Examen M´ethodes variationnelles, Jeudi 16 d´ecembre 2010

Examen M´ethodes variationnelles, Jeudi 16 d´ecembre 2010

Exercice 1 :

Soit X = {f ∈ C([0,1]), f(0) = 0}. On munit X de la norme ||f||∞ = sup_x∈[0,1]|f(x)|.

Soit u d´efinie sur X par u(f)(x) =

( ₁

x

Rx

0 f(t)dt pour x6= 0 0 en 0

1)

1a) Montrer que u est une application lin´eaire continue de X dans X.

Montrer que sa norme est inf´erieure ou ´egale `a 1.

1b) Soit la suite

f_n(x) =

( nx six < ¹_n 1 si x∈[¹_n,1]

Repr´esenter graphiquement f_n. 1c) Montrer que ||f_n||∞= 1.

1d) Calculer |u(f_n)|(1).

1e) Rappeler la d´efinition de la norme d’une application lin´eaire continue.

En d´eduire que

||u||= 1.

2) On veut montrer qu’il n’existe pas de f non identiquement nulle telle que

||u(f)||∞=||f||∞.

Pour cela on suppose par l’absurde qu’un tel f existe.

2a) Soit g = _||f^f_||

∞. Remarquer que g ∈X et est de norme 1, et ||u(g)||= 1.

1

2b) Montrer que h = |g| est aussi dans X , est `a valeurs positives ou nulles et ||u(h)||= 1.

2c) Montrer qu’il existe x_o 6= 0 tel que ^R₀^xoh(t)dt =x_o. Conclure.

Exercice 2

Soit f d´efinie sur IR² par f(x, y) =







sin(x+y)x√

x²+y² si (x, y)6= (0,0) 0 sinon

1) Montrer que f est continue.

2) Montrer quef est de classeC¹ sur IR²\ {0,0}. Calculer sa diff´erentielle sur ce domaine.

3) Calculer

h→0,h>0lim

f(h,0)−f(0,0) h

et

h→0,h<0lim

f(h,0)−f(0,0) h

Montrer que f n’est pas diff´erentiable en (0,0).

Exercice 3

Soit la fonction d´efinie sur IR² par f(x, y) =x²+y²−xy+x−y+ 1.

1) Calculer en le (ou les ) point (s) critique(s) de f.

2) Calculer la matrice de D²f en le (ou les ) point (s) trouv´es.

3) Trouver les extrema et calculer le minimum de la fonction. Quel est le maximum de la fonction?

Exercice 4 :

Soit C₀²([0,1]) = {f ∈ C²([0,1]), f(0) =f⁰(0) = 0}.

1) Montrer que ||f⁰⁰||_∞ = sup_x∈[0,1]|f⁰⁰|(x) est une norme sur C₀²([0,1]).

Montrer que si f ∈ C₀²([0,1]),

|f|∞ ≤ |f⁰|∞ ≤ |f⁰⁰|∞

On admet que C₀²([0,1]) est un espace de Banach, muni de cette norme.

2) Soit g ∈ C([0,1]). Montrer qu’il existe un et un seul h∈ C₀²([0,1]) qui satisfait h⁰⁰(x) +h⁰(x) = g(x) pour x∈]0,1[.

2

( On pourra multiplier par e^x l’´equation).

3) Montrer que l’application qui `a g associe h est lin´eaire continue de C([0,1]) sur C₀²([0,1]).

4) On consid`ere pour f ∈ C₀²([0,1]), l’application φ(f) =f⁰⁰+f⁰+f³.

Montrer que φ est diff´erentiable sur C₀²([0,1]), `a valeurs dans C([0,1]). Cal- culer sa diff´erentielle.

5) Montrer que Dφ(0) est un hom´eomorphisme deC₀²([0,1]) sur C([0,1]).

En d´eduire, en utilisant le th´eor`eme d’inversion locale qu’il existe un voisinage de 0 dans C₀²([0,1]) sur lequel φ est un C¹ diff´eomorphisme de C₀²([0,1]) sur un voisinage de 0 dans C[0,1].

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