Université de Cergy-Pontoise - Licence L3-S5 - Session 1 - Vendredi 20/12/2019
Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe
Durée : 3h00 - Documents, calculatrice, ordinateur et téléphone portable ne sont pas autorisés Les 4 exercices sont indépendants.
Exercice I :
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f(x) =e−|x| pour x∈[−π, π].1) Tracer le graphe de f sur[−3π,3π].
2) Justifier rapidement que f estC1 par morceaux surR et préciser les points de discontinuité def0. 3) Pour n≥0, soit In =Rπ
0 e(−1+in)xdx. Montrer que
∀n ≥0, In= (1−(−1)ne−π)(1 +in)
n2+ 1 .
4) On notean le coefficient decos(nx),a0/2le coefficient constant etbn le coefficient desin(nx)dans la série de Fourier S(f) def.
(a) Que vaut bn pourn ≥0?
(b) Montrer que pour tout n≥0, an = π2Re(In) et en déduire l’expression de an. 5) Justifier soigneusement l’égalité suivante :
∀x∈[−π, π], e−|x| = 1−e−π
π + 2
π
+∞
X
n=1
(1−(−1)ne−π) cos(nx)
n2+ 1 .
6) En appliquant cette égalité àx= π2, en déduire la valeur de A=
+∞
X
k=1
(−1)k 4k2+ 1.
Exercice II :
Soit f : C→ C une fonction holomorphe sur C. On définit les deux fonctions P, Q: R2 →R par∀z ∈C, f(z) =P(x, y) + i Q(x, y) avecz =x+iy,(x, y)∈R2. 1) Ecrire les relations qui relient ∂P
∂x, ∂P
∂y, ∂Q
∂x et ∂Q
∂y.
2) On suppose qu’il existe(a, b)∈R2 tels queQ(x, y) = aP(x, y) +b pour tout(x, y)∈R2. Exprimer
∂Q
∂x et ∂Q
∂y en fonction de ∂P
∂x, ∂P
∂y. En déduire que
∀(x, y)∈R2,
1 +a2∂P
∂x(x, y) = 0
En déduire que ∂P
∂x = 0 sur R2, puis quef est constante surC.
Exercice III :
1) Soient g : C → C∗ et h : C → C deux fonctions holomorphes sur C, avec g(z) 6= 0 pour tout z ∈ C. On suppose qu’il existe α ∈ C tel que h(α) = 0 avec h0(α) 6= 0 et g(α)6= 0.a) On définit la fonction φ:C→Cpar
φ(z) =
h(z)
z−α siz 6=α h0(α) siz =α
(1)
Montrer queφest développable en série entière autour de α. En déduire queφ est holomorphe sur C.
b) Pour tout z ∈ D(α, r)\ {α}, on pose f(z) = g(z)
h(z). A l’aide de la fonctionφ de la question a), montrer quef a un pôle simple enα et que le résidu def enα vaut Res (f, α) = g(α)
h0(α). 2) Soient 0< a < b fixés. On définit la fonctionf par f(z) = eiz
(z2+a2)(z2+b2).
a) Montrer que la fonctionf est holomorphe surC\{±ia,±ib}. Quelle est la nature des singularités def en±ia et ±ib?
b) A l’aide du résultat de la question 1), calculer Res (f, ia) etRes (f, ib).
3) Pour R > b, soit CR+ le demi-cercle supérieur de centre 0 et de rayon R défini par
CR+ ={z ∈C | |z|=R et Im(z)>0}
et soit γR le lacet constitué du segment réel [−R, R] suivi de CR+ parcouru une fois dans le sens trigonométrique direct.
(a) Représenter sur une figure γR pour unR > b et les points ±ia et±ib.
(b) A l’aide du théorème des résidus, montrer que Z
γR
f(z)dz = π
b2−a2(e−a a − e−b
b ).
(c) A l’aide d’une majoration de max
z∈CR+
|f(z)| pourR > b, montrer que lim
R→+∞
Z
CR+
f(z)dz = 0.
(d) Montrer que lim
R→+∞
Z R
−R
f(z)dz = Z +∞
−∞
f(x)dx.
(e) En déduire la valeur de l’intégrale réelle I = Z +∞
−∞
cos(x)
(x2+a2)(x2+b2)dx.
.
Exercice IV :
Soit f la fonction définie par f(z) = 1(z−1)(z−2)2
1) (a) Quel est le domaine de définitionΩ def? Vérifier que l’on a
∀z∈Ω, f(z) = 1
(z−2)2 − 1
z−2+ 1
z−1 (∗)
(b) Préciser quelles sont les singularités de f, leur nature et leur ordre.
2) On note Cr(t) = reit, t ∈ [0,2π] le lacet paramétrant le cercle de centre 0 et de rayon r > 0 parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Pour r6= 1,2, on note Ir =R
Crf(z)dz. Donner la valeur de Ir pourr = 12, r= 32 etr = 3.
3) (a) Rappeler le développement en série entière de 1
z−1 pour |z| < 1 et en déduire celui de de 1
z−2 pour|z|<2.
(b) Montrer que
1
(z−2)2 = (− 1 z−2)0 =
+∞
X
n=0
(n+ 1)
2n+2 zn pour |z|<2.
(c) En déduire que
f(z) =
+∞
X
n=0
n+ 3−2n+2 2n+2
zn pour |z|<1.
(d) Montrer (avec le minimum de calculs) que f(3)(0) = −39 8 . 4) En écrivant que 1
z−1 = 1
z × 1
1−1/z pour|z| >1, donner le développement en série de Laurent def sur la couronne A={z ∈C /1<|z|<2} .
