PSI* — 2020/2021 — Préparation aux oraux — Probas no 1 Page 1
1. Soit (an)n∈N une suite de réels positifs, strictement décroissante et de limite nulle. Déterminer λ∈R tel qu’il existe une probabilitéP surNvérifiant :
P([[n,+∞[[ ) =λan.
Solution
Analyse : supposons queλ ∈R convient. Nécessairement λa0 =P(N) = 1 donc λ= 1 a0
est la seule valeur possible. Je remarque aussi que, nécessairement,
∀n∈N P({n}) =P([[n,+∞[[)\P([[n+ 1,+∞[[) =λ(an−an+1).
Synthèse : par hypothèse, les an sont strictement positifs, je peux en particulier poserλ= 1 a0
.
Comme N est dénombrable, je peux définir P par la suite des pn = P({n}), pour autant que les pn
soient positifs ou nuls et de somme 1. À la lumière de la remarque ci-dessus, je pose
∀n∈N pn=λ(an−an+1)
et je vérifie bien que les pn sont positifs (puisque (an) est décroissante) ; de plus, après télescopage, sachant queaN+1 −→
N→∞0,
∀N ∈N
N n=0
λ(an−an+1) =λ(a0−aN+1) −→
N→∞λa0 = 1.
Grâce au théorème sur les germes de probabilité, je dispose donc d’un espace probabilisé(N,P(N), P) tel que
∀n∈N P({n}) =pn et j’ai bien, par σ-additivité,
∀n∈N P([[n,+∞[[) =
∞
k=n
pk=λ
∞
k=n
(ak−ak+1) =λan
(comme ci-dessus, en simplifiant une somme partielle avant de passer à la limite).
Par conséquent cette valeur de λconvient.
En conclusion
L’unique valeur deλqui convient est 1 a0
.
