UNIVERSIT´E D’AIX-MARSEILLE I UNIVERSIT´E D’AIX-MARSEILLE III 2LMAT1 - Topologie et Analyse - Examen partiel du 14 novembre 2003 - Dur´ee 2 heures Aucun document - Aucune calculatrice Question de cours

UNIVERSIT ´E D’AIX-MARSEILLE I UNIVERSIT ´E D’AIX-MARSEILLE III

2LMAT1 - Topologie et Analyse - Examen partiel du 14 novembre 2003 - Dur´ee 2 heures Aucun document - Aucune calculatrice

Question de cours- Rappeler la notion d’adh´erence et d’int´erieur d’une partie dans un espace topolo- gique.

Exercice 1. Soit f une fonction d’un espace topologique (E,T) dans un espace topologique (F,U).

Montrer que les affirmations suivantes sont ´equivalentes : i)f est continue,

ii) pour chaque sous-ensembleB deF, f⁻¹(B)⊂f⁻¹(B), iii) pour chaque sous-ensembleB deF, f⁻¹(B^◦)⊂[f⁻¹(B)]^◦.

Exercice 2. Soient (E₁, d₁),(E₂, d₂) deux espaces m´etriques. SoitE=E₁×E₂ le produit cart´esien de E₁et de E₂.Pour x= (x₁, x₂) ety= (y₁, y₂)∈Eon pose d(x, y) = max(d₁(x₁, y₁), d₂(x₂, y₂)).On note π₁etπ₂les applications deEdansE₁et dansE₂d´efinies respectivement parπ₁(a, b) =aetπ₂(a, b) =b.

a) V´erifier que dest une m´etrique.

b) V´erifier queπ1 est continue. Qu’en est-il deπ2?

c) Montrer que l’image parπ1 de tout ouvert deE est un ouvert de E1.

d) Montrer sur un exemple que l’image parπ1 d’un ferm´e deE n’est pas n´ecessairement un ferm´e deE1. e) Soitfune application deE1dansE2.Son graphe est le sous-ensembleG(f) ={(a, f(a))∈E1×E2;a∈ E1} deE1×E2.Montrer que sif est continue alors son graphe est ferm´e dansE1×E2.

Exercice 3. Soientd la distance usuelle surRet d₁ l’application deR×Rdans Rqui `a (x, y) associe

|e^y−e^x|.

a) Montrer qued1 est une distance surR.

b)d1est-elle born´ee ?

c) D´ecrire la boule ouverteB(0,1) relativement `ad1. d) Montrer qued1et dsont topologiquement ´equivalentes.

e) Soit u = (un)n la suite telle que, pour chaque n ∈ N, un = −n. La suite u est-elle de Cauchy relativement `ad1?

f) Est-elle convergente ? g) Conclure.

Correction de l’exercice 1- Montrons que i) entraˆıne ii). Soitf une application continue deE dans F. Consid´erons un sous-ensemble B de F. Nous savons que f⁻¹(B) est un ferm´e de E, comme image

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r´eciproque d’un ferm´e par une application continue, qui contient ´evidemment f⁻¹(B) il s’ensuit que f⁻¹(B)⊂f⁻¹(B).

Montrons que ii) entraˆıne iii). Rappelons que pour chaque sous-ensemble X de F on a f⁻¹(X^c) = [f⁻¹(X)]^c.SoitAun sous-ensemble quelconque deF.Consid´eronsB =A^c.En utilisant ii) nous obtenons f⁻¹(A^c)⊂f⁻¹(A^c) ce qui implique

[f⁻¹(A)]^◦c= [f⁻¹(A)]^c− ⊂f⁻¹(A^c−) =f⁻¹(A^◦c) = [f⁻¹(A^◦)]^c d’o`uf⁻¹(A^◦)⊂[f⁻¹(A)]^◦ en prenant les compl´ementaires des deux membres.

Montrons que iii) entraˆıne i). Il suffit de v´erifier que l’image r´eciproque par f d’un ouvert de F est un ouvert deE.SoitOun ouvert deF.Nous avons, en utilisantO=O^◦ et iii),f⁻¹(O)⊂[f⁻¹(O)]^◦ ce qui montre quef⁻¹(O) est ouvert car il est ´egal `a son int´erieur.

Correction de l’exercice 2 a) Routine

b) On observe que pour (a, b),(a⁰, b⁰)∈E1×E2on a

d1(π1(a, b), π1(a⁰, b⁰)) =d1(a, a⁰)≤d((a, b),(a⁰, b⁰))

d’o`u il d´ecoule imm´ediatement la continuit´e uniforme de π₁. Le mˆeme argument montre la continuit´e uniforme deπ₂.

c) SoitOun ouvert non vide deE1×E2.Nous allons montrer queA=π1(O) est un ouvert deE1.Soit a∈A, montrons qu’il existe un r´eel r >0 tel queB(a, r)⊂A. Puisque a∈A, il existeb ∈E2 tel que (a, b)∈ Oetπ1(a, b) =a.O´etant un ouvert deE1×E2il existe un r´eelr >0 tel queB(a, r)×B(b, r)⊂ O. On a ´evidemment

π1(B(a, r)×B(b, r)) =B(a, r)⊂π1(O) =A.

d) Consid´erons dansR²le sous-ensemble H =

x,1

x

;x6= 0

V´erifions queH est un ferm´e. Soit (a, b)∈H.Nous pouvons trouver une suite (hn)n de points deH qui converge vers (a, b).Pour chaque entier nnous pouvons ´ecrire

hn =

xn, 1 x_n

avecxn6= 0.

On a a= lim

n→∞xn et b = lim

n→∞

1 xn

. La suite

1

xn

n

ayant une limite finie, la suite (xn)n a une limite

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= 0.Il s’ensuit queb=1

a donc (a, b)∈H.Il est facile de v´erifier queπ1(H) =π2(H) =R\ {0}qui n’est pas ferm´e dansR.

e) Soit (a, b)∈G(f).Il existe une suite (an)n deE1telle que (a, b) = lim

n→∞(an, f(an)).

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La continuit´e des projections π1 et π2 entraˆıne a = lim

n→∞an et b = lim

n→∞f(an). La fonction f ´etant continue au pointaon af(a) = lim

n→∞f(an) doncb=f(a) et (a, b)∈G(f).

Correction de l’exercice 3

a) Il est tr`es facile de v´erifier qued₁est une distance surR.

b)d₁n’est pas born´ee car pour chaque r´eelM ≥0 on peut trouver deux ´el´ements x, y∈Rpour lesquels d₁(x, y)≥M. M,´etant donn´e, il suffit de prendrex= 0 ety= Log(M+ 1).

c) Pour la m´etriqued1on a

B(0,1) ={x∈R;|e^x−1|<1}=]− ∞,Log 2[.

d) Etablissons la continuit´e deIR deRmuni deddansRmuni ded₁ en un pointa∈R.Donnons-nous un r´eel ε >0. La fonction exponentielle ´etant continue au point a il existe un r´eel r >0 tel que, pour chaquex∈R,la condition |a−x|< rentraˆıne|e^a−e^x|=d₁(a, x)< ε.

Etablissons la continuit´e IR de Rmuni de d1 dans Rmuni de d en un pointα. Donnons-nous un r´eel ρ > 0. La fonction logarithme est continue au point e^α. Il existe un r´eel θ > 0 tel que, pour chaque ξ ∈ R v´erifiant |ξ−e^α| < θ, on a |Logξ−Log(e^α)| = |Logξ−α| < ρ. Pour chaque r´eel x v´erifiant d1(x, α) =|e^x−e^α|< θ on a alors|Log(e^x)−Log(e^α)|=|x−α|< ρ.Les deux m´etriquesdet d1 sont donc topologiquement ´equivalentes.

e) La suiteuest de Cauchy dans R muni ded1 car la suite (e⁻ⁿ)n est convergente vers 0. En effet, un r´eelε >0 ´etant donn´e il existe un entier N tel que, pourn, m≥N,on ad1(un, um) =|e⁻ⁿ−e^−m| ≤ε.

f) La suiteune converge pas dansRmuni ded₁sinon, les deux m´etriquesdetd₁´etant ´equivalentes, elle convergerait aussi pour la m´etrique d,ce qui est impossible.

g) La notion d’espace m´etrique complet n’est pas une notion topologique dans le sens qu’elle n’est pas conserv´ee par hom´eomorphisme.