Examen d’analyse de Fourier, Jeudi 16 d´ecembre 2010

Examen d’analyse de Fourier, Jeudi 16 d´ecembre 2010

Exercice 1:

On consid`ere la fonction pour α ∈IR, α 6= 0, f(t) =

( e^αt, t∈[0, π[

−e^−αt, t∈]−π,0[

prolong´ee par p´eriodicit´e `a IR.

1) Montrer que la fonctionf est de classeC¹ par morceaux. Est-elle continue?

Tracer le graphe de la courbe.

2) Calculer les coefficients de Fourier de f.

3) Montrer la convergence de la s´erie de terme g´en´eral

∞

X

p=0

(−1)^p(2p+ 1) α²+ (2p+ 1)² et calculer cette somme.

4) Calculer la somme

∞

X

n=0

(e^απ(−1)ⁿ−1)²n² (α²+n²)² . Exercice 2:

1) Montrer que la fonction x 7→ πe^−2π|x| appartient `a L<sup>1</sup>(IR). Calculer sa transform´ee de Fourier . En d´eduire en justifiant le th´eor`eme utilis´e la trans- form´ee de Fourier de x7→ _1+x¹ 2.

2) En d´eduire pour a6= 0 la transform´ee de Fourier de x7→ _1+a¹2x². 3) Calculer pour a6= 1 F_(1+x2)(1+a^{1 2}x²)

. 4) On veut calculer F_(1+x¹2)²

.

1

a) Calculer F_(1+x^x2)²

.

b) Montrer que la fonction y7→ye^−2π|y| est de classe C¹. c) D´eduire de ces deux r´esultats la valeur de F_(1+x^x22)²

. d) En d´eduire F_(1+x¹2)²

.

Exercice 3:

On note U(t) =

( 1 si t >0 0 sinon .

Donner l’abscisse de convergence pour la fonction f(t) =U(t)(t²+ 1) cos(3t) et calculer sa transform´ee de Laplace.

Exercice 4:

Calculer la solution de l’ ´equation diff´erentielle

( y⁰⁰+ 2y⁰+y =te^−t pourt ∈[0,∞[

y(0) = 0, y⁰(0) = 1 On pourra utiliser la transform´ee de Laplace.

Retrouver le r´esultat en utilisant un th´eor`eme du cours sur les solutions d’´equations diff´erentielles `a coefficients constants.

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