Université de Cergy-Pontoise - Licence L3-S5 - Session 1 - Mardi 18/12/2018
Examen - Séries de Fourier et Analyse Complexe
Durée : 3h00 - Documents, calculatrice, ordinateur et téléphone portable ne sont pas autorisés.
Les 4 exercices sont indépendants.
Exercice I : Soitf :R→Rla fonction 2π−périodique, dénie pourx∈[−π, π[parf(x) =x2. 1) Tracer rapidement le graphe de f sur[−3π,3π]. Montrer que f est paire surR.
2) Montrer quef est continue etC1 par morceaux surR. Quels sont les points de discontinuité de f0 surR? 3) Pourn≥1, on note an le coecient decos(nx),a0/2le coecient constant et bnle coecient de sin(nx)
dans la série de FourierS(f) de f. (a) Que vautbn? Calculera0.
(b) Donner l'expression de an sous forme d'une intégrale sur[0, π]puis calculeran pour toutn≥1. 4) Justier soigneusement l'égalité suivante : ∀x∈R, f(x) = π2
3 + 4
+∞
X
n=1
(−1)n
n2 cos(nx).
5) En appliquant 4) à des valeurs dexbien choisies, en déduire la valeur deA=
+∞
X
n=1
(−1)n+1
n2 et deB =
+∞
X
n=1
1 n2. 6) Ecrire l'identité de Parseval pour f. En déduire la valeur deC =
+∞
X
n=1
1 n4.
Exercice II : Pour R >0, on note D =D(0, R) le disque ouvert dans C de centre0 et de rayon R etDe = {(x, y)∈R2 |x2+y2 < R2}. A toute fonctionf :D⊂C→Con associe les deux fonctionsP, Q:De ⊂R2→R dénies par f(z) =P(x, y) + i Q(x, y), siz=x+iy∈D.
1) On supposef holomorphe sur D. Ecrire les relations qui relient ∂P
∂x, ∂P
∂y, ∂Q
∂x et ∂Q
∂y surDe.
2) Déterminer toutes les fonctionsf holomorphes surDtelles queQ(x, y) = (P(x, y))2 pour tout(x, y)∈De. Exercice III : Soit Ω un ouvert non vide de C. Soit z0 ∈Ω et R > 0 tel que le disque ferméD(z0, R) est inclus dansΩ. Soit le lacetγ =∂D(z0, R) (frontière du disque), parcouru une fois dans le sens trigonométrique direct. On considère une fonction g: Ω→C, holomorphe sur Ω.
1) Justier le fait que gsoit développable en série entière autour de z0 et écrire ce développement en notant anle coecient d'ordre n∈N. Rappeler l'expression de an en fontion de g(n), la dérivéen-ème deg.
2) Pourk∈N, soit la fonctionfk(z) = g(z)
(z−z0)k+1 dénie pourz∈Ω,z6=z0. Montrer quefkest holomorphe dans Ω\ {z0} et qu'elle a enz0 un pôle d'ordre p ≤k+ 1 si (a0, a1, ..., ak) 6= (0,0, ...,0). Montrer que le résidu de fk enz0 vaut Res(fk, z0) =ak.
3) On noteIk = I
γ
fk(z)dz. A l'aide du théorème des résidus, calculerIk et en déduire la formule de Cauchy à l'ordrek∈N:I
γ
g(z)
(z−z0)k+1dz= 2πig(k)(z0) k! .
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4) Application : soit la fonction g(z) = ez z.
(a) Préciser quel est l'ouvert maximal Ω⊂C sur lequel la fonction g est holomorphe. En déduire (sans calcul) le rayonR du disque de convergence du développement en série entière autour dez0= 2. (b) Calculer g0(z) pour z ∈ Ω. En déduire qu'il existe une fonction h : D(2, R) → C, holomorphe sur
D(2, R) telle que ∀z∈D(2, R), g(z) = e2 2 +e2
4(z−2) + (z−2)2h(z).
(c) En déduire la partie singulière du développement en série de Laurent de la fonction g(z) (z−2)2. (d) Soit I =
I
γ
ez
z(z−2)2dz, où γ = ∂D(2,1). Calculer I à l'aide de la formule de Cauchy à l'ordre k obtenue à la question 3), pour une valeur dek à préciser.
Exercice IV : SoitH ={z∈C|Imz >0} le demi-plan ouvert supérieur deC et soitS ={a1, . . . , an} un ensemble ni de points distincts de H. SoitΩun ouvert de C tel que la fermetureH de H vérie H ⊂Ω. On considère une fonctionf : Ω→Cholomorphe sur Ω\S qui vérie :
(A) lim
|z|→+∞,Imz≥0|f(z)|= 0 et (B) Z +∞
−∞
|f(x)|dx <+∞ (intégrale réelle convergente).
1) Pourα >0, on posegα(z) =f(z)eiαz. Montrer quegα est dénie et holomorphe surΩ\S et quegαvérie également les propriétés (A) et (B) ci-dessus.
2) On se propose de calculer I(α) = Z +∞
−∞
gα(x)dx pourα >0.
Pour R >0, soit CR={z∈C | |z|=R etImz >0}le demi-cercle supérieur de centre 0et de rayon R. Notons γR le chemin donné par l'intervalle[−R, R]. Soit ΓR=γR∪CR le lacet parcouru en sens direct.
(a) Faire un dessin deΓR. Montrer que pour toutR >0 susamment grand, on a Z +R
−R
gα(x)dx= 2iπ
n
X
j=1
Res(gα, aj)− Z
CR
gα(z)dz.
(b) En utilisant une paramétrisation deCR et l'inégalitésinθ≥ 2πθ siθ∈[0, π/2], montrer que :
Z
CR
gα(z)dz
≤ π α sup
z∈CR
|f(z)|.
(c) En déduire que lim
R→+∞
Z
CR
gα(z)dz= 0. (d) Montrer que lim
R→+∞
Z +R
−R
gα(x)dx=I(α) et en déduire queI(α) = 2iπ
n
X
j=1
Res(gα, aj). 3) Application : soit J(α) =
Z +∞
0
cos(αx)
1 +x2 dx pourα∈R.
(a) Montrer que l'on peut supposerα≥0. Donner la valeur deJ(0).
(b) Dans la suite, on suppose α >0. Montrer que J(α) = 12I(α), avec I(α) déni à la question2), pour une fonctionf à préciser, qui est holomorphe surC\ {−i, i} et a 2 pôles simples en−iet+i. (c) Déduire de2)(d) et de ce qui précède queJ(α) = π2e−|α| pour tout α∈R.
