective et donc pas bijective. On ne pourra donc pas appliquer le théorème.

• Si maintenant sin(f(x))ne s’annule pas sur[0,1], on raisonne comme au d). On montre que Dϕ(f) est bijective et que sa r´eciproque est d´efinie par, sik ∈ E: (Dϕ(f))⁻¹(k) : x 7→ − k(x)

sin(f(x)). Cette dernière est bien dans E puisque sin(f(x))ne s’annule pas. Il reste alors à montrer que(Dϕ(f))⁻¹est continue, c’est le même raisonnement qu’au d)ii), on a

k(Dϕ(f))⁻¹(k)k∞≤ 1

sin(f)

∞× kkk∞

et donc(Dϕ(f))⁻¹ est continue (de norme inf´erieure ou ´egale 1

sin(f)

∞

).