UJF 2015-2016 UE MAT237 DM `a rendre dans la semaine du 12/10 Exercice 1
On consid`ere la courbe Γ param´etr´ee sur I =]−1,1[ parx(t) = t2
1−t, y(t) = t4 1−t2·
1) V´erifier que la courbe Γ poss`ede un seul point singulierS. Pr´eciser la tangente en S puis la nature de S [on pourra utiliser un d´eveloppement limit´e en ce point].
2) Montrer que Γ admet deux droites asymptotes que l’on d´eterminera.
3) Etudier la convexit´e de Γ
[on pourra factoriser δ=x0y00−x00y0 `a la main ou, `a d´efaut, en utilisant une calculette].
4) Dresser un tableau de variation de x(t) et y(t) sur ]−1,1[.
5) Tracer la courbe Γ.
Corrig´e succinct
Exercice 1. On a
x(t) = t2 1−t y(t) = t4
1−t2
x0(t) = t(2−t) (1−t)2 y0(t) = 2t3(2−t2)
(1−t2)2
x00(t) = 2 (1−t)3
y00(t) = 2t2(6−3t2+t4) (1−t2)3 1) On a x0(t) =y0(t) = 0 ⇐⇒ t= 0 etx(t) =t2(1 +o(t)) ety(t) =t4(1 +o(t2)) ce qui donne
(x(t), y(t)) = (t2+o(t2))(1,0)+(t4+o(t4)(0,1) et doncp= 2 et la tangente enS= (x(0), y(0)) = (0,0) est dirig´ee pas le vecteur (1,0) etq = 4 doncS est un point de rebroussement de seconde esp`ece.
2) Il y a deux branches infinies. Lorsquet→ −1+,x(t)→1/2 ety(t)→+∞d’o`u l’asymptote verticale d’´equation x= 2. Lorsquet→1−, on constate quey/x→1/2 et ensuite que y−x/2→ −3/4 ce qui donne pour asymptote la droite d’´equation y=x/2−3/4.
3)δ=x0y00−x00y0=−2(t3−6t−8)t3
(1−t2)3 est du signe detcarh(t) =t3−6t−8 reste n´egatif sur [−1,1], du fait que h0(t) = 3t2−6<0 sur [−1,1] eth(−1) =−3<0.
4) Tableau de variation pour t∈]−1,1[ :
t −1 0 1
x0 −3/4 − 0 + +∞
x 1/2 & 0 % +∞
y0 −∞ − 0 + +∞
y +∞ & 0 % +∞
5)
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
La courbe Γ
Exercice 2
Soit la spirale d’Archim`edeC d’´equation polairer(θ) =θ avec θ∈R. On note h(θ) = (θcos(θ), θsin(θ))∈R2 le point de C de param`etreθ.
1) Calculer le vecteur vitesse h0(θ) puis la longueur de C entre les points h(0) et h(1) [changement de variable θ= shx conseill´e].
2) D´eterminer l’angle V entre −−−→
Oh(θ) et h0(θ).
3) D´eterminer le rep`ere de Frenet (~t(θ), ~n(θ)) deCau pointh(θ). Donner une construction g´eom´etrique du rep`ere (~t(1), ~n(1)).
4) Calculer la courbure sign´eek(θ) au point h(θ).
Corrig´e succinct
1) h0(θ) = eiθ +θieiθ. Comme les vecteurs ~u(θ) et ~v(θ) d’affixes eiθ et ieiθ sont orthogonaux et unitaires, on a ||h0(θ)||=√
1 +θ2 et donc la longueurL de C entre les pointsP(0) et P(1) est avec a= argsh 1 = ln(1 +√
2) :
L= Z 1
0
p1 +θ2dθ = Z a
0
p1 + sh2xchxdx= Z a
0
1
2(ch 2x+ 1)du=h1
4sh 2x+x 2
ia 0=
√2
2 +ln(1 +√ 2)
2 ·
[changement de variable θ= shx].
2) Toujours dans le rep`ere orthonorm´e (~u(θ), ~v(θ)), la pente du vecteur h0(θ) est tanV =θ et donc V = arctanθ.
3) Le vecteur~t(θ) est d’affixeh0(θ)/√
1 +θ2et~n(θ) celui d’affixeih0(θ)/√
1 +θ2. Construction g´eom´etrique du rep`ere (~t(1), ~n(1)) : il s’obtient du rep`ere (~u(1), ~v(1)) en tournant deV = arctan 1 =π/4.
4) L’acc´el´eration esth00(θ) =−θeiθ+ 2ieiθ donc ∆ = 2 +θ2 d’o`u la courbure sign´ee au point h(θ)
k(θ) = ∆
|h0(θ)|3 = 2 +θ2 (1 +θ2)3/2·
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