Universit´e d’Artois Licence AR1: Topologie 26 Janvier 2004.
Dur´ee 4h
Examen Analyse R´ eelle 1
Les calculatrices et les documents sont interdits.
La r´edaction sera prise en compte dans la notation.
Questions de cours - Exercice. (5,5 points=1,5+1+(1+1+1))
1) Soit E un ensemble. On note τ = {∅} ∪ {ω ⊂ E|cω est fini}. Montrer que τ est une topologie sur E (on l’appelle topologie de Zariski surE).
2)Soit (Ei)i∈Iune famille (indic´ee par un ensembleI) d’espaces topologiques (munis chacun d’une topologieτi). Quelle est la d´efinition de la topologie produit sur Q
i∈I
Ei ?
3) On munit N de la topologie de Zariski. On note π la topologie produit (associ´ee) sur N2 =N×N. On note τ2 la topologie de Zariski sur N2.
a) Soient a etb deux entiers naturels. Montrer que {(a, b)} est un ferm´e pour la topologie π.
b) En d´eduire que π est plus fine queτ2. c) Est-ce que ces deux topologies sont ´egales ?
Exercice 2. (5,5 points=0,5+0,5+0,5+0,5+(3+0,5))
Soit (E, d) un espace m´etrique ( ¯B(y, r) d´esigne la boule ferm´ee de centre y et de rayon r).
1) Soit A une partie (non vide) de E. Montrer l’´equivalence :
∀ε >0, ∃a1, . . . , an∈Atels queA ⊂
n
[
k=1
B(a¯ k, ε)⇐⇒ ∀ε >0, ∃x1, . . . , xn ∈Etels queA⊂
n
[
k=1
B(x¯ k, ε).
On dit qu’une partie A d’un espace m´etrique est pr´ecompacte si elle v´erifie les propri´et´es
´equivalentes pr´ec´dentes (si A=E, on dit que (E, d) est pr´ecompact).
2) Montrer qu’une partie pr´ecompacte de E est born´ee.
3) Soit A⊂E. Montrer que A est pr´ecompact si et seulement si ¯A est pr´ecompact.
4)Soient (F, d0) un espace m´etrique et f une application uniform´ement continue deE dans F. On suppose queE est pr´ecompact. Montrer que f(E) est une partie pr´ecompacte de F.
5) a) On suppose que (E, d) est complet et pr´ecompact. Soit (an)n∈N une suite de E.
i) Construire une suite d´ecroissante de parties infinies (In)n∈N deN et une suite (cn)n∈N
telles que la boule de centre cn et de rayon 2−n contienne{ak|k ∈In} etcn+1. ii) Montrer que (cn)n∈N est convergente.
iii) Conclure que (E, d) est compact.
b) Qu’en est-il de la r´eciproque ?
Exercice 3. (14,5 points=(1+0,5+1+1+1,5)+(1+0,5+0,5+2+1)+(1+0,5+1+1+1)) PourX un espace topologique, une extr´emit´e de X est une application ε qui associe `a tout compactC, distinct de X, une composante connexe deX\C, telle que pour tout compactK : C ⊂K ⇒ε(K)⊂ε(C).
1) R est muni de sa topologie usuelle (associ´ee `a la valeur absolue).
a) Soient a etb deux r´eels avec a≤b. Montrer que R\[a, b] a deux composantes connexes que l’on pr´ecisera.
Soit ε une extr´emit´e de R. Soit C un compact non vide de R. On note K = [minC,maxC].
b) Justifier que K est bien d´efini.
c) Montrer que ε(C)∈ {]− ∞,minC[; ] maxC,+∞[}.
Pour fixer les id´ees, on suppose que ε(C) =] maxC,+∞[. Soit C0 un autre compact non vide deR.
d) Montrer queε(C0) =] maxC0,+∞[. Indication : on pourra consid´erer ε(C∪C0).
e) Conclure que R a deux extr´emit´es.
2)Soitnun entier avecn ≥2. L’espaceRnest muni de sa topologie d’espace vectoriel norm´e usuelle. Soienta1, . . . , an, b1, . . . , bn des r´eels (avec ai ≤bi pour tout i), on note K = Qn
i=1
[ai, bi].
Soit ε une extr´emit´e de Rn.
a) Montrer que Rn\K est connexe (on pourra ´enoncer un argument valable en dimension n et ne le justifier qu’en dimension 2).
b) En d´eduire ε(K).
Soit C un compact de Rn.
c) Justifier qu’il existe un pav´e compact K (comme ci-dessus) tel queC ⊂K.
d) Montrer queRn\C a une seule composante connexe non born´ee et que c’estε(C).
e) Combien Rn a-t-il d’extr´emit´e ? (Justifier !)
3) Soit X un espace topologique compact ayant au moins deux ´el´ements. On suppose que X admet une extr´emit´e ε. Soit C un compact de X, distinct deX.
a) Montrer queL=C∪ε(C) est compact.
b) Montrer queL=X. Indication : par l’absurde, en consid´erant ε(L).
Soient x1, x2 deux ´el´ements distincts de X.
c) Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints non vides tels que C0 =X\(U1∪U2) soit un compact, distinct de X.
d) Montrer queε(C0)⊂U1 ou ε(C0)⊂U2. e) En d´eduire que X n’a pas d’extr´emit´e.
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