M2 Ing´eni´erie financi`ere. Universit´e d’EVRY 2005-2006 M. Jeanblanc
Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 05
Le processusW est un mouvement Brownien issu de 0, Ft=σ(Ws, s≤t) sa filtration naturelle.
Les exercices 1 et 2 doivent ˆetre r´esolus sans documents pendant la premi`ere heure.
Vous pouvez rendre votre copie avant la fin de la premi`ere heure, pour passer aux exer- cices suivants pour lesquels vous avez droit aux documents.
1. On consid`ere, pourδ >0 la solutionY(δ)de dYt(δ)=δ dt+ 2
q
Yt(δ)dWt, Y0(δ)=y≥0. On admet que ce processus existe (et qu’il reste positif).
(a) Quelle est la dynamique du processusX(δ)=√ Y(δ).
(b) Montrer que, pour toute fonctionf ∈C2(]0,∞[) le processus f(Xt(δ))−
Z t
0
Af(Xs(δ))ds, t≥0 est une martingale locale, o`u Aest un op´erateur que l’on d´efinira.
(c) Soitλ >0 donn´e. On se place dans le casδ= 2 et on noteXt=Xt(2). Montrer que Lt= (Xt)λexp
µ
−λ2 2
Z t
0
ds Xs2
¶
est une martingale locale.
2. SoitS le prix d’un actif financier de dynamiquedSt=St(µtdt+σtdWt+ϕtdBt) o`u µ, σ, ϕsont des processus adapt´es par rapport `a la filtration engendr´ee par les mouvements BrownienB et W, suppos´es ind´ependants. L’actif sans risque est de tauxr= 0. Trouver toutes les martingales mesure ´equivalentes. Le march´e est-il complet? sans arbitrage? Pourrait-on ´ecrire diff´eremment cette dynamique dans le cas de coefficients d´eterministes? dans le cas g´en´eral?
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3. Soitθ une constante etLla solution de dLt=LtθdWt, L0= 1.
(a) CalculerE(LTlnLT|Ft) par les deux m´ethodes suivantes i. En utilisant le th´eor`eme de Girsanov
ii. En calculant la dynamique du processes (Yt=LtlnLt, t≥0) (b) Soitαune constante. CalculerE(LαT|Ft).
4. Soit
Xt=eµteσBt−12σ2t, Yt=eνteγWt−12γ2t
o`uB et W sont des MB corr´el´es,µ, ν, σ, γ des constantes. CalculerE(XtYt).
5. (tir´e d’articles de Brigo. D.)Un processusX est dit processus de Vasicek si sa dynamique est de la formedXt=k(µ−Xt)dt+σdWt o`u k, µ, σ sont des constantes. SoitX et Y deux processus de Vasicek
dXt=k(µ−Xt)dt+σdWt
dYt=k(θ−Yt)dt+νdBt
o`uW etB sont des MB corr´el´es.
(a) SoitUt=λXt. Montrer que le processusU est un processus de Vasicek.
1
(b) Quelle est la dynamique deX2?
(c) SoitZ =X+Y. Montrer que le processusZ est un processus de Vasicek.
(d) Quelle dynamique suit le processusXet=Xt−µ? En utilisant des r´esultats vus en TD, donner la loi de la v.a. Rt
0Xesds? En d´eduire le calcul deE(exp−RT
0 Xsds) et deE(exp−RT
0 (Xs+ Ys)ds)
6. Le march´e financier est celui de Black Scholes: un actif sans risque de taux constantret un actif risqu´e
dSt=St(µdt+σdWt)
o`uµetσsont des constantes. SoitX la richesse d’un agent qui investit dans le march´e en utilisant un portefeuille autofinan¸cantπ(πest un processus adapt´e). On rappelle que
dXt=rXtdt+πt(dSt−rStdt)
On ne demande pas de d´emontrer ce r´esultat, on se contente d’utiliser cette formule.
(a) Quelle est la probabilit´e risque neutre? On noteraQcette probabilit´e. Montrer que (Xte−rt, t≥ 0) est une Q-martingale locale. Dans la suite, on admettra que π est bien choisi et que (Xte−rt, t≥0) est uneQ-martingale.
(b) L agent financier souhaite obtenir une richesse terminale ´egale `a H o`u H est une variable al´eatoireFT mesurable donn´ee.
i. Donner la valeur deXten fonction deH.
ii. Quelle doit ˆetre la richesse initiale de l’agent?
iii. Que doit-il faire pour obtenir une richesse terminale de H?
iv. Quel est le portefeuille utilis´e siH est une constante?
v. Montrer que siH est positive, la richesse de l’agent sera positive `a tout instant.
vi. Ecrire la dynamique de Zt = lnXt et calculer EP(ln(XT)) en fonction de π et de la richesse initiale de l’agent.
vii. Trouverπqui maximiseEP(ln(XT)).
(c) L’agent souhaite profiter de la vie et consommer. Sa richesse est alors mod´elis´ee par dXt=rXtdt+πt(dSt−rStdt)−ctdt
o`uc est un processus positif donn´e (ce sera la consommation) i. Montrer que le processusYt=Xte−rt+Rt
0e−rscsdsest uneQ-martingale (locale). Dans la suite, on admettra queπest bien choisi et que (Yt, t≥0) est uneQ-martingale.
ii. Quelle doit ˆetre la richesse initiale de l’agent qui souhaite consommer c et avoir une richesse terminale deH?
iii. Montrer que siH est positive, la richesse de l’agent sera positive `a tout instant.
7. Le march´e financier comporte un actif sans risque de taux constantret un actif risqu´e dSt=St(µdt+σdWt)
(a) SoitMT = supt≤TSt. En utilisant les r´esultats du cours sur la loi deTa= inf{t : Wt+νt≥ a}, expliciter la loi de MT. On notera f(µ, σ, T;x) la densit´e deMT, soit f(µ, σ, T;x)dx= P(MT ∈dx). Quel serait le prix d’un actif de payoffMT = supt≤TSt? (On ne demande pas de faire les calculs, mais de pr´eciser clairement quels types de calculs il conviendrait de faire, en utilisant la densit´ef(r, σ, T;x).
(b) Soitaune constante. Quel serait le prix d’un actif de payoffSTa?
(c) Un call Europ´een sur le sous-jacentSde strikeK, de maturit´eT∗est n´egoci´e sur le march´e (son payoff est (ST∗−K)+). On note Ct le prix de ce call `a la date t. Soit T < T∗. On consid´ere un call de maturit´eT sur le call C. Quels calculs serez vous amen´es `a faire pour
´evaluer ce produit? (On ne demande pas de faire les calculs, mais de pr´eciser clairement quels types de calculs il conviendrait de faire)
2
Corrig´e succint.
En d´erivant par rapport `ax
Q(Xt∈dx, mXt ≤y) = 1
√2πte2νyexp Ã
−1 2
µ−x+ 2y+νt
√t
¶2! .
Par d´efinition deX,
Q(Xt∈dx) = 1
√2πtexp Ã
−1 2
µx−νt
√t
¶2!
Il reste `a noter que 2νy−1
2
µ−x+ 2y+νt
√t
¶2 +1
2
µx−νt
√t
¶2
= 2νy− 1 2t
¡4y2+ 4y(−x+νt)¢
=−2 t
¡y2−yx¢
Ex 2
EQ(eλBT11τ <T) = EP(LTeλBT11τ <T)
= EP(eλ(WT+(τ∧T))11τ <Texp(−Wτ∧T −1 2τ∧T))
= EP(eλ(WT+τ)11τ <Texp(−Wτ−1 2τ))
= Z T
0
duf(u)EP(eλ(WT+u)exp(−Wu−1 2u))
= Z T
0
duf(u)eλu−12uEP(eλ(WT−Wu)e(λ−1)Wu)
= Z T
0
duf(u)eλu−12ue12λ2(T−u)e12(λ−1)2u)
= e12λ2T Z T
0
duf(u)
Ex Brigo Il faut utiliserE(AeB) quandAet B sont des gaussiennes correlles Ex 5 Le plus simple est d’utiliser IP,
E(XtYt) = 1 + Z t
0
(ν+µ+σγρ)E(XsY)ds et de r´esoudre cette EDO.
SoitdLt = λtLtdt. Calculer la dynamique de L2. Calculer explicitement E(L2t|Ft) dans le cas λ constant.
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