En économie, en démographie et dans d'autres sciences, on parle souvent de croissance exponentielle pour évoquer une croissance rapide. C'est dire l'importance primordiale de ces fonctions dans les applications … et pour la culture générale !
L'économiste anglais Thomas Robert Malthus ( 1766-1834 ) constate un accroissement de la population mondiale selon une suite géométrique alors que les subsistances augmentent selon une suite arithmétique.
Mais qui a inventé le nombre e ?
C'est Léonhard Euler mathématicien de génie né en Suisse en 1707 et mort à Saint-Pétersbourg en 1783.
E1 Activité d'approche.
N ° 1
1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
x − 2 − 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
ex
2. Tracer la courbe de la fonction qui à x associe ex. 1 Définitions.
Définition
La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction qui, à tout nombre réel x, associe le nombre réel strictement positif ex, où e est le nombre tel que ln ( e ) = 1.
Notation : exp ( x ) = ex.
Propriétés
Soit x ∈ et soit y un nombre réel strictement positif Alors y = ex ⇔ ln ( y ) = x
Si x > 0 alors eln(x) = x
Dérivée et sens de variation
La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout nombre réel x, exp ' ( x ) = exp ( x ).
La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur . Autrement dit ea et eb sont rangés dans le même ordre que a et b.
C'est à dire ea = eb ⇔ a = b et ea < eb ⇔ a < b.
Courbe représentative
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Voir feuille annexe.
E2 Savoir dériver des fonctions exponentielles.
N ° 2
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
f ( x ) = 0,2 x3 − ex g ( x ) =
² x ex
h ( x ) = ( x3 − 3x² + 4 ) ex
i ( x ) = 1
x + 2 ex j ( x ) = x ex k ( x ) =
1 x 2
² x
ex +
− E3 Savoir simplifier des écritures.
N ° 3
Soit x ∈, simplifier les écritures des nombres suivants
A = e3x e-x B = 0,5x
1 x 5 , 2
e e +
C = x
2 x 4
e e
−
−
D = ( ex )3
E4 Résolutions d'équations et d'inéquations.
N ° 4
Résoudre dans chacune des équations suivantes.
Donner la valeur exacte puis la valeur approchée à 10-2 près.
A ) ex = 3,7 B ) ex = − 7
6 C ) ex = 0
D ) ex = 3 E ) ex = − 100 F ) ex = 0,003
N ° 5
Résoudre dans chacune des équations suivantes.
Donner la valeur exacte puis la valeur approchée à 10-2 près.
A ) e3x-2 = 1 B ) e-5x+2 = 1
3 C ) e4x-3 = − 2
D ) e6x = 2 E ) e3x = 3 ex F ) 4 e-x+3 = 2 ex-1
N ° 6
Résoudre dans chacune des inéquations suivantes.
A ) ex > 6 B ) ex < 0,81 C ) ex > − 5,3
D ) ex < − 0,07 E ) ex > e F ) ex-2 ≤ 1,5 G ) e4x-3 ≥ 2 2 Fonction du type f ( x ) = eax+b.
Définition
Soient a et b deux réels tels que a ≠ 0.
Soit u la fonction affine définie sur par u ( x ) = ax + b.
Soit f la fonction composée de u suivie de la fonction exponentielle.
Alors f est définie sur par f ( x ) = eax + b.
Dérivabilité
f est dérivable sur et f ' ( x ) = a eax+b.
Sens de variation
Si a > 0 alors f est strictement croissante sur . Si a < 0 alors f est strictement décroissante sur .
E5 Savoir étudier des fonctions du type f ( x ) = eax+b.
N ° 7 Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = e3x+2. 1 ) Calculer f ' ( x ).
2 ) Déterminer le sens de variation de la fonction f.
3 ) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
4 ) Tracer une allure de la courbe de f.
N ° 8
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = e-2x+3. 1 ) Calculer f ' ( x ).
2 ) Déterminer le sens de variation de la fonction f.
3 ) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
4 ) Tracer une allure de la courbe de f.
3 Fonctions exponentielle de base a avec a > 0.
Définition
Soit a un nombre réel strictement positif.
Alors la fonction exponentielle de base a est la fonction qui, à tout nombre réel x, associe le nombre réel strictement positif ax.
Notation f ( x ) = ax
Propriété
Pour tout x réel, ax = exln(a)
Dérivée
La fonction exponentielle de base a est dérivable sur et pour tout x réel f ' ( x ) = ln ( a ) × ax.
Sens de variation
Si 0 < a < 1 alors f est strictement décroissante sur . Si a > 1 alors f est strictement croissante sur .
Exemples de courbes : voir feuilles annexes.
E6 Savoir travailler avec des fonctions exponentielles de base a.
N ° 9
Soit f la fonction définie sur * par f ( x ) = x 75 ,
0 x
.
1 ) Calculer f ' ( x ). En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.
2 ) Démontrer que l'équation f ( x ) = 1 admet une unique solution dans l'intervalle [ 0,5 ; 2 ].
N ° 10
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 0,5x² × 2x + 3
1 ) Calculer f ' ( x ). En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.
2 ) Démontrer que l'équation f ( x ) = 4 admet une unique solution dans l'intervalle [ 0,5 ; 2 ].
Déterminer si possible sa valeur.
E7 Exercice type Bac.
N ° 11 7 points 1 h 05 min Partie A utilisation d'un tableur
1. Pour une fonction f, définie sur [ − 2 ; 6 ], on a obtenu à l'aide d'un tableur le tableau de valeurs
page n ° 6. Eliminer parmi les trois graphiques proposés ceux qui ne peuvent pas représenter la fonction, en justifiant votre décision.
2. La fonction précédente est la fonction f définie sur [ − 2 ; 6 ] par : f ( x ) = 0,75 x + e- 0,75 x + 0,51. Pour obtenir un tableau de valeurs à l'aide d'un tableur, on a rempli les cellules A2 à A18 comme indiqué sur la page suivante.
a. Indiquer une méthode qui permet d'obtenir les 17 valeurs numériques de x dans la plage A2 : A18 sans avoir à les saisir une à une.
b. On veut obtenir dans la colonne B les images par f des nombres figurant dans la colonne A.
On saisit en B2 une formule à recopier vers le bas. Parmi les formules proposées page n ° 6, choisir la formule qui permet d'obtenir ces images ( aucune justification n'est demandée ).
Partie B étude mathématique d'un problème économique.
Une entreprise fabrique et vend x centaines d'objets, pour des valeurs de x comprises dans l'intervalle [ 2 ; 6 ].
On admet que f ( x ) exprime, en millions d'euros, le coût de fabrication en fonction du nombre x.
Chaque objet fabriqué est vendu 8 000 euros. On note g ( x ) le montant, en millions d'euros, du produit de la vente de x centaines d'objets. On a donc : g ( x ) = 0,8 x.
On suppose dans la suite que toute la production est écoulée, c'est à dire que chaque objet fabriqué est vendu.
1. L'entreprise réalise-t-elle un profit lorsqu'elle fabrique ( et vend ) deux cents objets ? Six cents objets ? 2. On note B ( x ) le profit, en millions d'euros, réalisé par l'entreprise pour la production et la vente de x
centaines d'objets.
a. Démontrer que B ( x ) = 0,05x − e− 0,75 x + 0,51.
b. Calculer B ' ( x ). Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [ 2 ; 6 ] : B ' ( x ) > 0.
c. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous puis utiliser le pour répondre aux questions suivantes : Quel est le nombre d'objets minimum ( à l'objet près ) que l'entreprise doit produire pour être rentable ? Justifier. L'entreprise peut-elle espérer réaliser un bénéfice de 300 000 euros ? Justifier.
0 1 2 3 4 5 6 7
-4 -2 0 2 4 6 8
x 2 6
signe de B ' ( x ) variations de B Formule 1 :
=0,75*(− 2)+EXP(− 0,75 * ( − 2 ) + 0,51 ) Formule 2 :
=0,75*A1+EXP(− 0,75 * A1 + 0,51 ) Formule 3 :
=0,75*A2+EXP(− 0,75 * A2 + 0,51 ) Formule 4 :
=0,75*$A$2 + EXP(− 0,75 * $A$2 + 0,51 )
A B
x f(x) 1 x f(x)
-2 5.96331735 2 -2 5.96331735
-1.5 4.00445800 3 -1.5 4.00445800
-1 2.77542149 4 -1 2.77542149
-0.5 2.04798439 5 -0.5 2.04798439
0 1.66529119 6 0 1.66529119
0.5 1.51953678 7 0.5 1.51953678
1 1.53662786 8 1 1.53662786
1.5 1.66564090 9 1.5 1.66564090
2 1.87157669 10 2 1.87157669
2.5 2.13038068 11 2.5 2.13038068
3 2.42552040 12 3 2.42552040
3.5 2.74563329 13 3.5 2.74563329
4 3.08290997 14 4 3.08290997
4.5 3.43198313 15 4.5 3.43198313
5 3.78916390 16 5 3.78916390
5.5 4.15191693 17 5.5 4.15191693
6 4.51849971 18 6 4.51849971
Graphique A Graphique B
Graphique C
0 1 2 3 4 5 6 7
-4 -2 0 2 4 6 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-4 -2 0 2 4 6 8
