TS Correction Fiche TP 14 2012-2013
1. (a) g est définie parg(x) = Z x
1
f(t) dtavecf continue sur [1;x] pour toutx∈]0; +∞[, ainsig est la primitive def sur ]0; +∞[ qui s’annule en 1 :f est donc la dérivée de gsur ]0; +∞[.
(b) Il en résulte que le signe deg′(x) est celui def(x) ou encore celui de ln(x) puisquex2>0.
lnx <0⇔0< x <1⇔g′(x)<0 etg′(x)>0⇔x >1.
La fonctiong est décroissante sur ]0; 1] et croissante sur [1; +∞[.
g(1) = 0 est donc le minimum degsur ]0; +∞[.
2. La fonction f est continue et positive sur l’intervalle [1; 3], alors g(3) = Z 3
1
f(t)dt est donc égale à l’aire, en unités d’aire, de la surface limitée parCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= 1 etx= 3.
De mêmeg 12
= Z 12
1
f(t) dt=− Z 1
1 2
f(t) dt. On a vu que sur l’intervalle d’intégration la fonctionf est négative donc l’intégrale est négative etg 12
est positif et représente, en unités d’aire, de la surface limitée parCf, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x= 12 et x= 1.
3. (a) On dérive la fonctionF :x7−→1−lnx+ 1
x et on trouve la fonctionf :x7−→ lnx
x2 doncF estuneprimitive def sur ]0; +∞. OrF(1) = 0 doncF est l’unique primitive def qui s’annule en 1, c’est doncg.
(b) On ag(x) = 1−lnx x − 1
x. La limite des deux derniers termes est clairement nulle, donc :
x→+∞lim g(x) = 1.
0.5 1.0 1.5
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
−2.5
−3.0
−3.5
−4.0
1 2 3 4
−1
−2 O
Cf
g(3) =aire du domainerouge
g 1
2
= aire du domainevert
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