Analyse de Fourier

Université Lille I 2007-2008 M218 Fiche 4

Analyse de Fourier

Notation : Dans la suite, étant donnée une fonction périodique f de période T , ses coefficients de Fourier sont définies par

a ₀ = 1 T

Z

T

f (x) dx, a _n = 2 T

Z

T

f(x) cos ωnx dx (n > 0), b _n = 2 T

Z

T

f (x) sin ωnx dx (n ≥ 0), où ω = ^2π _T et R

T désigne l’intégrale sur un intervalle de longueur T . Aussi c _n = 1

T Z

T

f(x) exp −iωnx dx.

On désignera par S _N (x) le polynôme trigonométrique S N (x) = a 0 + X

1≤n≤N

a n cos ωnx + b n sin ωnx = X

|n|≤N

c n exp inωx.

Exercice - 1

a) Développer en série de Fourier la fonction 2π-périodique définie sur l’intervalle ] − π, π] par f(x) = 0 si x ∈] − π, 0] et f(x) = 1 si x ∈]0, π].

b) Étudier la convergence de la série et en déduire les valeurs des séries numériques suivantes : X +∞

k=0

(−1) ^k 2k + 1 ,

X +∞

k=0

1 (2k + 1) ² ,

X +∞

k=1

1 k ² ,

X +∞

k=1

(−1) ^k+1 k ² .

Exercice - 2

a) Déterminer la série de Fourier la fonction 2π-périodique impaire, ègale à x sur l’intervalle [0, π[.

Étudier sa convergence.

b) Retrouver la valeur de la somme P _∞

k=0 (−i)

2k+1 . Exercice - 3

a) Déterminer la série de Fourier la fonction 2π-périodique définie sur l’intervalle ] − π, π [ par f (x) = x si x ∈]0, π] et f (x) = π − x si x ∈]π, 2π].

Étudier la convergence.

b) En déduire les relations

X +∞

n=0

1

(2n + 1) ² = π ² 8 ,

X +∞

n=1

1 n ⁴ = π

90 .

1

Exercice - 4

Soit f : R → R périodique de periode T et a _n , b _n , c _n ses coefficients de Fourier.

1. Pour d ∈ R , on considère la fonction g(x) = f(x − d). Exprimer les coefficients de Fourier de g en termes de celles de f. Expliquer pourquoi il est bien plus commode de travailler avec les coefficients complexes.

2. Exprimer les coefficients de Fourier de la fonction g(x) = f (−x) en termes de celles de f.

3. Soit τ > 0. On considère la fonction g _τ (x) = f(τ x). Montrer qu’elle est périodique. Quelle est sa période ? Exprimer ses coefficients de Fourier en termes de celles de f .

4. On considère la fonction périodique, de période 1, définie par f (x) = x lorsque 0 ≤ x < 1/2, f(x) = 0 lorsque 1/2 ≤ x < 1. Tracer son graphe. Calculer ses coefficients de Fourier. Tracer, pour quelques valeurs de N, à l’aide d’une calculatrice graphique, le graphe de S _N et comparer à celui de f.

5. Déterminer, sans autre calcul d’intégrales, les coefficients de Fourier de la fonction g dans la figure ci-dessous.

1 A

x y

6. Tracer, pour N = 1, 2, 3, le polynôme trigonométrique S _N de g. Expliquer pourquoi l’approxi- mation obtenue avec ces valeurs toutes petites de N est bien meilleure pour g que pour f ci-dessus.

Exercice - 5

On considère, pour γ > 0, la fonction

f (x) = X

n∈

exp −γ|x − n|. (1)

1. Montrer que f est périodique de période 1 et paire. Calculer explicitement f(x), pour x ∈ [0, 1].

2. Pour γ = 2, tracer qualitativement la courbe représentative de f, sur [0, 1], puis sur [−5, 5].

Trouver une façon intelligente de tracer la courbe représentative de f sur [−5, 5], en se servant d’une calculatrice graphique.

3. Montrer que f s’écrit

f (x) = a ₀ + X

n≥1

a _n cos 2πnx + b _n sin 2πnx,

2

avec b _n = 0 et a ₀ =

Z _+∞

−∞

exp −γ|x| dx a _n = 2 Z _+∞

−∞

cos 2πnx exp −γ|x| dx (n > 0).

Calculer explicitement les a n .

4. Soit γ = 2. A l’aide d’une calculatrice graphique, tracer, pour diverses valeurs de N , le graphe de

S N (x) = X N

n=0

a n cos 2πnx.

Comparer le résultat au graphe de f . Expliquer qualitativement pourquoi l’accord est déjà très bien lorsque N = 1, 2. Où la différence entre f et S ₂ se fait-elle sentir le plus ? Pourquoi ? Que se passe-t-il lorsque N augmente ? Pourquoi ?

5. Calculer le polynôme de Taylor de la fonction f à l’ordre 2 en x = 1/2. Pour γ = 2, le comparer sur [0, 1], puis sur [−2, 2] à S _N , pour N = 1, 2. Que peut-on dire sur la qualité de l’approximation obtenue ?

6. Calculer

X ∞

k=0

1 1 + k ² ,

X ∞

k=0

1 (1 + k ² ) ² . 7. On considère, pour γ > 0, 0 < d < 1, la fonction

g(x) = X

n∈

exp −γ|x − d − n|.

Montrer que g(x) = f (x − d) et utiliser le résultat de l’Exercice 1.1 pour déterminer ses coeffi- cients de Fourier.

8. On considère la fonction h(x) = f (x) + f (x − 0.4). Ecrire un polynôme trigonométrique d’ordre 2 qui approche bien cette fonction, et vérifier votre choix en utilisant une calculatrice graphique.

Exercice - 6

Soit f : R → R périodique de periode T et a n , b n , c n ses coefficients de Fourier.

1. Pour K ∈ N _∗ , on considère la fonction h _K (x) = cos _K ^ω xf(x). Montrer que h _K est périodique.

Quelle est sa période ? Trouver la série Fourier de h _K en terme de celle de f.

2. Lorsque f (x) = cos 2πx, tracer f et h _K , pour quelques valeurs de K entre K = 10 et K = 20, à l’aide d’une calculatrice graphique. Expliquer l’allure des graphes.

3. Soit maintenant

f(x) = X +∞

k=1

exp −2k cos 2πkx.

Expliquer pourquoi, même pour des petites valeurs de N , f est bien approchée par le polynôme trigonométrique

S N (x) = X N

k=1

exp −2k cos 2πkx.

Vérifier ceci à l’aide d’une calculatrice graphique. Trouver une bonne approximation du graphe de h _K et expliquer son allure générale.

3

Exercice - 7 Extrait de l’examen de juin 2006

On considère pour a > 0 la fonction f _a définie pour tout x ∈ R par f _a (x) = | sin(ax)|.

(a) Montrer que f _a est une fonction paire, périodique de période T _a que l’on déterminera. Faire un tracé rapide de l’allure du graphe de cette fonction pour a = 1, a = 1/2.

(b) On pose maintenant g(x) = | sin ^x ₂ |. Déterminer ses coefficients de Fourier a _n (g) et b _n (g).

(c) Calculer les sommes P _∞

n=1 1

4n

−1 et P _∞

n=1 1 (4n

−1)

Exercice - 8 Extrait de l’examen de septembre 2006

On considère la fonction f 2π-périodique définie pour x ∈ [−π, π] par f(x) = e ^−|x| . (Esquisser un dessin).

(a) Déterminer le développement en série de Fourier de f , S _f (x) = a ₀ +

X ∞

n=1

(a _n (f ) cos nx + b _n (f ) sin nx).

(b) En calculant S _f (0), S _f (π), puis S _f (0) + S _f (π), montrer que X +∞

m=1

1

1 + 4m ² = 1 2

µ π 2

1 + e ^−π 1 − e ^−π − 1

¶ .

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