Examen d’analyse complexe et analyse de Fourier

L3 - S1 - 2015-2016 - Session 2 : 21 Juin 2016

Examen d’analyse complexe et analyse de Fourier

Durée: 2heures

Exercice 1 :

Soit(a, b)∈R². Pour(x, y)∈R²,z =x+iy, on poseP(x, y) =ax² +abxy+by². On veut étudier l’existence des applicationsf holomorphes surCtelles queRef =P (partie réelle def).

1)Rappeler les conditions de Cauchy-Riemann pourf =P+iQet ensuite énoncer une condition nécessaire et suffisante pour quef soit holomorphe surC.

2)Calculer les dérivées partielles ^∂P_∂x, ^∂P_∂y, puis résoudre l’équation ^∂P_∂x = ^∂Q_∂y en inconnueQ.

3) Remplacer la solution Q obtenue précédemment en l’équation ^∂P_∂y = −^∂Q_∂x et montrer qu’on obtient Q(x, y) = ¹₂ab(y²−x²)−2bxy+µoùµ∈Rest une constante.

4)RemplacerQainsi obtenue dans l’équation de la question 2 et trouver une condition portant suraetb.

5)Présenter le résultat, en donnant explicitement la famille de fonctionsf holomorphes surCqui vérifient f =P +iQ.

Exercice 2 :

Soitf :C^∗ →C,f(z) = z+ 1 z². 1)Montrer que les racines de l’équation f(z) = 1

z sont nécessairement desréelsαqui vérifient l’équation α³−α+ 1 = 0.

2)Donner les expressions deP =Ref etQ=Imf (parties réelle et imaginaire def).

3)Soitg :C^∗ →C,g(z) = 1 z².

3.a)Indiquer (en justifiant la réponse) le domaine d’holomorphie deg.

3.b)Donner le développement en série de Laurent degenz₀ = 0, en indiquant la partie singulière et la partie régulière (de Taylor) de celui-ci.

3.c)En déduire la valeur de Res(g; 0), le résidu degenz₀ = 0.

3.d) Indiquer (sans calcul mais en justifiant la réponse) le domaine de convergence du développement en série de Laurent degenz1 = 2.

3.e) Donner la partie singulière et les premiers termes (jusqu’à l’ordre 1) de la partie régulière (de Taylor) du développement en série de Laurent degenz₁ = 2.

3.f)En déduire Res(g; 2), le résidu deg enz₁ = 2.

4)Calculer les intégralesJ₀ = Z

∂B(0;1)

zdz etJ₁ = Z

∂B(2;1)

zdz, où∂B(z;r)désigne la frontière de la boule de centrez et rayonrparcourue en sens direct. [ Indication: intégrales curvilignes]

5)En déduire les valeurs des intégralesI₀ = Z

∂B(0;1)

f(z)dzetI₁ = Z

∂B(2;1)

f(z)dz.

Exercice 3 :

Soitf la fonction2π-périodique donnée parf(x) = xpour−π < x ≤π.

1)Déterminer la série de Fourier def.

[On rappelle la forme d’une série trigonométrique réelle: ¹₂a₀+P∞

1 (a_ncos(nx) +b_nsin(nx))] 2)Justifier la relation x

2 =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n sin(nx)si−π < x < π.

3)Déterminer

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1. 4)Déterminer

∞

X

n=1

1

n² . [Indication: formule de Parseval ] [ Note: la question 4 est hors barème (bonus) ]