Université de Cergy-Pontoise - Licence L3-S5 - Session 1 - Mardi 19/12/2017
Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe
Durée : 3h00 - Documents, calculatrice, ordinateur et téléphone portable ne sont pas autorisés Les 5 exercices sont indépendants.
Exercice I :
Soitf :R→Rla fonction2πpériodique dénie parf(x) = π−|x|pourx∈[−π, π]. 1) Tracer le graphe de f sur[−3π,3π]. Quelle est la parité de f sur [−π, π]?2) Montrer quef estC0 etC1 par morceaux surR. Quels sont les points de discontinuité de f0? 3) Pourn ≥1, on note an le coecient decos(nx),a0/2 le coecient constant et bn le coecient
desin(nx) dans la série de Fourier de f. (a) Que vaut bn pourn ≥1?
(b) Montrer que∀n ≥1, an = 2(1−(−1)n) πn2 . 4) Justier, pour tout x∈R, l'égalité
f(x) = π 2 + 1
π
+∞
X
n=0
4
(2n+ 1)2 cos((2n+ 1)x).
5) En déduire queα =
+∞
X
n=0
1
(2n+ 1)2 = π2 8 . 6) Soit S =
+∞
X
n=1
1
n2. Montrer que S =α+S
4 et retrouver ainsi la valeur deS.
Exercice II :
Soit z un nombre complexe,z 6= 1. Montrer que :|z|= 1 ⇐⇒ 1 +z 1−z ∈iR. (Indication : on pourra écrire z de module 1 sous la forme eiθ, ou bien donner une interprétation géométrique)Exercice III :
Pour (x, y)∈R2, on pose P(x, y) =x2−y2+ 5x+y.1) Calculer les dérivées partielles ∂P
∂x et ∂P
∂y.
2) Soit Q:R2 →R une fonction diérentiable sur R2 telle que la fonction f :C→C dénie par f(z) =P(x, y) +iQ(x, y), si z =x+iy
soit holomorphe sur C.
(a) Ecrire les relations qui lient les dérivées partielles ∂Q
∂x, ∂Q
∂y, ∂P
∂x et ∂P
∂y. (b) En utilisant l'expression de ∂Q
∂y, en déduire queQ(x, y) = 2xy+ 5y+b(x), oùb :R→R est une fonction dérivable.
(c) Calculer alors ∂Q
∂x et en déduire que b0(x) =−1 pour toutx∈R.
(d) Préciser l'expression de Q(x, y).
3) Montrer que la fonction f est donnée par : ∀z ∈C, f(z) = z2+ (5−i)z+iB, avec B ∈R.
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Exercice IV :
Soit f la fonction complexe dénie parf(z) = eiz ez+e−z.1) (a) Quel est le domaine de dénition de f? Sur quel ouvert maximal Ω de C est-elle holo- morphe ?
(b) Préciser quelles sont les singularités def et quelle est leur nature.
(c) Soit g : C → C∗ et h : C → C deux fonctions holomorphes sur C, avec g ne s'annulant pas sur C. On suppose qu'il existe α ∈ C tel que h(α) = 0 avec h0(α) 6= 0. Montrer que la fonction φ = g
h est bien dénie sur D(α, r)\ {α} pour r >0assez petit et qu'elle a un pôle simple en α. Montrer que son résidu en α vaut
Res (φ, α) = lim
z→α(z−α)φ(z) = g(α) h0(α). (d) Déterminer le résidu def eniπ/2.
2) SoitR >0etΓ(R)le rectangle de sommets−R, R, R+iπ,−R+iπ orienté dans le sens direct.
On notera par γ1(R) le segment orienté de −R à R, γ2(R) le segment orienté de R à R+iπ, γ3(R) le segment orienté de R+iπ à −R+iπ et γ4(R)le segment orienté de −R+iπ à−R.
(a) Faire un dessin du contour (lacet) Γ(R) pour un R >2π et placer sur le dessin trois des singularités de f les plus proches du contour. Qu'observe-t-on ?
(b) Donner l'expression deZ
Γ(R)
f(z)dz en fonction des résidus de f et en déduire sa valeur.
(c) Justier l'inégalité : Z
γ2(R)
f(z)dz
≤ π
eR−e−R. (d) Justier : Z
γ2(R)
f(z)dz+ Z
γ4(R)
f(z)dz −−−−→R→+∞ 0. (e) Montrer que : Z
γ3(R)
f(z)dz =e−π Z
γ1(R)
f(z)dz. (f) Justier : Z +∞
−∞
cosx
ex+e−xdx= lim
R→+∞
Z +R
−R
cosx ex+e−xdx. 3) En déduire que : Z +∞
−∞
cosx
ex+e−xdx = π eπ/2+e−π/2.
Exercice V :
Soit f la fonction dénie par f(z) = z2−5 (z−1)2(z−3)1) (a) Quel est le domaine de dénition Ωde f? Vérier que l'on a
∀z ∈Ω, f(z) = 2
(z−1)2 + 1
z−3 (∗) (b) Préciser quelles sont les singularités def, leur nature et leur ordre.
2) (a) Rappeler le développement en série entière de 1
z−1 et en déduire que 1
(z−1)2 =
+∞
X
n=0
(n+ 1)zn pour|z|<1.
(b) Utiliser(∗) et 2) (a) pour montrer que
f(z) =
+∞
X
n=0
2n+ 2− 1 3n+1
zn pour|z|<1.
3) (a) Soitα >0. En écrivant que 1
z−α = 1
z × 1
1−α/z pour|z|> α, donner le développement en série de puissances de 1/z de 1
z−α.
(b) A l'aide de 3)(a) pour α= 1 et α= 3, montrer que l'on a
f(z) =
+∞
X
n=1
2n−2 + 3n−1
zn pour |z|>3.
