Séries de Fourier

Séries de Fourier

Développements Exercice 1. Développements

Calculer le développement des fonctions f 2π-périodiques telles que :

1) f(x) =π− |x|sur ]−π, π[. 2) f(x) =π−xsur ]0,2π[. 3) f(x) =x²sur ]0,2π[.

4) f(x) = max(0,sinx). 5) f(x) =|sinx|³. Exercice 2. Chimie P’ 1996

Établir la convergence puis calculerRπ/2 t=0

sin(nt) sint dt.

En déduire les coefficients de Fourier def : f(t) = ln|tan(t/2)|.

Exercice 3. Chimie P 1996

Développer en série de Fourierf :t7→ 1

1−cosαcost avec 0< α < π. Indication : on pourra utiliser une relation de récurrence entre les coefficients à partir de (1−cosαcost)f(t) = 1.

Exercice 4. Mines MP 2002

Soita∈]−1,1[ etg: x7→ 1−acosx 1−2acosx+a². 1) Prouver : ∀x∈R, g(x) =P∞

n=0aⁿcosnx.

2) Quel est le mode de convergence de la série ?

3) Soitf :R→Ccontinue par morceaux et 2π-périodique. Montrer queh: x7→R2π

t=0g(x−t)f(t) dtest somme d’une série trigonométrique uniformément convergente. Que peut-on déduire pourh? 4) Soitλ∈R. Trouver toutes les fonctionsf :R→Ccontinues par morceaux et 2π-périodiques telles

que : ∀x∈R, f(x) =λR2π

t=0g(x−t)f(t) dt+P∞

n=1 cosnx n² . Exercice 5. Usage d’une série entière

1) Existe-t-il une fonctionf :R→Rcontinue telle que les coefficients de Fourier soient : an = 1/2ⁿ et b_n= 0 ?

2) Application : calculerRπ t=0

dt 5−4 cost. Exercice 6. 1/(cosx+ cha)

Soita >0.

1) Développer en série entière : f(x) = 1 x+e^a.

2) En déduire le développement en série de Fourier deg(x) = 1 cosx+ cha. Exercice 7. Décomposition ensin²

Montrer que : ∀x∈R, |sinx|= 8 π

P∞ n=1

sin²nx 4n²−1. Exercice 8. DSF def ∗g, Mines PSI 1998

Soient f, g:R→Ccontinues 2π-périodiques. On pose pour x∈R: h(x) = 1 2π

R2π

t=0f(x−t)g(t) dt.

1) Montrer quehest 2π-périodique, continue, et calculer les coefficients de Fourier exponentiels dehen fonction de ceux def et de g.

2) Pourg fixée, déterminer les valeurs et vecteurs propres def 7→h.

Exercice 9. DSF d’une série On pose f(x) = P∞

n=−∞e^{−(x−2nπ)2}. Montrer que f est définie sur R, 2π-périodique et de classe C¹. Déterminer sa série de Fourier.

Calcul de séries Exercice 10. Calcul de séries

Soitf la fonction 2π-périodique telle que : ∀x∈[−π, π[, f(x) =e^x. 1) Chercher le développement en série de Fourier def.

2) En déduire les sommes des séries : S=P∞ n=1

1

n²+ 1 etS⁰ =P∞ n=1

(−1)ⁿ n²+ 1. Exercice 11. P∞

n=1

a

n²+a² (Centrale MP 2003)

1) Soita∈R. Développer en série de Fourier la fonction 2π-périodique valante^ax sur ]0,2π].

Soita∈R. On poseI(a) =R+∞

u=0

e^−u

1−e^−usin(au) du.

2) ExprimerI(a) sous forme d’une série sans intégrale.

3) CalculerR+∞

u=0e^−usin(au) du.

4) Conclure.

Exercice 12. P∞

n=1 a

n²+a² (Centrale MP 2000)

1) Donner le développement en série de Fourier de la fonction 2π-périodique définie sur ]0,2π[ parf(x) = e^ax aveca6= 0.

2) CalculerP

n>1

a

a²+n². En déduire P

n>1

1 n². 3) Que vaut lim_a→+∞ P

n>1

a a²+n² ? Exercice 13. Calcul de séries, Matexo

On considère la fonction 2π-périodique surRdéfinie parf(x) =xsin^x₂ si 06x <2π.

1) Calculer les coefficients de Fourier def.

2) Quelle est la nature de la série de FourierSf def ? 3) En déduire la somme de la sérieP∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ 4n²−1. Exercice 14. sin(πa)/πa

Soita∈R\Z.

1) Développer en série de Fourier la fonction définie sur [−π, π] par : f(x) = cos(ax).

2) Soitg(t) =P∞

n=1ln(1−t²/n²). Justifier l’existence et la dérivabilité deg et la calculer.

Exercice 15. P∞ n=1sinn

n =P∞

n=1sin²n n²

1) Développer en série de Fourier la fonctionf, 2π-périodique telle quef(x) = π−x

2 pour 06x <2π.

2) Donner les développements en série de Fourier def(x+ 1) etf(x−1).

3) Montrer queP∞ n=1

sinn n =P∞

n=1

sin²n n² .

Coefficients de Fourier Exercice 16. f(x+π)

Soitf :R→R, 2π-périodique continue par morceaux. Que peut-on dire des coefficients de Fourier def si l’on a :

1) ∀x∈R, f(x+π) =f(x) ? 2) ∀x∈R, f(x+π) =−f(x) ? Exercice 17. f est-elleπ-périodique ?

Soitf :R→R, 2π-périodique continue. On notec_k les coefficients de Fourier exponentiels def. Montrer quef est π-périodique si et seulement si c_k est nul pour toutk impair (noter que la série de Fourier de f peut ne pas converger versf).

Exercice 18. DSF def⁰

Soit f : R→ R continue, 2π-périodique de classe C¹ par morceaux. On note ak, bk les coefficients de Fourier def. Calculer les coefficients de Fourier def⁰ en fonction de ceux def. En déduire queka_k −→

k→∞0 et kbk −→

k→∞0.

Exercice 19. DSF def⁰

Soitf : [0,2π]→Rde classeC¹. On considère la fonctiong, 2π-périodique coïncidant avecf sur [0,2π[.

Soient an, bn les coefficients de Fourier deg.

1) Montrer quean =o(1/n) et bn= f(0)−f(2π)

πn +o(1/n).

2) Donner le développement en série de Fourier deg⁰. Exercice 20. DSF d’une primitive def

Soitf continue 2π-périodique,F(x) =Rx

t=0f(t) dt,an, bnles coefficients de Fourier trigonométriques def et C= 1

2π R2π

t=0(π−t)f(t) dt. Montrer :

∀x∈R, F(x) = a₀x 2 +C+

∞

X

n=1

a_nsinnx−b_ncosnx

n .

Exercice 21. Concavité, ENS

Soit f : R →R continue 2π-périodique paire dont la restriction à [0,2π] est concave. Montrer que les coefficients de Fourier trigonométriques de f vérifient : ak 60 pourk>1.

Relation de Parseval Exercice 22. ENS MP 2002

Soitf : [0,1]→Rde classeC²telle que f(0) =f(1) = 0.

1) Montrer que l’on peut prolongerf en une fonction impaire et 2-périodique.

2) En déduire l’existence dec >0 indépendant def tel que kfk∞6ckf⁰⁰k2. Exercice 23. Inégalité de Wirtinger

Soitf : [0,2π]→Rde classeC¹telle que R2π

t=0f(t) dt= 0 etf(0) =f(2π).

Montrer queR2π

t=0f²(t) dt6R2π

t=0f⁰²(t) dtet déterminer les cas d’égalité.

Exercice 24. Inégalité isopérimétrique

1) Soientf, gdeux applications 2π-périodiques réelles de classeC¹. Montrer que : 2R2π

0 f g⁰ 6R2π

0 f⁰²+R2π 0 g⁰².

2) Soit Γ un arc C¹, fermé, simple, de longueur 2π. Montrer que l’aire du domaine limité par Γ est inférieure ou égale àπ.

Exercice 25. |f⁰⁰|6|f|

Trouver les fonctions f :R→R2π-périodiques de classeC² telles queR2π

t=0f(t) dt= 0 et|f⁰⁰|6|f|.

Exercice 26. Calcul de(f |g)

Soient f, g :R→C2π-périodiques, continues par morceaux. On notecn(f) etcn(g) les coefficients de Fourier exponentiels def etg. Montrer que : P+∞

n=−∞c_n(f)c_n(g) = 1 2π

R2π

t=0f(t)g(t) dt.

Exercice 27. Une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier On posef(x) =P∞

n=1

sin√nx n .

1) Montrer quef est bien définie surR, 2π-périodique et continue surR\2πZ. 2) Calculer lim_a→0+Rπ−a

t=a f(t) sin(pt) dtet en déduire quef n’a pas de développement en série de Fourier (et donc n’est pas continue en 0).

Exercice 28. X MP^∗2001

Soita >0 etf continue sur [0, a] à valeurs réelles.

On suppose que pour toutx∈Ron a Ra

t=0f(t) cos(xt) dt= 0. Montrer quef est nulle.

Convergence Exercice 29. Phénomène de Gibbs poursinkx/k

Soitfn(x) =Pn

k=1sinkx k .

1) Calculer l’abscisse,x_n, du premier maximum positif def_n. 2) Déterminer lim_n→∞f_n(x_n).

Exercice 30. Convergence uniforme Soit P∞

n=1(ancosnx+bnsinnx) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un intervalle [α, β]. Montrer que les suites (an) et (bn) tendent vers 0.

Exercice 31. Convergence uniforme

Soit (an) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série P∞

n=1ansinnx converge uni- formément surRsi et seulement sinan −→

n→∞0.

Pour le sens direct : utiliser le critère de convergence uniforme de Cauchy et l’inégalité : sinx>2x/π sur [0, π/2].

Exercice 32. Fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0

1) Soitf :R→Cpaire, 2π-périodique, telle que, pour toutx∈[0, π],f(x) =P∞ p=1

1 p²sin

(2^p3+ 1)x 2

. Vérifier quef est définie et continue surR.

2) SoitA0= 1 π

Rπ

0 f(t) dt, pourn∈N^∗,An= 2 π

Rπ

0 f(t) cos(nt) dt.

Pourν∈N, on posea0,ν= 1 2

Rπ 0 sin

(2ν+ 1)t 2

dtet an,ν=Rπ

0 cos(nt) sin

(2ν+ 1)t 2

dt.

Pourq ∈N, on note s_q,ν =Pq

i=0a_i,ν. Montrer que si ν est fixé,s_n,ν −→

n→∞0. Calculer explicitement lesa_n,ν. En déduire que, pour tout q, pour toutν,s_q,ν >0, et prouver que max

q∈N(s_q,ν) =s_ν,ν. 3) Montrer qu’il existeB >0 tel que, pour toutν >1,s_ν,ν>Blnν.

4) Montrer que, pour toutn∈N, A_n= 2 π

P∞ p=1 1

p²a_n,2p3−1. 5) Pour n ∈ N^∗, on pose T_n = π

2 Pn

k=0A_k. Vérifier que T_n = P∞ p=1

1

p²s_n,2p3−1. Montrer qu’il existe D >0 tel que, pour tout p>1, T₂p3−1 > Dp, et constater que la série de Fourier de f diverge au point 0.

Exercice 33. P∞

n=−∞R(n)e^inx,R=fraction rationnelle

SoitRune fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle dansZ. On pose f(x) =P∞

n=−∞R(n)e^inx. 1) Étudier l’existence et la continuité def. 2) Montrer quef est de classeC^∞ surR\2πZ. Exercice 34. P∞

n=1cosnx

P(n) ,P =polynôme

1) Donner le développement en série de Fourier de la fonctionf 2π-périodique telle quef(x) = (π−x)² sur ]0,2π[.

2) SoitP un polynôme de degré 2 sans racines dansN^∗. On pose g(x) =P∞ n=1

cosnx

P(n) . Montrer queg est de classeC¹ par morceaux.

Exercice 35. Noyau de Féjer

Soitf :R→C, 2π-périodique continue,fn san-ème somme de Fourier etgn= f₀+. . .+fn

n+ 1 . 1) Exprimerg_n à l’aide d’un produit de convolution,g_n =f ∗k_n.

2) Montrer que la suite (k_n) constitue une suite d’approximations de la mesure de Dirac sur ]−π, π[.

Ceci montre que la moyenne des sommes partielles de la série de Fourier def converge uniformément versf pour toutef continue.

Intégrale de Fourier Exercice 36. Formule sommatoire de Poisson

Soitf :R→Cde classeC¹. On suppose qu’il existea >1 tel quef(x) =O(1/|x|^a) etf⁰(x) =O(1/|x|^a) lorsque|x| → ∞, et on pose F(x) =P

n∈Zf(x+ 2nπ).

Montrer queF est bien définie,C¹ et 2π-périodique. En déduire la formule sommatoire de Poisson : X

n∈Z

f(2nπ) = 1

√ 2π

X

n∈Z

ˆf(n).

Exercice 37. Formule d’échange

Soient f, g:R→Cde classeC¹telles quef, f⁰, g, g⁰ sont intégrables. Montrer : Z +∞

t=−∞

ˆf(t)g(t) dt= Z +∞

t=−∞

f(t)ˆg(t) dt.

Divers Exercice 38. Rb

t=af(t)|sinnt|dt

1) Développer en série de Fourier la fonction : x7→ |sinx|.

2) Application : Soitf : [a, b]→Rcontinue. Montrer queRb

t=af(t)|sinnt|dt −→

n→∞

2 π

Rb

t=af(t) dt.

Exercice 39. Équation différentielle

Montrer que l’équation : y⁽⁴⁾+y⁰⁰+y=|sinx|admet une et une seule solutionπ-périodique.

Exercice 40. Équation différentielle

Soitk∈R. Résoudre l’équation différentielley⁰⁰+k²y=P∞ n=1

cosnx n² . Exercice 41. Équirépartition modulo 1

1) Soitf :R→Rde classeC¹1-périodique, α∈R\Qetx∈R. Montrer que f(x) +f(x+α) +. . .+f(x+nα)

n+ 1 −→

n→∞

R1

t=0f(t) dt.

2) Montrer que le résultat est encore vrai en supposant seulementf continue.

3) En déduire la nature de la sérieP∞ n=1

sin²n n . Exercice 42. Cachan MP^∗ 2000

Soit un réel β > 1 eta_k =RR

[0,1]²e^{−|x−x0|β}e^{2iπk(x−x0)}dxdx⁰. Trouver un équivalent quand ntend vers l’infini de P

|k|>nou|`|>naka`, ket`étant des entiers relatifs.

Exercice 43. Algèbre de séries trigonométriques

SoitE l’ensemble des fonctions deRdansCde la forme : f(x) =P+∞

n=−∞cne^2iπnxoùP

|cn| converge.

On pose pourf ∈E : kfk=P+∞

n=−∞|cn|.

1) Justifier la définition dekfk et montrer queE est un evn complet.

2) Montrer queEest uneC-algèbre et quekf gk6kfkkgk.

3) Soitϕ:E →Cun morphisme d’algèbres.

a) On supposeϕcontinu, montrer qu’il existez0∈Utel que ∀f ∈E, ϕ(f) =P+∞

n=−∞cnzⁿ₀. b) Vérifier que la formule précédente définit effectivement un morphisme continu deE dansC. Exercice 44. Mines MP 2002

Déterminer la nature de la série de terme généralu_n= (−1)ⁿR1

t=0cos(nt²) dt.

Exercice 45. Ens Lyon MP^∗ 2003 On note :

E ={fonctions continues 2π-périodiquesf :R→C} ; E¹={f ∈E de classeC¹};

En ={f ∈E tq∀k∈[[−n, n]], R2π

t=0f(t)e^−iktdt= 0}; E_n¹ =En∩E¹.

On considère surE la normek k2 : kfk2=q

1 2π

R|f|². 1) Montrer queD:

E₀¹ −→ E0

f 7−→ f⁰ est une bijection.

2) Dest-elle continue ?

3) Montrer queD⁻¹est continue.

4) Montrer queD⁻¹(En) =E_n¹ et calculer D_|E⁻¹

n . Exercice 46. Quatre racines, ENS Cachan MP^∗ 2005

Soitf à valeurs réelles, de classeC², 2π-périodique, de moyenne nulle. Montrer queg=f +f⁰⁰s’annule au moins quatre fois sur [0,2π[.

solutions

Exercice 1.

1) a₀=π,a_2p= 0, a_2p+1= 4

π(2p+ 1)²,b_n= 0.

2) a_n = 0,b_n = 2 n. 3) a0= 8π²

3 ,an= 4

n²,bn=−4π n . 4) a0= 2

π,a2p= −2

π(4p²−1),a2p+1= 0, b1= 1

2,bp= 0.

5) a_2p= 24

π(4p²−1)(4p²−9),a_2p+1= 0, b_p= 0.

Exercice 2.

I_n+1−I_n−1=Rπ/2

t=0 2 cos(nt) dt= 2

nsin(nπ/2).

DoncI2p= 2(1−¹₃+. . .+⁽⁻¹⁾_2p−1^p−1),I2p+1= ^π₂.

bn= 0 (parité),a2p= 0 (symétrie par rapport à (π/2,0)), a2p+1=−_(2p+1)π⁴ I2p+1=−_2p+1² . Exercice 3.

2a_k= (a_k−1+a_k+1) cosα,a₀=a₁cosα+ 2⇒a_k =Atan(^π₄ −^α₂)^k+Bcotan(^π₄ −^α₂)^k. Commea_k −→

k→∞0 on aB = 0 d’oùA= 2 sinα. Finalement, f(t) = 2

sinα 1

2+P∞ k=1

1−sinα cosα

^k

cos(kt) . Exercice 4.

1) P∞

n=0aⁿcosnx=<

P∞

n=0(ae^ix)ⁿ

=< 1 1−ae^ix

=g(x).

2) Il y a convergence normale.

3)

h(x) = Z 2π

t=0

∞

X

n=0

aⁿcos(nx−nt)f(t) dt

=

∞

X

n=0

Z 2π

t=0

aⁿcos(nx−nt)f(t) dt

=

∞

X

n=0

cos(nx)

Z 2π

t=0

aⁿcos(nt)f(t) dt+ sin(nx) Z 2π

t=0

aⁿsin(nt)f(t) dt

=

∞

X

n=0

(πaⁿan(f) cos(nx) +πaⁿbn(f) sin(nx)).

Il y a convergence normale car|a|<1 et les coefficients de Fourier de f sont bornés. On en déduit quehest continue, puis que les coefficients de Fourier dehsontaⁿan(f) etaⁿbn(f).

4) Les coefficients de Fourier des deux membres doivent être égaux, ce qui donne : an(f) = 1 n²(1−πλaⁿ) et bn(f) = 0 si pour tout n ∈ N^∗ on a πλaⁿ 6= 1 (sinon il n’y a pas de solution), et a0(f) = 0 si 2πλ6= 1,a0(f) quelconque sinon. Réciproquement, en posantf(x) = [a0/2] +P∞

n=1 cosnx n²(1−πλaⁿ) on définitf, 2π-périodique continue (la série converge normalement), solution de l’équation par égalité des coefficients de Fourier de chaque membre.

Exercice 5.

1) f(x) = 1 2 +P∞

n=1cosnx

2ⁿ = 3

2(5−4 cosx). 2) ^π₃.

Exercice 6.

2) g(x) = 1

sha e^af(e^ix)−e^−ixf(e^−ix)

= 1

sha

1 + 2P∞

k=1(−1)^ke^−kacoskx . Exercice 8.

1) c_k(h) =c_k(f)c_k(g).

Exercice 9.

2πc_k =R2π x=0

P+∞

n=−∞e^{−(x−2nπ)2−ikx}dx=P+∞

n=−∞

R2π

x=0e^{−(x−2nπ)2−ikx}dx=R+∞

x=−∞e^−x2−ikxdx

=√ πe^−k2/4 (calculerR+∞

x=−∞e^−x2−iξxdx=√

πe^−ξ2/4 par équation différentielle).

Exercice 10.

1) a0= 2 shπ

π , an =2(−1)ⁿshπ

π(1 +n²) ,bn =−nan. 2) S=π−thπ

2 thπ ,S⁰ =π−shπ 2 shπ . Exercice 11.

1) Sia6= 0 : Sf(x) =P+∞

n=−∞ e^2πa−1

2π(a−in)e^inx= e^2πa−1

2πa +P+∞

n=1 e^2πa−1

π(a²+n²)(acos(nx)−nsin(nx)).

2) On peut supposera > 0 car I(−a) = −I(a) et I(0) = 0. On envisage d’intégrer terme à terme la relation :

e^−u

1−e^−usin(au) =

∞

X

n=1

e^−nusin(au).

On coupe l’intégraleR+∞

0 enRπ/a 0 +R+∞

π/a : sur [0, π/a] le sinus est positif et le théorème d’intégration terme à terme, cas positif) s’applique. Sur [π/a,+∞[ le théorème d’intégration terme à terme, cas vectoriel) s’applique carR+∞

π/a |e^−nusin(au)|du6R+∞

π/a e^−nudu=e^−nπ/a/n. Ainsi, I(a) =

∞

X

n=1

Z +∞

u=0

e^−nusin(au) du=

∞

X

n=1

a n²+a². 3) Déjà fait,R+∞

u=0e^−usin(au) du= a

a²+ 1. Il doit y avoir une autre méthode pour la question précédente (???)

4) En comparant avec1)pour x= 0 on obtient : I(a) =π 2

e^2aπ+ 1 e^2aπ−1− 1

2a poura >0.

Exercice 12.

1) S_f(x) =P+∞

n=−∞ e^2πa−1 2π(a−in)e^inx. 2) P

n∈Z

(e^2πa−1)² 4π²(a²+n²) = 1

2π R2π

t=0|f(t)|²dt=e^4aπ−1

4aπ doncP

n>1 a

a²+n² = π 2

e^2aπ+ 1 e^2aπ−1 − 1

2a. P

n>1 1

a²+n² = 1 2a

π th(aπ)−1

a −→

a→0 π²

6 et il y a convergence dominée.

3) ^π₂. Exercice 13.

1) an =− 4

4n²−1,bn=− 32n π(4n²−1)². 3) π−2

4 .

Exercice 14.

1) cosax= sinπa

πa + 2asinπa π

P∞ n=1

(−1)ⁿcosnx a²−n² . 2) g⁰(t) =P∞

n=1 2t

t²−n² =πcosπt sinπt −1

t ⇒g(t) = ln

λsinπt t

et g(0) = 0⇒g(t) = ln

sinπt πt

. Exercice 15.

1) f(x) =P∞

n=1sinnx n .

3) Le premier membre vautf(1) = π−1

2 et le second 1 4π

R2π

t=0(f(t+ 1)−f(t−1))²dt= π−1 2 . Exercice 16.

1) a2p+1=b2p+1= 0.

2) a2p=b2p= 0.

Exercice 18.

a⁰_k =kb_k, b⁰_k =−kak + inégalité de Bessel.

Exercice 19.

2) S_g⁰(x) = f(2π)−f(0)

2π +P∞

n=1 nb_n−f(0)−f(2π) π

cosnx−na_nsinnx.

Exercice 21.

πak = Z 2π

t=0

f(t) cos(kt) dt

=

k−1

X

i=0

Z 2π/k

t=0

f(t+ 2iπ/k) cos(kt) dt

=

k−1

X

i=0

Z π/2k

t=0

f(t+ 2iπ/k)−f((2i+ 1)π/k−t)−f(t+ (2i+ 1)π/k) +f((2i+ 2)π/k−t)

cos(kt) dt.

Exercice 22.

1) Immédiat. La fonction prolongée estC¹ surRet C²par morceaux.

2) On décomposef : f(x) =−P∞ n=1

c_n

n²π²sin(nπx) aveccn = 2R1

u=0f⁰⁰(u) sin(nπu) du.

On en déduit : kfk²_∞6 P∞

n=1

1 n⁴π⁴

P∞ n=1c²_n

= 2ζ(4)

π⁴ kf⁰⁰k²₂= kf⁰⁰k²₂ 45 . Autre démonstration sans utiliser les séries de Fourier : pourx∈[0,1] on a

f(x) = Z x

t=0

f⁰(t) dt=xf⁰(x)− Z x

t=0

tf⁰(t) dt f(x) =

Z x

t=1

f⁰(t) dt= (x−1)f⁰(x)− Z x

t=1

(t−1)f⁰(t) dt f(x) = (1−x)f(x) +xf(x) =

Z x

t=0

t(x−1)f⁰⁰(t) dt+ Z 1

t=x

x(t−1)f⁰⁰(t) dt

= Z 1

t=0

ϕ(x, t)f⁰⁰(t) dt.avecϕ(x, t) =xt−min(x, t).

On en déduit|f(x)|²6kf⁰⁰k²₂R1

t=0ϕ(x, t)²dt=x²(x−1)²

3 kf⁰⁰k²₂6 kf⁰⁰k²₂ 48 .

Exercice 23.

Parseval pourf etf⁰. Égalité ssif(x) =acosx+bsinx.

Exercice 24.

1) Développerf,f⁰ etg⁰ en séries de Fourier et appliquer l’inégalité 2|a b|6|a|²+|b|². Il y a égalité si et seulement sif⁰ et g⁰ sont CL de cos et sin.

2) On paramètre par une abscisse curviligne : x=f(t),y=g(t)⇒ A=R2π

0 f g⁰6R2π 0

f⁰²+g⁰²

2 =π.

Exercice 28.

On pose g(t) =f(a|t|/π) pour t∈[−π, π], prolongée par 2π-périodicité. Alors g est paire, continue, et tous ses coefficients de Fourier sont nuls doncg= 0.

Exercice 29.

1) _n+1^π .

2) Somme de Riemman : `=Rπ t=0

sint t dt.

Exercice 30.

sup

[α,β]

|ancosnx+bnsinnx|=p

a²_n+b²_n pour n>β−α 2π . Exercice 31.

S’il y a convergence uniforme : ka_nsinnx+. . .+a_psinpxk_∞ −→

n,p→∞0.

On prend x= π

2p : 06 ap

p(n+. . .+p)6 1

p(nan+. . .+pap) −→

n,p→∞0. n=bp/2c ⇒cqfd.

Si nan→0 : Soitx∈]0, π] etntel que 1

n 6x6 1 n−1. Transformation d’Abel : |ansinnx+. . .+apsinpx|6 2an

sinx/2 6 2nan

π , et |aksinkx+. . .+a_n−1sin(n−1)x|6(kak+. . .+ (n−1)a_n−1)x6 n−k

n−1ak62ak. Exercice 33.

1) R(n) = a

n+S(n) avec degS6−2.

Doncf(x) =R(0) + 2iaP∞

n=1 sinnx n +P∞

n=1(S(n)e^inx+S(−n)e^−inx) converge pour toutx∈R. 2) R(n) = a1

n +. . .+ ak

n^k +S(n) avec degS 6−k−1⇒f(x) =R(0) +a₁f₁(x) +. . .+a_kf_k(x) +g(x) avecfp(x) = P∞

n=1

e^inx+ (−1)^pe^−inx

n^p et g de classe C^k sur R\2πZ. f_p⁰ = if_p−1 et f1 est C^∞ sur R\2πZdoncfp aussi.

Exercice 34.

1) f(x) =π²

3 + 4P∞

n=1cosnx n² .

2) SoitP(n) =an²+bn+c. Alors f(x)−4ag(x) = π²

3 + 4P∞

n=1 bn+c

an⁴+bn³+cn²cosnx.

Exercice 35.

1) kn(x) = 1−cos((n+ 1)x)

(n+ 1)(1−cosx) = sin²((n+ 1)x/2) (n+ 1) sin²(x/2). Exercice 38.

1) |sinx|= 2 π−4

π P∞

n=1

cos 2nx 4n²−1.

Exercice 39.

|sinx|= 2 π− 4

π P∞

n=1 cos 2nx

4n²−1 ⇒y= 2 π− 4

π P∞

n=1 cos 2nx

(4n²−1)(16n⁴−4n²+ 1). Cette série converge et définit une fonction de classe C⁴ solution de l’équation.

Unicité : les solutions de l’équation homogène sont combinaison de e^jx, e^−jx, e^j2x et e^−j2x donc non π-périodiques.

Exercice 40.

k /∈Z: y=P∞

k=1 cosnx

n²(k²−n²)+acoskx+bsinkx.

k∈Z: remplacer coskx

k²(k²−k²) par xcoskx 2k³ . Exercice 41.

1) Développerf en série de Fourier.

2) Densité des polynômes trigonométriques dansC⁰. 3) f(t) = sin²(πt),α= 1

π,x= 0 : Sn= sin²1 +. . .+ sin²n∼n 2. Transformation d’Abel : Pn

n=1sin²n

n =−sin²1 +PN−1 n=2

Sk

k(k−1) +SN

N −→

N→∞+∞.

Remarque : on a un raisonnement plus simple en écrivant 2 sin²(n) = 1−cos(2n).

Exercice 42.

Intégration à x⁰−xconstant : ak =R1

y=−1e^−|y|β(1− |y|)e^−2ikπydy est le 2k-ème coefficient de Fourier de la fonctionf, 2-périodique, telle que f(y) =e^−|y|β(1− |y|) si−16y61 donc lek-ème coefficient de Fourier de g, 1-périodique, telle queg(y) = ¹₂(f(y) +f(y+ 1)). Soit gn lan-ème somme partielle de la série de Fourier deg,gn(y) =P

|k|6nake^2ikπy.

On a par convergence normale de la série de Fourier de g: P

|k|>nou|`|>na<sub>k</sub>a<sub>`</sub>=g²(0)−g²_n(0).

g(0)−g_n(0) = Z ¹₂

y=−¹₂

g(0)−g(y)

sinπy sin((2n+ 1)πy) dy

= 2 Z ¹₂

y=0

g(0)−g(y)

sinπy sin((2n+ 1)πy) dy

= 2h

−g(0)−g(y) sinπy

cos((2n+ 1)πy) (2n+ 1)π

i¹₂

y=0+ 2 Z ¹₂

y=0

d dy

g(0)−g(y) sinπy

cos((2n+ 1)πy) (2n+ 1)π dy

= 1−e⁻¹ (2n+ 1)π² +

Z ¹₂

y=0

fct continue(y)cos((2n+ 1)πy) (2n+ 1)π dy

∼ 1−e⁻¹ (2n+ 1)π². g(0) +g_n(0) −→

n→∞2g(0) = 1 d’oùP

|k|>nou|`|>na<sub>k</sub>a<sub>`</sub>∼ 1−e⁻¹ (2n+ 1)π². Exercice 43.

1) Sif = 0 alors c_n = 0 pour toutn par intégration terme à terme. Donc une fonctionf ∈E possède un unique développement trigonométrique etkfkest bien défini. AlorsE est isomorphe à `¹(Z) qui est un evn complet.

2) Produit de convolution de deuxZ-suites sommables.

3) a)z0=ϕ(x7→e^2iπx). On a|z0|= 1 car la suite (ϕ(x7→e^2inπx)_n∈Z) est bornée.

Exercice 44.

u0+. . .+un= 1

2+(−1)ⁿ 2

R1 t=0

cos((n+¹₂)t²) cos(¹₂t²) dt= 1

2 +(−1)ⁿ 2

R1 u=0

cos((n+¹₂)u) 2 cos(¹₂u)√

u du−→

n→∞

1 2.

Exercice 45.

1) Si f est C¹, 2π-périodique alorsf⁰ est continue, 2π-périodique de moyenne nulle donc D(E₀¹)⊂E0. Réciproquement, sig∈E₀ alors toutes les primitives deg sont 2π-périodiques de classe C¹ et il y en a exactement une qui a une valeur moyenne nulle (une seule possibilité de régler la constante).

2) Non (et ceci quelle que soit la norme) car le spectre deDn’est par borné.

3) kfk²₂=P

k∈Z^∗|c_k(f)|²6P

k∈Z^∗|ikc_k(f)|²=kf⁰k². 4) Idem, D_|E⁻¹

n = 1

n+ 1. Exercice 46.

On a c₀(g) = c₁(g) = c₋₁(g) = 0, donc g est orthogonale à tout polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à 1. Sigest de signe constant sur ]0,2π[, on contreditc₀(g) = 0. Doncga au moins une racinea∈]0,2π[. Sign’a pas d’autre racine dans ]0,2π[ alorsgest de signes constants opposés sur ]0, a[

et ]a,2π[. Mais alorsg(t)(cos(t−a/2)−cos(a/2)) est de signe constant sur la réunion de ces intervalles, c’est absurde. Doncg a une deuxième racine dans ]0,2π[, par exemple b∈]a,2π[. Si g n’a pas d’autre racine sur ]0,2π[ alorsgest de signes constants sur ]0, a[, ]a, b[ et ]b,2π[ et les signes alternent. On obtient une nouvelle contradiction car alors g(t)(cos(t−(a+b)/2)−cos((b−a)/2)) est de signe constant sur la réunion de ces intervalles. Ainsi g admet une troisième racine, par exemplec ∈]b,2π[. Enfin, si l’on suppose queg n’a pas d’autre racine sur ]0,2π[ alors on ag(t)>0 sur ]0, a[ et ]b, c[ etg(t)<0 sur ]a, b[

et ]c,2π[ ou l’inverse. Dans les deux cas, on en déduit queg(0) =g(2π) = 0.