Examen d’analyse de Fourier 18 d´ecembre 2012
Exercice 1:
On consid`ere la fonction
f(x) =
ex six∈[0, π]
0 x∈]−π,0[
prolong´ee par p´eriodicit´e.
1) D´eterminer les d´eriv´ees `a droite et `a gauche de f aux pointsx= 0 etx=π. Montrer que la fonction f est de classe C1 par morceaux.
2) V´erifier que les coefficients de Fourier de f sont donn´es par :
an= 1 π
eπ(−1)n−1
1 +n2 , bn=−n π
eπ(−1)n−1 1 +n2 et ´ecrire la s´erie de Fourier def
3) En utilisant le th´eor`eme de Dirichlet, pr´eciser la somme de cette s´erie de Fourier `a l’aide def. En d´eduire la valeur de la somme :
U =
∞
X
0
eπ(−1)n−1 1 +n2 puis de celle de :
V =
∞
X
0
(−1)neπ(−1)n−1 1 +n2 En d´eduire les valeurs des sommes
∞
X
0
1 1 + (2p)2
et ∞
X
0
1 1 + (2p+ 1)2 puis de celle de
∞
X
0
1 1 +n2
En utilisant le th´eor`eme de Dirichlet aux pointsπ/2 et−π/2, dterminer les valeurs des sommes
T =
∞
X
0
(−1)p(2p+ 1) 1 + (2p+ 1)2, S=
∞
X
0
(−1)p 1 + (2p+ 1)2
Exercice 2:
On rappelle que la transform´ee de Fourier dex7→e−πx2 est la fonctionλ7→e−πλ2. 1) Montrer que la fonctionf d´efinie par :
f(x) =e−πx2−2πx appartient `a L1(IR).
2) Calculer sa transform´ee de Fourier (On pourra utiliser la variablex+ 1).
3) En pr´ecisant les hypoth`eses de validit´e des th´eor`emes utilis´es, en d´eduire les transform´ees de Fourier de x7→xf(x).
et def0.
1
